辽宁沈阳市第四十中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心知识，通过上海会议中心圆锥模型、莱洛三角形、十字测天仪等现实与文化情境，分层考查复数、向量、立体几何、解三角形等内容，体现数学抽象、空间观念及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8题40分|复数共轭、向量运算、圆锥内切球|结合建筑模型考查空间几何，如第4题圆锥内切球| |多项选择|3题18分|向量夹角、三角函数零点、正方体动态问题|第11题以正方体运动考查体积与线面角，体现逻辑推理| |填空题|3题15分|复数模最值、三角形解的个数、角平分线定理|第14题结合角平分线考查解三角形，渗透数学思维| |解答题|5题77分|解三角形、圆柱线面关系、十字测天仪应用|第19题以航海仪器为背景，考查数学建模与实际应用，体现数学语言表达现实世界|

2025-2026下学期~~期末考试~~高一（40中学） 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 复数 （为虚数单位）的共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ， ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 4. 上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、 追求卓越”的象征意义，已知一个建筑物模型的底面半径为，侧面积 为，则该圆锥模型的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 5. 数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感，莱洛三角形的画法如下：先 画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便 得到莱洛三角形（如图所示），若莱洛三角形的周长为，则其面积是（ ） A. B. C. D. 6. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作 AE⊥BD，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=1，PD=AB=2，点E是PB的中点，过A、D、E三点的平面与平面PBC的交线为，则下列结论中正确的有（ ） ① ∥平面PAD ② AE∥平面PCD ③ 直线PA与所成角的余弦值为 ④ 平面截四棱锥P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. △ABC中，角A、B、C所对的边分别为、、，， ，则下 列说法中错误的是（ ） A. B. △ABC的外接圆半径为 C. △ABC面积的最大值为 D. △ABC的内切圆半径的最大值为 二、多项选择题（每题6分，共18分） （多选）9. 若平面向量、满足，则（ ） A. B. 向量与的夹角为 C. 向量在上的投影向量为 D. 若平面向量满足，则的最大值为 （多选）10. 设函数向左平移个单位长度得到函数，已知 在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线 对称 B. 在上，方程的根有3个，方程的根有2个 C. 在 上单调递增 D. 的取值范围是 （多选）11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动时，下列命题 正确的是（ ） A. 三棱锥的体积不变 B. 直线与直线的所成角的取值范围为 C. 直线与平面所成角的大小不变 D. 二面角的大小不变 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知复数满足，且，则的最小值为 13. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若满足 和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是 14. 已知△ABC中，AB=3AC，AD是∠BAC的角平分线，则 ， 若AD=AB（），则的取值范围是 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，且满足 （1）求角A的大小 （2）若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围 16. 在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，C、D是弧AB的两个三等分点，EA、 FC、GB都是圆柱的母线 （1）求证：∥平面ADE （2）设BC=1，已知直线AF与平面ACB所称的角为30°，求二面角A-FB-C的余弦值 17. 设向量 ， ， （1） ，且，求的值 （2）若，求函数的单调递增区间及其图象的对称中心 18. 已知四面体A-BCD中，△ABC和△ABD都是边长为4的正三角形，CD=，点O为AB的中点，连接CO、DO （1）求证：平面COD⊥平面ABD （2）求直线AC与平面BCD所成角的正弦值 （3）过点C作平面α平行于直线AB，平面α与四面体A-BCD的棱AD、BD分别交于点 M、N，求四面体C-MON体积的取值范围 19. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档CD使得A、C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE，然后通过测量AE的长度，课计算出视线和水平面的夹角∠CAD（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置 （1）在某次测量中，AE=40，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值 （2）在杆AB上有两点、满足 ，当横档CD的中点E位于时，记太 阳高度角为，其中、都是锐角，证明： 学科网（北京）股份有限公司 $