辽宁本溪市某校2025-2026学年高一下学期期末数学试卷

高一数学试卷 时间：150分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的灶名，准考证号填写在答题卡上。 2答进择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干冷后，再逃涂其他答兼标号。答非选择通时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知复数z满足zi=1+3i(其中i是虚数单位)，则z的虚部是（) A.-1 B.1 C.-i D.i 2.如图，角c以Ox为始边，它的终边与单位圆0相交于点P,且点P的横坐标为，则 cosG+a)的值为（) A.5 c D月 3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD,如图所示， ∠ABC=45,AB=AD=1,DC⊥BC,则原平面图形的面积为（) A1+② B.2+ c.32 D.2W2 B(O 2 2 2 4.下列说法中正确的是() A.单位向量都相等 B.若a,b满足Iab1,且a与6同向，则a>6 C.对于任意向量a,b,必有1a+sa+1] D.平行向量不一定是共线向量 5,在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且V3 asin B=bsin(B+C)tanC,则cosC= A.方 B.7 C. 2 D.- 2 6棱长为2的正四面体的四个顶点都在一球面上，该球的半径为（) A9 C. D. 3 第1页共4页 7,.△ABC的内角AB,C所对的边分别为a,b,c,a=4W2,b=6,sinC+cosC=√2，则边长c为() A.2 B.o C.25 D.210 8,如图，正方体ABCD-ARGD棱长为2，E、F、G分别为棱AD,AB,BB的中点，P是正方 体表面上的动点，M为直线D,上一动点，则下列说法正确的是（) AAB⊥平面EFG B.直线AM与直线EG一定是异面直线 C.若AP=2,则点P的轨迹长度为π D.三棱锥M-EFG的体积是定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.o,B,y是三个平面，m,n是两条直线，下列四个命题中错误的是() A.若lB,nY=m,Bny=n,则m/h B.若mc,nca,mlB.n/β，则o/B C.若oB,mco,则m/β D.若m⊥n,mCa,nCB,则aLB 10.已知a=L,5),i=(cos8,sin),则下列命题正确的有（) A.若a16,则0=骨 B.ab的最大值为2 C.存在0，使得1a+bHa+1b D.|a-1的最大值为3 11.锐角△ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且c-b=2 bcosA,下列结论正确的是 A·A=2B B.角B的取值范围为0) C·号的取值范围为(v同) D.tan B +2siA的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a=(4,3),6=0,2),向量a,b夹角的余弦值为 第2页共4页 13已知a,β∈[0,2T],且sin(o+B)=sin(c-B),cos(a+β)≠cos(a-B),写出满足条件 的一组o= L,B= 14.已知三棱柱ABC-A,B,C,侧棱AA⊥底面ABC,E,F分别是AB,4,的中点，且 AC=BC=2,AC1BC,AM,=4、过点E作一个截面与平面FC平行，则截面的 周长为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f()=2sin(ax+p w>0.0<p< 的部分图象如图所示.该图象与y轴交于点 4Q),与x轴交于B.C两点，D为图象的最高点，且△BCD的面积为 ()求∫(x)的解析式： 2)将∫(x)的图象向右平移石个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸 12 长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g()的图象，若ε（）= 求r+号的值. 16(15分)如图，在正三棱柱ABC-ABG中，AB=V3A4,D为AB的中点， B (1)证明：AB⊥平面CC,D; 2)在CD上是否存在点E,使得平面BCB⊥平面ABC,?若存在，求出CS的值： ED 若不存在，请说明理由· 17.(15分)△ABC的内角4，B,C的对边分别为ab,c,已知2 bcosC=ae -2ccosB. (1)求c; (2)若∠ACB=60°，AB边上的中线长为2，点D在AB上，且CD为∠ACB M D 的平分线，求CD的长. 第3页共4页 18.(17分)如图，三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,PC⊥AC,BC=√2，AB=2,PB=PC=√5. R、RG分别是BA.C的中点，点M,N分别在线段，4C上，PM=PA,OW=C1 3 (1)求证：NM∥平面EFG (2)求证：平面EFG⊥平面BMN; (3)求三棱锥M-ABN的体积. 19.(17分)某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边 所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点， 且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角△ABC中，BC=4,其 外接圆O的半径为万，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点H. (1)求sin∠HCA; (2)若点T为劣弧C上一动点，求丽元的最小值； 0。 (3)若BOAC=-10,求HA+HB+HC的值， 第4页共4页参考答案 -1.A2.C3B4.C5.A6.B7.C8.D 二9.BD10.BCD 11.ACD 三1225 14.V3+2W2+25 5 13.罗答案不唯一) 四15.(1)由题意，△BCD的高为2， 面积为分即}2x8C受可得Bc子，则子 22 T=兀=2亚，解得0=2. 0 :()图象与y轴交于点A(03), 2sinp=5,即simp=2 3 又因为0<径所以甲子 f)-2m2x+写到 (2)由题意及(1)得， 将f(x)向右平移正个单位长度， 12 行到2m盘2max1的图象 °6 再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数y=2simx+习的图象， 6 ..g(x)=2sin+6) <a<T 由g=2 可得2sina+ π）8 (6厂5 .2π<4+亚<7 …3 66 cosa+ 1-sin π 3 + 6 6 16.【答案】(1)由正三棱柱的定义可知△ABC是等边三角形， .1分 .3分 ..5分 ..6分 .8分 ..10分 ..11分 ...12分 ...13分 因为D为AB的中点，所以CD⊥AB.2分 又CC⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以CC1⊥AB..4分 因为CC1,CDc平面CCD,且CC∩CD=C,.6分 所以AB1平面CC1D...7分 CE 4 2)存在点B,D9 在△CCD中，作CE⊥CD,垂足为E,连接BE..8分 由(1)知AB⊥平面CCD,所以AB⊥CE..9分 因为AB,C1Dc平面ABC1,且AB∩CD=D,.10分 所以CE⊥平面ABC..11分 因为CEC平面BCE,所以平面BCE⊥平面ABC1..12分 设AA1=2,则CC1=2,CD=3,故CD=√3， 因为SccD= D.cC,-C,DcB,所以cg=6 2 2 13 则GE=Vcc-cg-4i3 .13分 13 ED=CD-CE= 9W13 13 .14分 所以SE4 ED 9 故在CD上存在点B,使得平面BCE1平面ABC,此时CB_4 ED 9 15分 ac 17解：(1)因为2bc0sC= -2ccosB √3 由正弦定理可得2 2sinBcosC=5。 -csinA-2cosBsinC 3 …2分 则2sn(B+C9）=csin4,又sm(B+C)=sin4. .4分 3 所以2sin4=V -csinA, 因为△ABC在中，siA>0,所以c=2√3....... 5分 (2)由余弦定理：c2=d2+b2-2 abcosC=a2+b2-ab,即有2+b2-ab=12①；7分 设M为4B的中点，即w-2,又因为W-@+西)， 所以cd-C+cB+2cc,即d+6+b-16②血①.②得： a2+b2=14,ab=2, .10分 所以(a+b)2=+b2+2ab=18,所以a+b=3√2. .12分 因为CD为∠ACB的平分线，所以SAcD+SBcD=SABc, 14分 则b.CD.sin30+2a-CD.sin30°=2bsin60°， 1 2 即cp=5ab-23V6 a+b 3v2 3 .15分 18.(1)证明：E、G分别是BP、BC的中点，.EG∥PC..1分 1 PM=3PA.CN-3CA. .N∥PC .2分 .EG∥N 3分 又EGC平面EFG,NMd平面EFG .N∥平面EFG .5分 (2)i证明：AB⊥BC,BC=√5，AB=2,AC=√6 .6分 a2C冲，Cw=c4-V6 由余弦定理推出 3 3 BN=BC2+CNP-28C.CN.C0s/BCN=4 满足BN+CN=BC2.AC⊥BN .8分 :PC⊥AC,N∥PC.∴.AC⊥N N∩BN=N,MW、BNC平面BN.AC⊥平面BN9分 :F、G分别是BA、BC的中点，FG∥AC.FG⊥平面BMN.10分 .FGc平面EFG,∴.平面EFG⊥平面BMN .11分 (3)PM-PA.CN-ICA.MN-2PC-25. 3 3 在△PAC中，：PC⊥AC,PA=VPC2+AC=√√+√6=3 在aPA中，☑BPA-732h ...13分 在PM小M-5+-25leae8M-M-5, 3 又由(2)知BN=25,所以△BMN为等边三角形， 3 .15分 在三棱锥M-ABN中，由(2)知AN⊥平面BMN,所以AN为三棱锥A-MBN的高， AW=24C=26 3 ww9525-29 ×(- 、39 .17分 19.解： (1)在锐角△ABC中，：BC=4,其外接圆O的半径为万， sm一R4Cmh4C-2号，解得 BC 4 由正弦定理可得： s∠RAC. 4 .2分 :cos∠BAC=V1-(sim∠BAC)3'=1- 73 164 由题可知∠HCA=T∠BAC，:sin∠HCA=sin(5∠BA9=cos∠BAC= 4.4分 (2)设点M为△ABC的边BC所对的外接圆的劣弧，点D为边BC的中点. 由题意及对称性可知 TB.TC=MB.MC=(MD+DB).(MD-DB)=MD-DB=MD-4........................6 故要使B.TC取得最小值，只需D最小. 在圆O上，由三角形三边关系可知MD+OD≥OM=8厅，当且仅当M,O,D三点共线时取 等号，比时0-0M-0D-F-00-BD-号万-0c-BD-厅-万-子7， .8分 西元-历-4仔万-4=-头，印元元的最小值为- 7.9分 3)由(1D可知：sin∠BAC=,c .-10. OB.AC=10.… .10分 又O丽.AC=OB.(Oc-OA=Oi.0C-OB.OA=o丽，OCcos_BC0C-|O8 Acos∠BOA, ∴由圆的性质可知 丽AC-9 o2∠BAc-8V万x9万cos2∠CA-64c2∠BAc-4 > cos2∠BCA=10 7 > ,又cos2∠BAC=2(cos∠BACy2-1=2X9-1=1 16 8 、4×。-4cos2∠BC4=10,解得cos2∠BC13 32….12分 ∴.在锐角△ABC中，COS∠BCA= c0S2∠BCA+11 sin∠BCA= 1-cos2∠BCA_3V万 2 8 2 8 sin∠ABC'=si血（∠BCA+∠BAC9=sim∠BCAcos∠BAC+cos∠BCAsin∠BAC= ，cos∠ABC=VM-(sin∠ABCy-9 6… ..13分 mcmABc-2x96, 由正弦定理可得：，AB AC AB=2x8V万sim∠BCA=2x8万x2万=6， 7 8 4c-2g万mA8c-2万7名5-5 ........14分 在△ABC中，由点H是△ABC的垂心可得∠AHC=π-∠ABC,∠BHC=π-∠BAC, ∠AHB=π-∠ACB. HA 在△AHC中，由正弦定理可得 Ac sim∠ACH sin∠AHC i-4C4CH5cos∠BAc5cos∠RMC5x 412 sin∠AHC sin(π-∠ABC)sin/ABC5√7 7 .15分 16 9 同理可得B=1Bsim∠B16cos∠ABC 6coS∠ABC 6× 169 Sin∠AHB sin(T-∠ACB)）Sin∠ACB 37 7, 8 1 HC=BC sin∠CBH、4cos∠BC4 4cos∠BCA 4× 82f sin∠3HC sin(π-∠BAC)sin∠BAC V77, 4 ·HA+B+H0-12W5√7223W7 。。。。。。。。 .17分 7 7 7 7 储丽C-0O丽(C-网-丽C-O丽丽号元}i-1给出相应的分数