暑假培优预习：菱形中的动点问题、菱形中的多结论问题专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦菱形动点与多结论问题，通过典例整合菱形性质与函数图像分析、多结论推理，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形中的动点问题|8题（例1-4+变式1-4）|结合运动时间与函数图像，反推边长/对角线，涉及分类讨论|以菱形性质为基础，关联运动变化与函数图像，构建几何量间动态关系| |菱形中的多结论问题|8题（例1-4+变式1-4）|多结论判断，涉及角度、线段、面积及图形判定|综合菱形性质、全等相似等，通过逻辑推理验证结论，培养推理意识|

暑假培优预习：菱形中的动点问题、菱形中的多结论问题专项训练 暑假培优预习：菱形中的动点问题、菱形中的多结论问题专项训练 考点目录 菱形中的动点问题 菱形中的多结论问题 考点一 菱形中的动点问题 例1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图（1），在菱形中，点从点出发，以的速度依次沿着边，，运动、到达点停止运动．设点运动的时间为（单位：）、的面积为（单位：），与之间的关系如图（2）所示，则菱形的较短的对角线的长是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图（1），在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发沿方向以的速度运动至点，设运动时间为，的面积为，与的函数图象如图（2）所示，则菱形的边长为（     ）． A．2 B． C．4 D． 例3．（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图2所示，则的长为________． 例4．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图1，在菱形中，，，，分别是，边上的高． (1)请直接写出的长度是______； (2)如图2，动点P，Q分别从D，B同时出发，点P由运动，点Q由运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．在运动过程中： ①若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，点P在边上，点Q在边上，且B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，求t的值； ②若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求y与x的函数解析式． 变式1．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图1，四边形是菱形，，动点、分别在、上运动，运动过程中．设的长为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，图象最低点纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图1，在菱形中，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与之间的关系如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式3．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在菱形中，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线向终点运动．设点的运动时间为秒．在点出发的同时，有一点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，则当与菱形的边垂直时，的值是______． 变式4．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）如图1，在四边形中，与都是等边三角形，且，点E在线段上从点C出发向点D按每秒个单位长度的速度运动，同时点F在线段上从点D出发向点B按每秒4个单位长度的速度运动，当E到终点时，点F同时停止运动，设运动时间为t秒，点G是射线上一点，且，连接．    (1)求证：四边形是菱形． (2)当时，求的长． (3)当中有一条边与垂直时，求t的值． 考点二 菱形中的多结论问题 例1．（25-26九年级上·山东德州·开学考试）如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①；②；③、两点间的距离的取值范围是；④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 例3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，已知的面积为3，且将沿方向平移长度得到 ，连结交于点．下列结论中正确的是_________．①四边形的面积为9；② ；③④若 ，则. 例4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，，与交于点O，点为延长线上的一点，与，分别交于点，，且，连接和，，则以下4个结论：①；②平分；③；④，正确的序号是_______． 变式1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图1，在菱形中，，点在对角线上，，动点以每秒一个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有如下四个结论：①菱形的边长为3；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 变式2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有________（填序号）． 变式4．（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）如图，菱形中，与交于点O，，E为延长线上一点，使得，连接，分别交、于点F、G，连接，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论有 ________.（填序号） 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优预习：菱形中的动点问题、菱形中的多结论问题专项训练 暑假培优预习：菱形中的动点问题、菱形中的多结论问题专项训练 考点目录 菱形中的动点问题 菱形中的多结论问题 考点一 菱形中的动点问题 例1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图（1），在菱形中，点从点出发，以的速度依次沿着边，，运动、到达点停止运动．设点运动的时间为（单位：）、的面积为（单位：），与之间的关系如图（2）所示，则菱形的较短的对角线的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图2可得点到达点时，，得出，连接交于点，则，根据菱形的性质可得，根据勾股定理可得，根据完全平方公式变形求得，，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：根据图2可得点到达点时，， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴ 如图，连接交于点，则， 设， ∴ ∴， ∴，即 又∵ ∴ ∵， ∴① ∵ ∴② 联立①②解得： ∴ 例2．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图（1），在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发沿方向以的速度运动至点，设运动时间为，的面积为，与的函数图象如图（2）所示，则菱形的边长为（     ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点作于点，则，那么，设菱形的边长为，则，那么点和点同时到达点和点，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点作于点，连接交于点，即,如图， 则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为， ∵，， ∴， ∴， ∴点和点同时到达点和点，此时的面积达到最大值为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴菱形的边长为． 例3．（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图2所示，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．先证明四边形是菱形，根据图1和图2判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ， 为等边三角形， 设，由图可知，当两点重合时，的面积为， ∴的面积， 解得：(负值已舍)， 故答案为：． 例4．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图1，在菱形中，，，，分别是，边上的高． (1)请直接写出的长度是______； (2)如图2，动点P，Q分别从D，B同时出发，点P由运动，点Q由运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．在运动过程中： ①若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，点P在边上，点Q在边上，且B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，求t的值； ②若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求y与x的函数解析式． 【答案】(1)40 (2)①；② 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得，再利用勾股定理列式求出，然后根据计算即可得解； （2）①根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求解即可；②根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列方程整理即可； 【详解】（1）解：设与交于点， 四边形是菱形， ，且与互相平分， 则， 在中，根据勾股定理， ，， ． 则． （2）解：①四边形是菱形， ， ， 即， 解得． 在中，． 同理可得． ， 点在边上，点在边上，且四边形是平行四边形， 所以． 点的运动速度为每秒，运动时间为秒， 则； 点的运动速度为每秒，运动时间为秒， 则． ， 移项可得， 即， 解得． B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，t的值是； ②点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，有以下三种情况： 如图，当点在上，点在上时， ，， ， ， ， ； 当点在上时，点在上时， ，， ，， ， ； 当点在上，点在上时， ，， ，， ， ； 综上所述， 点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，难度较大．熟练掌握菱形的性质是正确解答此题的关键． 变式1．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图1，四边形是菱形，，动点、分别在、上运动，运动过程中．设的长为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，图象最低点纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，在上方作线段，且使，连接，，首先由图象求出时，，然后根据菱形的性质得到，，平分，证明，得到，当点G，E，C三点共线时，取得最小值，即m的值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在上方作线段，且使，连接，， ∵的长为，线段的长为， 由图象可得，当时，即当点D和点E重合，点F和点B重合时，， ∴此时，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点G，E，C三点共线时，取得最小值，即m的值，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴y的最小值为，即的值为． 变式2．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图1，在菱形中，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与之间的关系如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象可知，当点运动到点时，路程，面积为，从而求出菱形的边长；当点运动到点时，的面积最大，为，即；利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理和完全平方公式求出的值，进而求得的长． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，，， 由图2可知，当时，，此时点运动到点， ∴， ∴，解得； 当点运动到点时，的面积最大，为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 变式3．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在菱形中，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线向终点运动．设点的运动时间为秒．在点出发的同时，有一点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，则当与菱形的边垂直时，的值是______． 【答案】或或 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论即可求解． 【详解】解：在菱形中，，， 则， ∴，均为等边三角形， ∴，， 当时，即点在上，则， ∴， 此时，，则， ∴，解得：； 当时，即点在上，则， ∴， 此时，，则， ∴，解得：； 当时，即点在上，则， ∴， 此时，，则， ∴，解得：； 综上，当与菱形的边垂直时，或或． 故答案为：或或． 变式4．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）如图1，在四边形中，与都是等边三角形，且，点E在线段上从点C出发向点D按每秒个单位长度的速度运动，同时点F在线段上从点D出发向点B按每秒4个单位长度的速度运动，当E到终点时，点F同时停止运动，设运动时间为t秒，点G是射线上一点，且，连接．    (1)求证：四边形是菱形． (2)当时，求的长． (3)当中有一条边与垂直时，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)或 【分析】（1）由与都是等边三角形，可得，进而结论得证； （2）如图1，记的交点为，由四边形是菱形，可得，，则，由勾股定理得，，当时，，，，如图1，作于M，于N，则，由勾股定理得，，M与C重合，则，由，可得，，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）由题意知，分①，②，③，三种情况求解：①当，，，，由勾股定理得，，即，整理得，，即，解得，，或，解得，（舍去）；②当时，如图2，记垂足，，，，证明是等边三角形，则，，同理①可得，，，，，由勾股定理得，，即，解得或（舍去）；③当时，不存在． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图1，记的交点为，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 当时，，，， 如图1，作于M，于N， ∴， 由勾股定理得，， ∴M与C重合， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴的长为6； （3）解：由题意知，分①，②，③，三种情况求解： ①当，，， ∵， ∴， 由勾股定理得，，即， 整理得，， ∴，解得，，或，解得，（舍去）； ②当时，如图2，记垂足，，，，    ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 同理①可得，，，，， 由勾股定理得，，即， 解得或（舍去）； ③当时， ∵， ∴， ∴的情况不存在； 综上所述，的值为或． 考点二 菱形中的多结论问题 例1．（25-26九年级上·山东德州·开学考试）如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、含度角的直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积计算．先证明四边形是菱形，得出，从而判断①；利用勾股定理计算判断②；分别计算和的面积判断③；利用等腰三角形三线合一判断④． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在中，，， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，故③错误； ，， ， 平分， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 例2．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在菱形中，，，是线段上的动点（不与点，重合），连接，作射线，交线段于点，且使．给出下面四个结论： ①；②；③、两点间的距离的取值范围是；④连接，则面积的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含有角的直角三角形的性质、勾股定理，逐一判断各个结论的正误． 【详解】解：连接， 在菱形中，，， 则，，， ∴和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， 故结论①正确， ， 故结论②错误， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 当点无限接近时，趋近于，但不与重合， ∴， 当时，最小， ∴，， ∴， ∴， 故结论③错误， ∵是等边三角形，设的边长为，作， ，， ∴， ∴， 当的边长取最小值时，即时，最小，最小值为， 故结论④正确． 例3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，已知的面积为3，且将沿方向平移长度得到 ，连结交于点．下列结论中正确的是_________．①四边形的面积为9；② ；③④若 ，则. 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质和判定等知识点的综合运用及推理计算能力 【详解】解：由平移的性质得到：，，，，， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴的面积 =的面积， ∴ 四边形的面积 =面积的3倍 =， 故①符合题意； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②符合题意； 由勾股定理得到：， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③不符合题意； ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∴， ∴的面积 =， ∴， 故④符合题意； ∴ 结论中正确的是①②④； 故答案为：①②④. 例4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，，与交于点O，点为延长线上的一点，与，分别交于点，，且，连接和，，则以下4个结论：①；②平分；③；④，正确的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】利用菱形的性质求出，得到，即可判断①；求得，推出平分，即可判断②；过E作于G，求得，得到，再根据，由菱形的轴对称得，即可判断④；利用同底等高三角形的面积相等得到，即可判断③． 【详解】解：∵在菱形中，，与交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， ∴平分，故②正确； 过E作于G， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴由轴对称得， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，故③错误． 变式1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图1，在菱形中，，点在对角线上，，动点以每秒一个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有如下四个结论：①菱形的边长为3；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】先由菱形推出为等边三角形，结合与时，用勾股定理算出菱形边长为3，验证①；再根据的取值判断点所在线段，时在上，结合、得等边，求出，验证②；时在上，作垂线构造直角三角形，结合最值确定的取值范围，验证③；设，分别列出、段对应的，作差比较，得，判定④错误． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， ∵在菱形中，，点在对角线上， ∴，， ∴是等边三角形， 如图所示，过点E作于点， ，， ∴，， ， ，故①正确； 当时，点P的运动路程为， ∵， ∴此时点P在上，且，， ， 是等边三角形， ， ，故②正确； 当时，如图所示，过点作于点， 当时，点在点的位置，， ∴，， ∴，， ∴， 当时，点在点的位置，且点与点重合， ∴， 当点在点处，取到最小值，最小值为的值， ∴， ∴当时，，故③正确； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， 如图，当点P在上时（不包括点C），过点E作于点H， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时（不包括点C），过点E作于点G， ∴，， ∴， ∴ ， ；故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 变式2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边在直线上，，，点是直线上的动点，下列结论：①菱形的周长为；②菱形的面积为；③；④的最小值为，其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据菱形的性质计算周长和面积，利用菱形的对角线性质以及勾股定理判断结论③，利用轴对称性质（将军饮马模型）求的最小值． 【详解】解：四边形是菱形， 菱形的周长为，故①正确； 过点作于点 在中，， ∴ ∵， 菱形的面积，故②错误； 四边形是菱形， ∴，， ，故③错误； 延长至点，使得，连接 则点关于直线对称，则， ∴ ∴最小值为的长 ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ 的最小值为，故④正确 综上所述，正确的结论有①④，共2个． 变式3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】利用菱形的性质可证明为等边三角形，以及，则可得到，再利用等边三角形的性质可判断①；利用勾股定理可判断②；在上截取，连接，可证明得到，则可推出当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可判断③；根据含30度角的直角三角形的性质得到，，据此可得判断④；． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③正确； ∵，， ∴， ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 变式4．（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）如图，菱形中，与交于点O，，E为延长线上一点，使得，连接，分别交、于点F、G，连接，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论有 ________.（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据菱形的性质得出，，，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出，到之间的距离等于到之间的距离（设距离为h），求出四边形与四边形的面积相等，根据菱形的判定求出四边形是菱形即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，到之间的距离等于到之间的距离（设距离为h）， ∵四边形的面积，四边形的面积，， ∴四边形与四边形的面积相等，故③正确； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故④正确； ∴正确的是①③④， 故答案为：①③④． 2 学科网（北京）股份有限公司 $