暑假预习：二次函数中的线段或周长问题、二次函数中的面积问题专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，通过线段/周长、面积两大模块，系统覆盖动点最值、图形转化等核心考法，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数中的线段或周长问题|例3+变式3|动点在直线/抛物线上，求线段长、周长最值及取值范围|以坐标表示为核心，通过二次函数表达式转化几何量，运用顶点性质求最值| |二次函数中的面积问题|例3+变式3|图形面积计算、最值及面积关系证明，涉及割补法与坐标转化|结合抛物线与直线交点，将面积表示为函数关系，培养推理意识与应用能力|

暑假预习：二次函数中的线段或周长问题、二次函数中的面积问题专项训练 暑假预习：二次函数中的线段或周长问题、二次函数中的面积问题专项训练 考点目录 二次函数中的线段或周长问题 二次函数中的面积问题 考点一 二次函数中的线段或周长问题 例1．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 例2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 例3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． (1)求点、点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点，抛物线经过点和，点是抛物线上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为． (1)求出抛物线的解析式： (2)若点在第四象限，线段的长度能否达到2个单位长度？若能，求出此时点坐标，若不能，说明理由． 变式2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 变式3．（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 考点二 二次函数中的面积问题 例1．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 例2．（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 例3．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）在如图所示平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，已知线段的中点P为抛物线的顶点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)求的面积． 变式1．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 变式2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线 经过，两点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式及值． (2)与关于直线对称，求的坐标． (3)抛物线上是否存在点与点不重合，使得 的面积恰好等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（2026·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：二次函数中的线段或周长问题、二次函数中的面积问题专项训练 暑假预习：二次函数中的线段或周长问题、二次函数中的面积问题专项训练 考点目录 二次函数中的线段或周长问题 二次函数中的面积问题 考点一 二次函数中的线段或周长问题 例1．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①②最大值为，； (2)或 【分析】（1）①先确定抛物线解析式为，再根据解析式确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可； ②不妨设，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）不妨设，，分点P在上方和在下方，分别表示出线段的长，根据二次函数的性质，建立不等式求解即可． 【详解】（1）①解：时，抛物线变形为， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； ②解：根据题意，得点为直线上的动点， 轴交抛物线于点Q． ，， ，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ， ∴当，的长度最大，且最大值为，此时． （2）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． ， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． 当点P在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，线段的长随着的增大而增大， ， 解得； 当点P不在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，且在对称轴直线的右侧，线段的长随着的增大而增大， ， 综上所述，m的取值范围是或； 例2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把代入得： ， 解得：  ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， 设的解析式为：， ∵,， 所以， 解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵， ∴ ， 解得：（舍） 或， ∴. 例3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． (1)求点、点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的应用、正切、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出，，再根据正切的定义可得，然后根据可得的值，则可得的长，由此即可得； （2）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，，再作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则当点共线时，的长最小，即的周长最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，将代入求解即可得． 【详解】（1）解：将代入抛物线得：， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，． （2）解：将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由上已得：，，， ∴， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则，， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，即的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴在（2）中抛物线的对称轴上存在一个点，使的周长最小，点的坐标为． 变式1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点，抛物线经过点和，点是抛物线上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为． (1)求出抛物线的解析式： (2)若点在第四象限，线段的长度能否达到2个单位长度？若能，求出此时点坐标，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）表示出，则，根据线段的长等于2，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）能， ∵点是抛物线上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为 ∴，则， ∴， 由题意，，解得或， ∴或． 变式2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1)，最大值为 (2)点P的坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可； （2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； （2）解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 变式3．（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质． （1）利用待定系数法求得抛物线的函数表达式，化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为， （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，在抛物线上， ∴点，关于抛物线对称轴对称， ∴由抛物线的对称性得， ， 当时，，则点的纵坐标为， 矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 考点二 二次函数中的面积问题 例1．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 例2．（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】(1)，，的面积为 (2)3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 例3．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）在如图所示平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，已知线段的中点P为抛物线的顶点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与几何综合，求一次函数解析式，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据点A的坐标求出的长，进而求出的长，则可推出点P的坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点B的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P为抛物线的顶点， ∴可设抛物线的解析式为， 把点A的坐标代入中得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：把点A的坐标代入中得，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，， ∴点B的横坐标为4， 在中，当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴． 变式1．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可． （2）根据二次函数图象平移的性质求出点D的坐标，再求出点B的坐标，通过计算得出，根据等边对等角得出，最后根据正弦的定义求解即可． （3）分点D在点C上方或下方两种情况，画出图形作出辅助线利用平行线的性质和相似三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解∶∵抛物线的顶点C的坐标为， 故设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于A点，点A坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：设抛物线的对称轴与x轴交于点E，如图：    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵把抛物线向上平移5个单位， ∴，， ∴， 令，则， 解得或7， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：①当点D在点C的上方时， 设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ②当点D在点C的下方时，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：点E的坐标为或． 变式2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线 经过，两点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式及值． (2)与关于直线对称，求的坐标． (3)抛物线上是否存在点与点不重合，使得 的面积恰好等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 ，的值是 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将，代入 ，由待定系数法可得抛物线的表达式为 ；把代入 即得； （2）由，，，可得，从而可证明，即知关于的对称点在 轴上，根据即得 ； （3）分两种情况：当点在右侧的抛物线上时，分别求出直线、的解析式，联立方程组求得点的坐标；当点在左侧的抛物线上时，可得． 【详解】（1）解：将，代入 得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为 ； 把代入 得： ， 故该抛物线的解析式为 ，的值是． （2）解：如图，，，， ，，轴， ，， ， ， ∴与关于直线对称， 关于的对称点在 轴上，， ∴ ； （3）存在． 当点在右侧的抛物线上时，如图 由（2）知： ，、， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 的面积等于的面积， ∴ 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由 ， 解得：或， ； 当点在左侧的抛物线上时， ∵ 点与点重合，即， 综上，点的坐标为或． 变式3．（2026·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， 当或时，， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $