暑假作业03 正方形的性质与判定（预习作业）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“定义-关系-性质-判定”为逻辑主线，系统整合正方形知识体系，通过14类分层题型实现性质应用与判定证明的专项突破，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|7个核心知识点|定义四维度辨析、性质继承性推导、判定三路线（矩形+菱形条件/菱形+矩形条件/对角线综合法）、45°角及等腰直角三角形隐含条件提炼|从平行四边形出发，通过“邻边相等+直角”构建正方形概念，继承矩形菱形性质形成知识网络，判定方法基于定义与性质的逻辑延伸| |题型突破|14类典型题型|折叠问题轴对称性质应用、旋转辅助线构造、面积多公式（边长式/对角线式）灵活转换、动态重叠面积不变性规律|题型覆盖性质理解（角度/线段/面积计算）、判定证明（添条件/综合证明）、实践应用（折叠/旋转），形成“概念-性质-应用”完整训练链|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩恩恩 暑假作业03正方形的性质与判定 新知初探 【知识点1正方形的定义】 1.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2.有一组邻边相等的矩形是正方形 3.有一个角是直角的菱形是正方形 4. 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，更是最特殊的平行四边形 【知识点2正方形狗矩形、菱形平行四边形的关系】 菱形 邻边相等/对角线垂直 有一个直角/对角线相等 平行四边形 正方形 有一个直角/对角线相等 矩形 邻边相等/对角线垂直 1.正方形→菱形：正方形满足“一组邻边相等”，且首先是平行四边形一正方形是特殊的菱形 2. 正方形→矩形：正方形满足“一个角为直角”，且首先是平行四边形一正方形是特殊的矩形 3.反之：矩形+邻边等一正方形；菱形十一个直角一正方形 4.直接推论：因为正方形既是矩形又是菱形，所以正方形继承矩形的一切性质，也继承菱形的一切 性质，这意味着正方形的性质不需要从零证明，可以从已有结论直接综合出来 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点3正方形的性质】 1.性质①（边）：正方形的四条边都相等，且对边平行，邻边互相垂直，即AB=BC=CD=DA, ABIICD,ADBC,且ABLBC等。 2.性质②（角）：正方形的四个角都是直角，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 3.性质③（对角线）：正方形的对角线相等、互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即：AC =BD,AC⊥BD,AO=OC=BO=OD,且AC平分∠BAD,∠BCD,BD平分∠ABC,∠ADC 4.关键数值结论： (①)设正方形边长a,对角线长为d:d=AC=BD=V2asa=5d 2 (1)对角线交点O分每条对角线为两半，四个小三角形：△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA都是等 腰直角三角形，且∠ABO=∠BAC=45°。45°角是正方形题目中出现频率最高的隐含条件，见到正方 形对角线，立刻标记出一堆45°和等腰直角三角形。 【知识点5正方形的对称性】 1.中心对称：是中心对称图形，对称中心为对角线交点O 2.轴对称：是轴对称图形，有4条对称轴：两条对角线所在直线十两条通过对边中点的直线 【知识点6正方形的周长与面积】 1.周长C=4a(a为边长) 2. 面积（边长式）：=a2(边长平方)) 3. 面积（对角线式）： 4. S=d:由d=a代入4d(菱形面积公式)得：或直接8=号求=2 【知识点7正方形的判定方法】 1. 判定路线一：先证矩形十再加菱形条件 (1)判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形 (②)操作路径：先证四边形是矩形（用矩形三种判定之一），再证一组邻边相等（或两邻边等/邻边 垂直己隐含只需证等长)。 2.判定路线二：先证菱形十再加矩形条件 (1)判定②：有一个角是直角的菱形是正方形 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)操作路径：先证四边形是菱形（用菱形三种判定之一)，再证一个角为90°。 3.判定路线三（对角线综合法常用但需注意前提） (1)判定③：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 (2)操作路径：必须先确认是平行四边形（或等价地：对角线互相平分十垂直十相等） ①对角线互相垂直的矩形是正方形，矩形已有对角线相等，只需加垂直 ② 对角线相等的菱形是正方形，菱形已有对角线垂直，只需加等长 基础检测 题型01正方形性质理解 1.(25-26八年级下·湖北武汉阶段检测)下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③菱形：④矩形：⑤ 正方形，其中对称轴只有两条的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26八年级下.全国期末)下列说法不正确的是（) A.菱形的对角线互相垂直 B.矩形的四个角相等 C.菱形的四个角相等 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等 题型02根据正方形的性质求角度 1.(2026山东临沂·二模)为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形 CDFG中，CF,DG的延长线分别交AE,AB于点M,N,则∠GNB的度数是() G B E 加 油 A.90 B.99° C.108° D.135 2.(25-26八年级下·广东广州期中)如图，在正方形ABCD中，点P,Q分别为CD、AD边上的点，且 AQ=DP,连接BQAP.则∠BEP为 度 A 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型03根据正方形的性质求线段长 1.(2026河南商丘·二模)如图，点M是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADM绕点A顺时针旋转90° 到△ABN的位置.过点A作AO⊥MN于点O,连接CO,若AD=4,DM=2,则CO的长为() A D A.25 B.10 C.2W2 D.√7 2.(25-26八年级下·江苏无锡期末)正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3, H是AF的中点，那么CH的长是 G O C 题型04根据正方形的性质求面积 1.(2026湖北模拟预测)如图，一个大正方形中有2个小正方形，则它们的面积S,S2满足的关系是() S A.S=S2 B. 9 D.不能确定 2.(2026江苏南京，二模)如图，正方形ABCD的面积是9cm2,E,F,G,H分别是正方形四条边上的点， AF=BG=CH=DE=1cm,则四边形EFGH的面积为 _cm2. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型05正方形折叠问题 1.(25-26八年级下·湖北武汉·期中)如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE.将 ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF·下列结论：①△ABG≌△AFG; ②BG=GC;③AG∥CF;④S,FGc=3.其中正确结论的个数是() D B G A.①②④ B.①②③ C.④③② D.①③④ 2.(2026广东潮州一模)综合与实践：折纸， 素材：一张正方形纸片 步骤：(I)如图，将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形ABCD,将矩形ABCD对折，使 边AB与CD重合，折痕交BC于点M,展开； (2)分别将BM、CM沿过点M的直线折叠，点B,C重合于点H处，折痕分别交AB、AD于点E、 F. 猜想与证明： (I)直接写出EM与FM的位置关系和数量关系； (2)证明(1)中你发现的结论. 题型06求正方形重叠部分面积 1.(25-26八年级下·河南信阳·阶段检测)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是另一个正 方形A'B'C0的一个顶点.如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为() D 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3 B.6 C.9 D.12 2.(2026九年级黑龙江齐齐哈尔，专题练习)现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图(1）所示)， 取①②③木板各一块，按如图(2)所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆 盖的面积为 ；在图(2)摆放的基础上再放置一块木板②，如图(3)所示，则此时的木板①没 有被覆盖的面积为 ① 2 b a-b 图(1) 图(2) 图3) 题型07根据正方形的性质证明 1.(2026陕西渭南·二模)如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、AD上，连接AE、CF, AE=CF,求证：∠BAE=∠DCF. 2.(25-26八年级下·湖南岳阳·期中)如图，BD是边长为4的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交 DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G, D E B (I)求证：△BCE≌△DCF; (2)求CF的长. 题型08正方形的判定定理理解 1.(25-26八年级下·重庆·期中)下列命题是假命题的是() A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 2.(25-26八年级下·上海阶段检测)如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描 / 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 述正确的是() →矩形 ① 平行 ② 四边形 正方形 不 菱形 ③ ④ 四边形 A.①可表示对角线相互垂直； B.②可表示对角线互相平分、垂直； C.③可表示一组邻边相等： D.④可表示一组对边平行，另一组对边相等. 题型09添一个条件使四边形是正方形 1.(2026浙江宁波·二模)在平行四边形ABCD中，AB=AD添加一个条件，使得四边形ABCD为正方形， 添加的条件可以为() A.AC=BD B.AC⊥BD C.AC平分BD D.AC平分∠BCD 2.(2026陕西渭南二模)已知在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD,∠A=90°，如果添加一个条件， 可使得四边形ABCD为正方形，则添加的条件可以是·（添加一个即可） 题型10证明四边形是正方形 1.(25-26八年级下·江苏无锡期中)小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、 正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个() ①AB‖CD,AD=BC;②∠ADC=90°；③AC=BD;④AB=AD;⑤AC=BD A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2026山东青岛·三模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E是AB的中 点.连接EO并延长，交CD于点F. / 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：AE=CF; (2)当ABC满足什么条件时，四边形AECF为菱形，请说明理由； (3)在(2)的条件下，使菱形AECF成为正方形，ABC要再满足什么条件，请直接写出添加的条件，无需 证明. 题型11根据正方形的性质与判定求角度 1.(25-26九年级上·广东深圳阶段检测)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，其顶点称为格点， ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹. B B 图① 图② 图③ 1 (1)在图①中，在BC边上找一点D,连接AD,使S4D= (2)在图②中，画出ABC的角平分线AE; (3)在图③中，在BC边上找一点F,连接AF,使LAFC=2LB. 2.(25-26九年级下.甘肃兰州阶段检测)按要求解答问题： 【初步实践】 B 图1 图2 (I)如图1，在长方形ABCD中，若AC⊥BD,对角线AC与BD相交于点O,在线段OA上任取一点P(端 点除外)，连接PD,PB,求证：△ABP≌△ADP; 【问题探究】 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，将线段BP绕点P逆时针旋转，使点B落在DA的延长线上的点E处，当点P在线段OA上的 位置发生变化时，∠BPE的大小是否发生变化？请说明理由； 题型12根据正方形的性质与判定求线段长 1.(2026河南周口二模)如图，E为正方形ABCD内一点，CEB=90°，CE=8,CB=17.将 Rt△CBE绕点C按顺时针方向旋转90°，得到CDF,延长BE交DF于点H,则DH的长为() D A A.7 B.7.5 C.8 D.9 2.(2026贵州铜仁一模)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF, 若AE、AF分别平分∠BEF和LDFE.已知AB=5,则(BE+5(DF+5)的值为· D E 题型13根据正方形的性质与判定求面积 1.(25-26七年级下山东青岛阶段检测)如图，若∠A0B=∠ACB=90°，0C平分∠AOB,OC=4,则四 边形AOBC的面积是· O B 2.(25-26八年级下·云南普洱期中)如图，在ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB, DF∥AC. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：四边形AFDE是菱形， (2)若LBAC=90°，且AD=4√，求四边形AFDE的面积. 题型14根据正方形的性质与判定证明 1.(2425八年级下·河北石家庄期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点0为对角线BD的中点，点E为 AD边上的动点，点F在CD边上，连接OE,OF,OE⊥OF, A ☑O (1)求证：OE=OF; (2)当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 2.(25-26八年级下，湖北孝感期中)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，点E,F分别在边 AB,AD上，且OE⊥OF. A B 图1 图2 (I)求证：∠AE0=∠DF0; (2)如图1，若AB=AD, ①求证：OE=OF: ②猜想线段BE,DF和EF之间的数量关系是 (3)如图2，若AB≠AD,那么(2)②中线段BE,DF和EF之间的数量关系还成立吗？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由. 小试牛刀 1.(2026河北张家口·二模)如图，正方形ABCD与平行四边形BCEF的一边重合.若BF平分∠ABC,则 ∠E的度数为() 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.30° B.45° C.60° D.135° 2.(25-26八年级下·陕西西安期中)如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP并延长，交BC于点Q, 连接DP,将△ADP绕点A顺时针旋转90°至△ABP'.连接PP',若AP=1,PB=2V2,PD=√0，则 该正方形的边长为() D C A.√3 B.4 C.13 D.16 3.(2026河北石家庄·模拟预测)如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2,∠ABC=60°，E,F是对角 线BD上的动点，且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.下列说法错误的是() E A.存在无数个平行四边形MENF B.存在无数个矩形MENF C.存在无数个菱形MENF D.存在无数个正方形MENF 4.(2026山西忻州二模)如图1，汉族传统吉祥纹样一方胜纹，由两个全等的正方形叠合而成.其示 意图如图2所示，正方形ABCD沿对角线BD平移得到正方形A'B'CD',点A,B,C,D的对应点分别 为A,B,C,D,AB与AD交于点E,B'C'与CD交于点F.若AB=5, S地形B巴=9， Sg边形ABCD 25，则平移 的距离DD'为() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 A B.2 C.32 D.2W2 5.(25-26八年级下·贵州遵义·期中)如图1，在矩形ABCD中，E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到 △AFE,点F恰好在AD上；如图2.将图1中的矩形纸片沿过点D的直线折叠，使得点C恰好落在EF上 的点H处，DG为折痕.若AB=5,AD=8,则EG的长为 D B-- H 图1 图2 6.(2026陕西西安模拟预测)如图，在正方形ABCD中，AB=4,在其正中间挖一个小正方形A'B'CD', 使A'B'∥AB.若AB'=1,则AA'的长为 A D y D B B 7.(25-26八年级下·河南周口阶段检测)如图，口ABCD的对角线交于点O,若AC=BD,请你添加一个 条件，使口ABCD是正方形 B 8.(2026河南三门峡·二模)如图，在正方形ABCD中，BC=2BE=4. B (I)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点D作AE的垂线，交AB于点F(不写作法，保留作图痕 迹)； 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接EF,求EF的长. 9.(25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测)如图①，在正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，连接 AP,CP. D B 图① 图② 备用图 (1)求证：AP=CP; (2)如图②，过P点作PE⊥PC,交射线AD于点E,求证：PE=PC;(提示：过点P作PM⊥AD于 点M,作PN⊥CD于点N), 10.(25-26八年级下·吉林·期中)图1，图2，图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 每个小正方形的边长均为1. A B B 图1 图2 图3 (I)在图1、图2中，以格点为顶点，线段AB为一边，分别画一个平行四边形和菱形.（要求两个四边 形面积相等但不全等，) (2)在图3中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形. / 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 正方形的性质与判定 【知识点1 正方形的定义】 1. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2. 有一组邻边相等的矩形是正方形 3. 有一个角是直角的菱形是正方形 4. 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，更是最特殊的平行四边形 【知识点2 正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系】 1. 正方形→菱形：正方形满足“一组邻边相等”，且首先是平行四边形⇒正方形是特殊的菱形 2. 正方形→矩形：正方形满足“一个角为直角”，且首先是平行四边形⇒正方形是特殊的矩形 3. 反之：矩形＋邻边等⇒正方形；菱形＋一个直角⇒正方形 4. 直接推论：因为正方形既是矩形又是菱形，所以正方形继承矩形的一切性质，也继承菱形的一切性质，这意味着正方形的性质不需要从零证明，可以从已有结论直接综合出来 【知识点3 正方形的性质】 1. 性质①（边）：正方形的四条边都相等，且对边平行，邻边互相垂直，即AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，AD∥BC，且AB⊥BC等。 2. 性质②（角）：正方形的四个角都是直角，即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°。 3. 性质③（对角线）：正方形的对角线相等、互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即：AC＝BD，AC⊥BD，AO＝OC＝BO＝OD，且AC平分∠BAD,∠BCD，BD平分∠ABC,∠ADC。 4. 关键数值结论： (1) 设正方形边长a，对角线长为d：d＝AC＝BD＝a⇔a＝d (1) 对角线交点O分每条对角线为两半，四个小三角形：△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA都是等腰直角三角形，且∠ABO＝∠BAC＝45°。45°角是正方形题目中出现频率最高的隐含条件，见到正方形对角线，立刻标记出一堆45°和等腰直角三角形。 【知识点5 正方形的对称性】 1. 中心对称：是中心对称图形，对称中心为对角线交点O​ 2. 轴对称：是轴对称图形，有4条对称轴：两条对角线所在直线＋两条通过对边中点的直线 【知识点6 正方形的周长与面积】 1. 周长C＝4a（a为边长） 2. 面积（边长式）：＝a2（边长平方）） 3. 面积（对角线式）： 4. S＝d2：由d＝a代入d1d2（菱形面积公式）得；或直接S＝d2＝a2 【知识点7 正方形的判定方法】 1. 判定路线一：先证矩形 ＋ 再加菱形条件 (1) 判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形 (2) 操作路径：先证四边形是矩形（用矩形三种判定之一），再证一组邻边相等（或两邻边等 / 邻边垂直已隐含只需证等长）。 2. 判定路线二：先证菱形 ＋ 再加矩形条件 (1) 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形 (2) 操作路径：先证四边形是菱形（用菱形三种判定之一），再证一个角为90°。 3. 判定路线三（对角线综合法·常用但需注意前提） (1) 判定③：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 (2) 操作路径：必须先确认是平行四边形（或等价地：对角线互相平分＋垂直＋相等） 1 对角线互相垂直的矩形是正方形，矩形已有对角线相等，只需加垂直 2 对角线相等的菱形是正方形，菱形已有对角线垂直，只需加等长 题型01 正方形性质理解 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③菱形；④矩形；⑤正方形，其中对称轴只有两条的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形对称轴的概念，逐个确定各图形的对称轴数量，统计对称轴只有两条的图形个数即可. 【详解】解： ①等腰三角形的对称轴可能为条或条，不符合要求； ②平行四边形不是轴对称图形，对称轴数量为，不符合要求； ③菱形有条对称轴，符合要求； ④矩形有条对称轴，符合要求； ⑤正方形有条对称轴，不符合要求； ∴对称轴只有两条的图形共个. 2．（25-26八年级下·全国·期末）下列说法不正确的是（     ） A．菱形的对角线互相垂直 B．矩形的四个角相等 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】C 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，选项A说法正确，不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，则矩形的四个角相等，选项B说法正确，不符合题意； C、菱形的对角相等，邻角互补，四个角不一定相等，只有特殊的菱形（正方形）才满足四个角相等，选项C说法错误，符合题意； D、正方形兼具菱形和矩形的对角线性质，对角线互相垂直平分且相等，选项D说法正确，不符合题意． 题型02 根据正方形的性质求角度 1．（2026·山东临沂·二模）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据正五边形的性质求出，然后由正方形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【分析】根据题意利用证明即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型03 根据正方形的性质求线段长 1．（2026·河南商丘·二模）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．过点作于点，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，进而根据“三线合一”得到点O是的中点，运用勾股定理在中求得，进而根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵把绕点顺时针旋转到的位置 ∴，， ∵， ∴点O是的中点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点O是的中点， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_________ ． 【答案】 【分析】根据正方形性质求出、，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再由直角三角形的性质可求解． 【详解】 解：如图，连接、， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵是的中点， ∴． 题型04 根据正方形的性质求面积 1．（2026·湖北·模拟预测）如图，一个大正方形中有2个小正方形，则它们的面积，满足的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意设大正方形边长为，则大正方形对角线为，得到，，均是等腰直角三角形，继而得到，，即可得到本题答案． 【详解】解：设大正方形边长为，则大正方形对角线为， 将图中进行命名如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，均是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即． 2．（2026·江苏南京·二模）如图，正方形的面积是，E，F，G，H分别是正方形四条边上的点，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】先确定正方形的边长，再确定，得到的面积，再用总面积减四个直角三角形的面积即可． 【详解】解：正方形的面积是， 正方形的边长为， ， ， 又， 所以， 又， ， 则四边形的面积为． 题型05 正方形折叠问题 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 2．（2026·广东潮州·一模）综合与实践：折纸， 素材：一张正方形纸片 步骤：（1）如图，将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形，将矩形对折，使边与重合，折痕交于点，展开； （2）分别将、沿过点的直线折叠，点，重合于点处，折痕分别交、于点、． 猜想与证明： (1)直接写出与的位置关系和数量关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质可得结论：，； （2）如图，过点作于点．先证明，再证明，可得结论． 【详解】（1）解： ，； （2）证明：如图，由折叠可知，， ， ， ， 过点作于点， 则四边形是长方形， ， ， ， 四边形是正方形对折得到的长方形，得， ， ， ， ． 题型06 求正方形重叠部分面积 1．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为：． 2．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 题型07 根据正方形的性质证明 1．（2026·陕西渭南·二模）如图，点、分别在正方形的边、上，连接、，，求证：． 【答案】证明：四边形为正方形， ， ， ， ． 【分析】利用正方形性质证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】略 2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，结合，利用即可证明； （2）根据正方形的性质结合角平分线的定义可得 ，由（1）知，得到 ，进而求出 ；证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中，， ； （2）解：平分，是正方形的对角线， ， 由（1）知， ， ， ； 在和中，， ， ， ， ，． 题型08 正方形的判定定理理解 1．（25-26八年级下·重庆·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，逐项判断命题的真假即可得出答案． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，是真命题，不符合题意； B．四边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，是真命题，不符合题意； C．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，原命题缺少对角线相等的条件，因此原命题是假命题，符合题意； D．三个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意； 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（     ） A．①可表示对角线相互垂直； B．②可表示对角线互相平分、垂直； C．③可表示一组邻边相等； D．④可表示一组对边平行，另一组对边相等． 【答案】A 【分析】熟练掌握各特殊四边形之间的转化关系及判定条件，根据知识结构图逐一分析各选项即可． 【详解】解：、由矩形变为正方形，需添加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件，故 ①可表示对角线相互垂直，该选项符合题意； 、由平行四边形变为正方形，需添加“对角线互相垂直且相等”的条件，平行四边形本身对角线互相平分，仅添加“垂直”只能判定为菱形，故该选项不符合题意； 、由菱形变为正方形，需添加“有一个角是直角”或“对角线相等”的条件，“一组邻边相等”是菱形本身具有的性质，故该选项不符合题意； 、由四边形变为平行四边形，需添加“一组对边平行且相等”或“两组对边分别平行”等条件，“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形可能是等腰梯形，故该选项不符合题意． 题型09 添一个条件使四边形是正方形 1．（2026·浙江宁波·二模）在平行四边形中，添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（     ） A． B．⊥ C．平分 D．平分 【答案】A 【分析】先根据已知条件得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，对角线相等的菱形是正方形，因此四边形为正方形，故A正确； B、菱形本身满足对角线，因此添加该条件不能判定四边形为正方形，故B错误； C、平行四边形对角线互相平分，因此菱形本身满足平分，添加该条件不能判定四边形为正方形，故C错误； D、菱形对角线平分一组对角，因此菱形本身满足平分，添加该条件不能判定四边形为正方形． 2．（2026·陕西渭南·二模）已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据已知条件判定四边形为矩形，再根据正方形的判定定理，添加使矩形成为正方形的条件即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． 当添加条件时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形为正方形． 题型10 证明四边形是正方形 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（     ）   ；；；； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可． 【详解】解：四边形中，，不能判定四边形是平行四边形，故①错误； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，故②正确； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，不是菱形，故③错误； 矩形中， ∵， 四边形是正方形，故④正确； 菱形中， ∵， 四边形是正方形，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤共3个． 2．（2026·山东青岛·三模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点．连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形，请说明理由； (3)在(2)的条件下，使菱形成为正方形，要再满足什么条件，请直接写出添加的条件，无需证明． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2)解：当满足时，四边形为菱形． 理由：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 由（1）知：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； (3)当再满足时，菱形为正方形 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，继而得到，，证明，即可得证； （2）由（1）可推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，可得结论； （3）根据等腰三角形三线合一性质得，再根据正方形的判断可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当再满足时，菱形为正方形， 理由：如图， ∵点是的中点，即是的边上的中线， 又∵， ∴是的边上的高，即， ∴， 由（2）知：四边形是菱形， ∴菱形为正方形． 题型11 根据正方形的性质与判定求角度 1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找一点D，连接，使； (2)在图②中，画出的角平分线； (3)在图③中，在边上找一点F，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是利用网格特点作图，同时考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，熟记基本几何图形的判定与性质是解本题的关键． （1）取格点M，N，再利用平行四边形的对角线互相平分可得线段的中点D； （2）取格点Q，K，连接，连接交于，再利用正方形的性质可得是的角平分线； （3）取格点，G，可得直线是的垂直平分线，交于，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 2．（25-26九年级下·甘肃兰州·阶段检测）按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，．求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点P逆时针旋转，使点B落在的延长线上的点E处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)的大小不发生变化；理由见解析 【分析】（1）先得出四边形是正方形，进一步得出，再根据全等三角形的判定定理，即可得证； （2）先过点P作于点M，作于点G，再根据正方形的性质和判定，角平分线的性质，旋转的性质，得出，最后根据全等三角形的性质以及推导角之间的关系，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：的大小不发生变化；理由如下： 如图，四边形是正方形，过点P作于点M，作于点G， ∴平分，， ∴． 又∵，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，． 由旋转得，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴的大小不发生变化． 题型12 根据正方形的性质与判定求线段长 1．（2026·河南周口·二模）如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质证明四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 绕点C按顺时针方向旋转，得到， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ． 2．（2026·贵州铜仁·一模）如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 【答案】50 【分析】过点A作交于点G，根据角平分线的性质可知，．再证明，得到，，，则四边形是正方形，，设，，则，，，在中，根据勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作交于点G，如图所示． 根据角平分线的性质可知，，，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，， 设，，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 整理，得， ∵， ∴． 题型13 根据正方形的性质与判定求面积 1．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【答案】8 【分析】作于点，作于点，证得，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得面积． 【详解】解：如图，作于点，作于点， ， ． ， ． ∵平分， ． ， ， ． ， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． ， ， ∴四边形的面积等于正方形． 设正方形的边长为，， 由勾股定理可知：， ， ∴正方形的面积等于8， ∴四边形的面积等于8． 2．（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）连接，先证明四边形是正方形，再根据得到，最后求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：连接，如图， ∵， ∴菱形形是正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 题型14 根据正方形的性质与判定证明 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 【答案】(1)见解析 (2)不会发生变化，面积为4 【分析】（1）过点作于点于点，根据正方形的性质证明四边形是正方形，再证明，即可得证； （2）根据可知，根据即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于点于点，如图所示： ， 四边形是正方形，且边长为4， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：当点在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： 四边形是正方形，点为对角线的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ，则． 由（1）得， ，， 由（1）得，矩形是正方形， 则． 2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在矩形中，O为对角线的中点，点E，F分别在边上，且． (1)求证：； (2)如图1，若， ①求证：； ②猜想线段和之间的数量关系是______； (3)如图2，若，那么（2）②中线段和之间的数量关系还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)成立，证明见解析 【分析】（1）利用四边形的内角和定理以及邻补角进行证明； （2）①连接，利用正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质证明； ②根据正方形的性质得出相等的边，利用勾股定理求解； （3）延长交于点G，连接，根据矩形的性质证明和，得出相等的边，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形，是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）可知， 在和中， ， ∴， ∴； ②，证明如下： 由①得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即； （3）解：线段和之间的数量关系还成立，证明如下： 如图2，延长交于点G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． 1．（2026·河北张家口·二模）如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，角的平分线求解即可； 【详解】解：因为正方形与平行四边形的一边重合， 所以，， 因为平分， 所以， 所以． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，点是正方形内一点，连接并延长，交于点，连接．将绕点顺时针旋转至．连接，若，，，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，根据旋转的性质可得，则可得是等腰直角三角形，进而求出，得到的长，最后利用勾股定理求出即可. 【详解】解：过点作于， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴. 3．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且分别是边，边上的动点．下列说法错误的是（     ） A．存在无数个平行四边形 B．存在无数个矩形 C．存在无数个菱形 D．存在无数个正方形 【答案】D 【分析】连接、，、、交于点，由平行四边形的性质可得，再根据平行四边形、矩形．菱形、正方形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：如图，连接，、交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 分别是边，边上的动点． 若过点时， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 过点时，四边形是平行四边形， 即存在无数个平行四边形， 故说法正确，不符合题意； 只需，，四边形是矩形， 而，是对角线上的动点，即存在无数个矩形， 故说法正确，不符合题意； 只，四边形是菱形， ，是对角线上的动点，即存在无数个菱形， 故说法正确，不符合题意； 只需，，四边形是正方形， 此时符合要求的正方形只有一个，不存在无数个， 故说法错误，符合题意． 4．（2026·山西忻州·二模）如图1，汉族传统吉祥纹样——方胜纹，由两个全等的正方形叠合而成．其示意图如图2所示，正方形沿对角线BD平移得到正方形，点A，B，C，D的对应点分别为，，，，与AD交于点E，与CD交于点F．若，，则平移的距离为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和已知条件得出四边形为正方形，再根据面积比求出其边长，最后利用正方形的对角线性质求出平移的距离． 【详解】四边形是正方形， ， 正方形沿对角线平移得到正方形， ， ，且， 四边形是正方形， ，， ，解得， ，即， ， ． 5．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上；如图．将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，，结合矩形性质推出四边形为正方形，从而求出 的长，根据第二次折叠的性质得出，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在 中利用勾股定理方程求出即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ，， 又由折叠的性质可知，，， 在 中，∵， ， ， 设，则， 在 中，∵， ，即， 解得， ． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，在其正中间挖一个小正方形，使．若，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接交于点O，过点作于点E，过点作于点F，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：连接交于点O， 正方形中，小正方形， ，， ， 四边形是等腰梯形， 同理可证，其余三个也都是等腰梯形，且它们是全等的四边形， 过点作于点E，过点作于点F， ， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ． 7．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，的对角线交于点O，若，请你添加一个条件，使是正方形__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先得到四边形是矩形，再从矩形的角度添加条件证明其为正方形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 若添加条件， 四边形是矩形，， 四边形是正方形． 8．（2026·河南三门峡·二模）如图，在正方形中，． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点D作的垂线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，求的长． 【答案】(1)解：如图所示为所求： (2) 【分析】（1）以点为圆心画弧交线段于两点，再分别以这两点为圆心画弧交于一点，过点以该点作射线交于点即可； （2）利用正方形的性质结合作图结论证明，易求，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 9．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：；（提示：过点P作于点M，作于点N）． 【答案】(1)证明：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：过点P作于点M，作于点N，如图② 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可； （2）过点P作于点M，作于点N，证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 10．（25-26八年级下·吉林·期中）图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1． (1)在图1、图2中，以格点为顶点，线段为一边，分别画一个平行四边形和菱形．（要求两个四边形面积相等但不全等，） (2)在图3中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形和平行四边形的判定即可作图，此时平行四边形的面积等于，菱形的面积等于； （2）根据正方形的判定即可作图，此时面积为． 【详解】（1）解：如图1和图2，菱形和平行四边形即为所求； （2）解：如图，正方形即为所求． / 学科网（北京）股份有限公司 $