辽宁鞍山市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025—2026学年度高一下学期期末考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 3．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，为异面直线，，，，，则 4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 5．已知的内角，，的对边分别是，，，若，，则（ ） A． B． C． D． 6．所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ） A． B． C． D． 7．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，选择和一个楼房的楼顶为观测点，已知，，在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面．已知，，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则的共轭复数为 B．若为纯虚数，则 C．若，则 D． 10．的内角，，的对边分别为，，，则（ ） A．当时， B．当时， C．当时，是等腰三角形 D．当时，是等腰三角形 11．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点是棱的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则（ ） A．直线与平面有一个交点 B． C．直线与所成角的余弦值为 D．平面截四棱锥所得的上下两个几何体的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 13．在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为__________ 14．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为：__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（立体几何题用空间向量做一律不给分） 15．（13分）在直三棱柱中，，，，为中点，． （1）证明：平面； （2）求四面体的体积． 16．（15分）设的内角，，所对的边分别为，，，且满足，． （1）求； （2）若，求中线的长； （3）若的内切圆半径，求的面积． 17．（15分）如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的表面积； （2）证明：平面平面； （3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 18．（17分）在中，角，，的对边分别是，，，满足 （1）设，，过作垂直于点，点为线段的中点，求的值； （2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围． 19．（17分）如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值； （3）若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 学科网（北京）股份有限公司 $