暑假培优预习：反比例函数中的面积问题、特殊三角形存在性问题专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦反比例函数与几何综合，通过面积计算和特殊三角形存在性问题的分层训练，构建坐标转化与图形性质融合的解题逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |反比例函数中的面积问题|3例+3变式|涉及函数交点、坐标系图形面积计算，含动态点面积问题|基于反比例函数k的几何意义，通过坐标转化将面积问题转化为方程求解，体现数形结合| |反比例函数中的特殊三角形存在性问题|3例+3变式|含等腰/直角三角形判定，结合函数图像动点探究|融合函数性质与三角形判定条件，通过分类讨论构建方程模型，发展逻辑推理与模型意识|

暑假培优预习：反比例函数中的面积问题、特殊三角形存在性问题专项训练 暑假培优预习：反比例函数中的面积问题、特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 反比例函数中的面积问题 反比例函数中的特殊三角形存在性问题 考点一 反比例函数中的面积问题 例1．（2026·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）先用点求出反比例函数中的，再由点的横坐标求出点的纵坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． （2）设点的坐标为，利用一次函数解析式求出直线与轴的交点，把的面积转化为与的面积之和，列方程求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为，且点在的图象上， ， ， 一次函数的图象过点、， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 一次函数与轴交于点， ， ， 、， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， ， ， 又， ， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 例2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)已知点的横坐标为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出，，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得， ∴， ∴， 将代入反比例函数得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点的横坐标为， ∴在时，当时，， ∴， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴ ． 例3．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点，点，过点 作 轴于点 ，则 ，根据，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 变式1．（2026·安徽芜湖·三模）一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． (1)求、的值； (2)求直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）联立一次函数与反比例函数，由题意可知，和是方程的两根，代入求解即可 （2）求出点和点的坐标，进而计算出的面积． 【详解】（1）解：联立一次函数与反比例函数，得， ， 整理，得， 由题意可知，和是方程的两根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； (3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）根据，得到，继而得到；确定或，根据平移求解即可； （3）根据题意，得或；当点P在直线上时，得或， 当点P在直线上时，得或，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． ，， 解得，， 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：根据，得， ； 或， 设平移后的解析式为， 当直线经过时，得，解得； 当直线经过时，得，解得； 故平移后的函数解析式为或； （3）解：根据题意，得， 则，， 根据题意，得， ， ， ， 或 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 综上所述，符合要求的点P的坐标为； 变式3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 考点二 反比例函数中的特殊三角形存在性问题 例1．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 例2．（25-26八年级下·上海·期末）已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）过点B作于点H，易得，设，求出，进而得到，设，代入双曲线，即可求解； （2）设，求出，分或或，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点B在第一象限， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵轴， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或或， 当时，则，即， ∴， 解得或（与点重合，舍去）， ∴； 当时，则，即， ∴， 解得或， ∴或； 当时，则，即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 例3．（25-26九年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为， (2)或． 【分析】（1）将点代入求得即可得到反比例函数解析式，进而确定，再运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设，，先求得，再分、、三种情况列方程求得解并取符合题意的解即可解答． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 将代入， ∴，解得：， ∴． （2）解： 设，， ∵， ∴， 由为等腰三角形： ①当时，，解得： （不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为：， ②当时，，解得：（不合题意舍去）或， ∴点P的坐标为； ③当时，，解得：（不合题意舍去）． 综上所述，P点的坐标为或． 变式1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)当为直角三角形时，点P的坐标为或 【分析】（1）先得出，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式可得：，，，然后可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 变式2．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，． (1)求k的值； (2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长； (3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等，分类求解是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可求出，得点坐标，从而求出的值； （2）由得，求出，从而可求出； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ，， ∴， ， 点， ； （2）解：四边形为平行四边形 ， 解得，（不合题意舍去） ； （3）①当时， ∴, 又， ∴，， ∴， ∴， ∴， ，即 ， ； ②当时， 又 ， ； 综上所述，点P的坐标为或． 变式3．（24-25九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、： ①当为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2)①，②或 【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求得点B 的坐标； ①作关于轴的对称点，连接交轴于，由于C和关于轴对称，有，当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点M的坐标；②设，，当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，可证明，则，，列出；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，列出，解得n即可． 【详解】（1）解：∵，， ， 将代入得： ， 解得， 反比例函数的表达式为， 在中，令得， 的坐标为； （2）解：①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称， ， 当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 由（1）知，， ， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 当时，， 则点M的坐标为； ②设，， 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查函数和几何的结合，涉及待定系数法求解析式、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及等直角三角形的性质，解题的关键是熟悉函数的性质． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优预习：反比例函数中的面积问题、特殊三角形存在性问题专项训练 暑假培优预习：反比例函数中的面积问题、特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 反比例函数中的面积问题 反比例函数中的特殊三角形存在性问题 考点一 反比例函数中的面积问题 例1．（2026·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 例2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)已知点的横坐标为，求的面积． 例3．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 变式1．（2026·安徽芜湖·三模）一次函数与反比例函数交于、两点，两点横坐标分别为和． (1)求、的值； (2)求直线与坐标轴围成的的面积． 变式2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； (3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 考点二 反比例函数中的特殊三角形存在性问题 例1．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 例2．（25-26八年级下·上海·期末）已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 例3．（25-26九年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 变式1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 变式2．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，． (1)求k的值； (2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长； (3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由． 变式3．（24-25九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、： ①当为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $