暑假预习：中点四边形问题、特殊四边形相关的动点问题专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦中点四边形与特殊四边形动点问题，通过分层例题与变式构建从基础证明到综合应用的逻辑体系，培养几何直观与动态思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中点四边形问题|例3+变式3|基础证明、形状判定、面积计算及作图|从平行四边形证明到对角线影响形状的递进推导| |特殊四边形动点问题|例3+变式3|运动时间关联、函数关系构建、特殊图形存在性探究|以时间为变量的动态几何模型构建与推理|

暑假预习：中点四边形问题、特殊四边形相关的动点问题专项训练 暑假预习：中点四边形问题、特殊四边形相关的动点问题专项训练 考点目录 中点四边形问题 特殊四边形相关的动点问题 考点一 中点四边形问题 例1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）四边形中，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的形状． 例2．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 例3．（25-26八年级下·江苏南京·期末）顺次连接四边形边，，，的中点E，F，G，H得到四边形．已知四边形是矩形，且，． (1)四边形的面积为_________； (2)矩形如图所示．若四边形是直角梯形，，，用直尺和圆规作出直角梯形．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明．） (3)四边形周长C的取值范围是_________． 变式1．（25-26八年级下·四川乐山·期末）某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位线相关的面积问题进一步探究． (1)【问题探究】如图1，在中，是边上的高，、分别是边和的中点，在内作矩形，点、在边上，若面积为24，．请计算的长和矩形的面积，并猜想面积和矩形面积的关系； (2)【知识迁移】如图2，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，试说明； (3)【拓展应用】如图3，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，若，且，，求四边形的面积． 变式2．（2026·吉林长春·模拟预测）四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形都是平行四边形； (2)①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． (3)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 变式3．（25-26八年级下·江西赣州·期中）【猜想结论】如图1，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：且. 【验证结论】 (1)如图2，是小丽同学所作的辅助线，延长至，使得，连接，根据所作的辅助线，求证：，且． 【应用结论】 (2)如图3，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 考点二 特殊四边形相关的动点问题 例1．（25-26八年级下·河南新乡·期末）在四边形中，，，，，． (1)如图1，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动，运动到点即停止．点同时从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度做往返运动，当点返回点时停止运动，连接．设点的运动时间为． ①的长为__________； ②当四边形是矩形时，求的值； (2)如图2，点是上一动点，点是边上的一点，且，连接，，若在直线左侧存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出的长． 例2．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、（点在点的上方）． (1)求、两点的坐标； (2)设的面积为，直线运动时间为秒，求与的函数表达式； (3)连结，是否存在时刻，使得点在的垂直平分线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． (1)菱形的周长为___________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 变式1．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 变式2．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 变式3．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：中点四边形问题、特殊四边形相关的动点问题专项训练 暑假预习：中点四边形问题、特殊四边形相关的动点问题专项训练 考点目录 中点四边形问题 特殊四边形相关的动点问题 考点一 中点四边形问题 例1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）四边形中，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的形状． 【答案】(1)证明：如图，连接， 点，，，分别为，，，边的中点， 和分别是和的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形 (2)四边形是菱形 【分析】（1）连接对角线，依据三角形中位线定理，得到、均平行且等于的一半，推出一组对边平行且相等，即可证出四边形为平行四边形； （2）先延长、交于，证是等边三角形，结合推出、，用证，得对角线，再利用三角形中位线定理，得、，等量代换得邻边，最后由(1)知是平行四边形，从而证明四边形为菱形． 【详解】（1）略； （2）解：四边形是菱形．理由如下： 分别延长、相交于点，连接、，如图： ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 点，分别是，的中点， 是的中位线， ， 由（1）知，， ∵， ∴， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 例2．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】(1)四边形是平行四边形． 理由：如图1中，连接． ∵点E，H分别为边，的中点， ∴，． ∵点F，G分别为边，的中点， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． (2)四边形是菱形． 证明：如图2中，连接，， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵点E，F，G分别为边，，的中点， ∴，． ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． (3)四边形是正方形． 证明：如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N． ∵， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）连接，根据三角形中位线的性质得到，，，，推出，，即可证明； （2）如图2中，连接，交于点O，证明，得到，然后结合三角形中位线的性质即可证明； （3）如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N，证明，结合四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 例3．（25-26八年级下·江苏南京·期末）顺次连接四边形边，，，的中点E，F，G，H得到四边形．已知四边形是矩形，且，． (1)四边形的面积为_________； (2)矩形如图所示．若四边形是直角梯形，，，用直尺和圆规作出直角梯形．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明．） (3)四边形周长C的取值范围是_________． 【答案】(1)24 (2) 证明：连接，，，， 由作图可知，，， ∴，， ∴， 即， 设交于I点， 由作图可知垂直平分 ， ∴， ∴， ， ∵E、I、H三点共线， ∴B、O、D三点共线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， ∴F和G分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴A、O、C三点共线， ∵， ， ∴， ， ∴， 即， ∴梯形就是所求作的梯形． (3) 【分析】（1）根据三角形中位线的性质可得，，，进而可得，求解即可． （2）连接，过H点作直线于O点；分别以E点和H点为圆心，以、的长为半径画弧，两弧相交于A点；作射线，在射线上截取；作射线， 在射线上截取;分别作射线，相交于C点，则四边形即为所求作的梯形． （3）根据中点四边形的性质和三角形三边之间的关系即可得解． 【详解】（1）解：如图， ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，分别是，的中位线， ∴，，且，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：根据中点四边形的性质可知，， ∴，， 令，则；令，则， 则，，，， 根据三角形三边关系： 当O为、中点时，四边形为菱形，此时周长最小： ， ∴， 当与交点趋于端点A时，四边形趋于三角形，此时，，， 周长趋近于（但无法取到）， ∴周长C的取值范围是． 【点睛】对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形．原四边形的面积是中点四边形面积的2倍． 变式1．（25-26八年级下·四川乐山·期末）某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位线相关的面积问题进一步探究． (1)【问题探究】如图1，在中，是边上的高，、分别是边和的中点，在内作矩形，点、在边上，若面积为24，．请计算的长和矩形的面积，并猜想面积和矩形面积的关系； (2)【知识迁移】如图2，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，试说明； (3)【拓展应用】如图3，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)4；12；； (2)证明：连接，交于点J，交于点K， ∵点H和点G分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为， ∴，， ∴， 同理可得出：， ∵， ， ∴． (3)48 【分析】（1）先利用三角形中位线的判定定理和性质得出，过点A作交的延长线上，设与交点P，再通过矩形的判定和性质得出，根据矩形的面积公式求解，最后由三角形面积和距离的面积猜想出两者的关系即可． （2）连接，交于点J，交于点K，得出是的中位线，即，设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为，根据三角形以及四边形面积公式得出，同理可得出：，进而可得出． （3）利用中位线的判定和性质进一步证明四边形是菱形，利用菱形的性质求出菱形的面积，再根据结论（2）即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别是边和的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴， 过点A作交的延长线与点，设与交点为P， 则， ∴四边形为矩形，四边形和四边形都为矩形， ∴，，， ∵E为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故猜想：； ∵，，，， ∴． （2）略； （3）解：连接，，，，，， ∵、、、分别是边、、、中点， ∴，，，分别是，，，的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 由（2）的结论可知：． 变式2．（2026·吉林长春·模拟预测）四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形都是平行四边形； (2)①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． (3)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2)①菱；②矩 (3)菱 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理推导出，，然后利用平行四边形的判定可得结论； （2）①连接，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （3）分别延长、相交于点M，连接、，证明，得到，根据（2）①证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：①连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ②∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （3）解：四边形的中点四边形是菱形．理由如下： 分别延长、相交于点M，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①知，四边形的中点四边形是菱形． 变式3．（25-26八年级下·江西赣州·期中）【猜想结论】如图1，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：且. 【验证结论】 (1)如图2，是小丽同学所作的辅助线，延长至，使得，连接，根据所作的辅助线，求证：，且． 【应用结论】 (2)如图3，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． （）先证明可得，，可得四边形是平行四边形，由此即可得出结论. （）连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证； 【详解】（1）证明：延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴. （2）证明：连接， ∵点分别为边的中点，    ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 考点二 特殊四边形相关的动点问题 例1．（25-26八年级下·河南新乡·期末）在四边形中，，，，，． (1)如图1，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动，运动到点即停止．点同时从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度做往返运动，当点返回点时停止运动，连接．设点的运动时间为． ①的长为__________； ②当四边形是矩形时，求的值； (2)如图2，点是上一动点，点是边上的一点，且，连接，，若在直线左侧存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出的长． 【答案】(1)①13；②t的值为9或18 (2)的长为20或 【分析】（1）①由 ，，过点 作 于 ，则四边形 为矩形，可得 ，，，故 ，由勾股定理得 ． ② 四边形 中，，若为矩形，则．分点 从 向 运动和从 返回 两种情况列方程计算即可． （2）过作，得，分三种情况讨论：①为菱形对角线时，由菱形对角线垂直平分得，由勾股定理得；②为菱形边且为邻边时，；③ 为边且为邻边时，不符合题意，舍去． 【详解】（1）解：① 如图，过点 作 于 ， ，， ，且，即， 四边形为矩形， ，， 在中， ． ②由题意可得，点 从 出发，沿 运动，速度为每秒3个单位长度，， 则 从 到 用时 秒，再返回 又用 秒，总时间 秒． ， 若四边形 是矩形，则， 当点从向运动，即时， ， 由 ，可得，解得，符合题意． 当点从返回运动，即时， ， 由 得，，解得，符合题意． 综上， 或 ． （2）解：过点 作 于点 ． 四边形为矩形， ， 当为菱形的对角线时， 如图， 设的中点为， , ， 由，可知，点与点重合，即， 在中，由勾股定理： ， ， 此时点在直线左侧，符合题意． 如图，当为菱形的边，且为邻边时， ， 在中，由勾股定理： ， ， 点在线段上，即点在边上，点在直线左侧，符合题意． 如图，当为边，为邻边， 此时对应点落在直线右侧，不符合题意． 综上，的长为或． 例2．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、（点在点的上方）． (1)求、两点的坐标； (2)设的面积为，直线运动时间为秒，求与的函数表达式； (3)连结，是否存在时刻，使得点在的垂直平分线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）分别过点A、B作，，在中，根据锐角三角函数解直角三角形和菱形性质，确定点的坐标，再根据矩形的性质确定点的坐标； （2）根据直线与菱形的边的交点位置不同分类讨论，利用三角形面积公式，求出对应的三角形面积和的取值范围； （3）根据（2）中的三种不同位置分类讨论，利用垂直平分线性质得到，再根据矩形性质得到，列方程求出的值． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为点E，过点B作，交延长线于点F， ∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，，， ∴， ， ∴点坐标为， ∵，， ∴点坐标为； （2）解：当直线与相交于点M，与线段相交于点N，此时， ∵直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动， ∴，此时，， 在中，，， ∴， ∴； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，，， 此时，； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，， 由（1）知，， ∴， ∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）解：存在时刻，使得点在的垂直平分线上． 当直线与相交于点M，与线段相交于点N，此时，，不可能相等； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 由（2）知，， ∴， 过点B作，交延长线于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）知，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ，满足； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，， 由（2）知，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ， ∵， ∴ ， 解得， 当时，M、N、B三点共线，线段不存在，舍去； 综上所述，存在时刻，使得点在的垂直平分线上，此时． 【点睛】本题考查了了菱形的性质、矩形的性质和判定、垂直平分线的性质、三角形面积公式、特殊角的锐角三角函数解直角三角形、平面直角坐标系中点的坐标与线段长关系、解一元一次方程、速度和路程和时间的关系，解题关键是根据动点的位置进行分类讨论． 例3．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． (1)菱形的周长为___________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)16 (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理． （1）利用菱形周长公式求解即可； （2）作交延长线于点，分当点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）分当和时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴菱形的周长为， 故答案为：16； （2）解：作交延长线于点， 由题意得，则，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴，， 当点在线段上即时，， 当点在线段的延长线上即时，， 综上，； （3）解：当时， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得； 当时， 同理，，即， 解得； 综上，的值为或． 变式1．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2) (3)12或4 (4)2或或8 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）由题意可得，即可； （2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可； （3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可． （4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为6； （2）解：当点Q沿运动时，； 由题意得：； 当点Q沿运动时，， ∴， 即； （3）解：∵面积为， ∴梯形的面积为 分两种情况： 当点Q沿运动时，如图， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时，如图， 同理：， 解得：， 此时，两点重合，两点重合； 综上所述，当平分面积时，t的值为12或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时， 同理， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为2或或． 变式2．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 【答案】(1)， (2)运动时间为时，四边形为平行四边形 (3)运动时间为时，四边形为矩形 (4)当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 【分析】此题考查了正方形，菱形，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，，进而即可求得； （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （4）根据四边形为正方形，可得，进而求得，再根据，建立方程，求得；当四边形为菱形，过点作于点，根据勾股定理求得的长，进而求得，从而求得，根据，建立方程求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，则， 故答案为：， （2）由题意可得：，， ， ， 设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形． 由得，， 解得：， 当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． （3）， ， 设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． 由得：， 解得：， 又 平行四边形为矩形． 当运动时间为秒时，四边形为矩形． （4）解：点运动的速度为，则 ∵四边形为正方形 ∴ ∴，则 解得： ∴当为时，四边形为正方形， 如图，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴当四边形为菱形时， ∴ ∴ 解得： ∴当为时，四边形为菱形； 综上所述，当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 变式3．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)当时，四边形是正方形． 【分析】（1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形， 如图， ∵，， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得， 此时， ∴矩形为正方形， ∴当时，四边形是正方形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $