专项训练06 反比例函数中K值的几何意义（巩固培优）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦反比例函数K值几何意义，通过图形转化构建从基本图形到复杂阴影面积的解题体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形面积|4题|利用|k|/2公式，结合坐标垂线转化|从单点垂线模型到动态点面积不变性| |等腰三角形面积|2题|分类讨论腰长，结合K值几何意义求底高|特殊三角形性质与K值本质关联| |平行四边形/矩形面积|6题|转化为基本矩形面积|平行四边形对边性质与K值几何意义融合| |阴影部分面积|4题|分割补形为基本图形|复杂图形向三角形/矩形转化的推理链| |综合应用|9题|多函数结合与动态问题分析|从静态计算到动态不变性探究|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练06反比例函数中K值的几何意义 知识复盘卡 【知识点1反比例函数中K值的几何意义】 1.反比例函数中求三角形的面积 2.反比例函数中求等腰三角形的面积 声X B 0) Saos=号lkM S△Aoc=(OA=AC) 3.反比例函数中求平行四边形的面积 4.反比例函数中求矩形的面积 SOABCD=kl S矩形ABOc=|K 5.反比例函数中求阴影部分的面积 S=S2 Sm影k-k 培优拓展训练 ★巩固提升练 1/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (题型1反比例函数中利用k值求三角形的面积】 L.如图，在平面直角坐标系中，点4在反比例函数y=(k为常数，>0，心0)的图象上，过点A作 x轴的垂线，垂足为点B,连接OA.若△OAB的面积为4，则k=】 B 2.反比例函数y=元的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，过点M作MN⊥x轴，垂足是点V,如 果S△Mow=2,则k的值为 【题型2反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积】 3.如图，点A在反比例函数y=第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若OA=AB,则△40B 的面积为 4.如图，若反比例函数)-的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则△4OB的 面积是 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 州 【题型3反比例函数中利用k值求平行四边形的面积】 5.如图，反比例函数y=的图象经过平行四边形ABCD的顶点A'CD在x轴上，点B在y轴上， S。ABcD=16,则实数k的值为一· 6知图，装形01BC的顶点0走原点，顶点在)新上，反比M至数y=”:>0的图条经过页点4芝 形的面积为. 【题型4反比例函数中利用k值求矩形的面积】 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y=x>0)的图象上的一点，则矩形OABC的面积 为 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8如图，过= 文(x>0)的图象上点A,分别作x轴，y轴的平行线交一-的图象于B,D两点，以B: 9 AD为邻边的矩形ABCD的面积是2，则k的值是一 y个 y=- B A 【题型5反比例函数中利用k值求阴影部分的面积】 9.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O上，且正方形的一组对边与x轴平行.P(2,a)是 反比例函数y=x的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积为16，则这个反比例函数的解析式 为 10.(24-25九年级上辽宁锦州阶段练习)如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线 y=x与AB交于点D,与BC交于点B,DF⊥x轴于点P,EG⊥y轴于点G,交DF于点H,若矩形 OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为一 4/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E A ★能力培优练 1如图。点是反比例图数y=(k0x>0的图象上一点，过点4作ABLx轴于点B点p是，轴上任 意一点，连接PA,PB,若△ABP的面积等于5，则k的值为() A.5 B.10 C.25 n 4 8 8 4 2.反比例函数y和y=在第一象限的图象如图所示，点4在函数y-图象上，点B在函数y= 图 象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点4B.C在双曲线y=上，BD1x轴于点D,CE上y轴于点E?点 6 F在x轴上，且AO=AF,则图中阴影部分的面积之和为() 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B A.6 B.9 C.12 D.18 4如图，在反比例函数y-(>0)的图象上，有点BB,B,B,户…它们的横坐标依次为1， 2,3,4,…,,…,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S,S2,S,S4,…,Sn,…,则S+S2+S3+…S224的结果为() V= P P 31 2 34 4043 4045 4046 4048 A. 2023 B. 2024 C.2025 D. 2025 了（2025甘两武威一模)如图，点4是反比例函数y x（k≠0)图象上的一点，过点A作AB⊥y轴 于点B,点C是x轴上的一点，连接AC,BC,若△ABC的面积为3，则k的值是一 6.如图，4、B两点在双曲线y=（k>)上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S=1,则 S,+S2= (用含k的代数式表示) 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S2 0 7.如图，反比例函数y=(x>0)的图象与矩形OABC在第一象限相交于D,E两点，已知OA=2: OC=4,连接OD,OE,DE.记△OAD,△OCE的面积分别为S,S2. YA B (I)若点D是AB的中点，则k=一： (2)若S+S2=2,则a0DE的面积为一· 2 8.如图，在反比例函数y=(x>0)的图象上有点B,乃，B,,它们的横坐标依次为1,2,3，…，分 别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为44,4，…，分别以B4,B4,B4,…为对角线作平行四边形， 另两顶点分别落在Pr24,r2与n,m上（n=1,2,3,…,A为y轴)，所构成的阴影部分的面积从左 到右装欲为sS一包r安，月-写安，月-安安安用月一R-只 2 V= x P 0A由，AA,A。六 ?.如图，已知4m,4、B是反比例函数y-k+0)图象上的两个点，BC1x挂于点C,若△OBC的面 积为2. 7/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m的值： (2)以OA边作菱形OADE,使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形OADE的面积. 6 10.如图，点4在y轴的正半轴上，过点4作x轴的平行线，交反比例函数=x>0)的图像于点B 2 过点B作y轴的平行线，交反比例函数片=(x>0)的图像于点C,过点c作，轴的平行线，交y轴于点 D,记四边形ABCD的面积为S V2= 66x>0) A D y1 2(x>0) (1)若点A的纵坐标为2，求S的值； (2)求证：无论点A在y轴正半轴的何处，S的值不变 1.如图。过反比例函数y->0>0图象上的点p分别作y轴、y轴的垂线段。垂足分别为点人B B D ▣ A C (1)求四边形PAOB周长的最小值，并求出此时点P的坐标： (2)过点P右边的另一点Q分别作x轴、y轴的垂线段，垂足分别为点C、D,如果点PQ的横坐标分别为 m、n,试比较四边形PAOB与四边形QCOD周长的大小. 8/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ★创新拓展练 1.如图，已知A是反比例函数y=2 图象上的一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B,连接OA,则 △OAB的面积为() A. B.1 2 c D.2 2.反比例函数y=-(x<0)如图，则矩形O4Pg的面积是《) VA A.6 B.-6 C.3 D.-3 2 3 3.如图，点4是反比例函数y=图象上任意一点，过点A平行于轴的直线交反比例函数y=一的图象 于点B,以AB为边作平行四边形ABCD,其中C,D在x轴上，则四边形ABCD的面积为() 3 y= 2 B C OD A.6 B.5 C.3 D.2.5 9/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，过点P(4,5)分别作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,PC、PD分别交反比例函数 y=8(x>0)的图象于点A、B,则四边形BO4P的面积为（）· B A.8 B.10 C.12 D.16 5.如图，点P,巴，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴 的交点分别为点C,B,A,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S,S,S,其中 OA:AB:BC=1:2:3,若S2=4,则S+S=() S D A.10 B.9 C.8 D.7 4 6.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x>0)的图象经过矩形OABC的边4B的中点D,且点 A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，则矩形OABC的面积为一。 3 7.如图，函数y=(k≠0)与y=的图象交于A,B两点，过点A作M垂直于x轴，垂足为点M,则 △BOM的面积为 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 5 8,已知反比例函数C:y和c,:y=在第一象限的图象如图所示，平行四边形ABCO的顾点A B分别在C1和C2上，点C在x轴上，则口ABCO的面积为. 之刻图。在半省直角坐标系中，O为坐标原点，点B在面数x>0的图象上，过点4作 AM⊥x精于点M:过点B作BN⊥y轴于点N·AM与BN交于点p西数y-Cc>0)的图象过点P连 接OA,OB,若图中的阴影面积为7，则k的值为一 10.如图，己知反比例函数y=的图象上有一组点B、B,、…、B,它们的横坐标依次增加1，且点 B横坐标为1.“①、②、③…”分别表示如图所示的三角形的面积，记S,=①-②，S,=②-③， …,则S+S2+…+S2025= 11/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B3 B4 Bs 45 1.如图。点4是反比例函数y(>0)的图象上一点，过点作B⊥x轴，垂足为点g·线段4B 交反比例函数y-(x>0)的图象于点C,求AO4C的面积. 6 V- B 12.如图，点A在反比例函数y(x>0)的图象上，过点4分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数 y=的图象于B,C两点，以AB,AC为边的矩形ABDC被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记 为S,S2,S,S4,已知S=3 S2 0 B ①直接写出反比例函数y-(x>0)的表达式， (2)求矩形ABDC的面积. 13.已知点p是x轴正半轴的一个动点，过点p作x轴的垂线PA,交双曲线y=于点A,连接OA: 12114 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？答：-（请填“变化”或 “不变化”)，若不变，请求出Rt△AOP的面积=-：若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）： (②)如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，,过点D作x轴的垂线交双曲线于点B,连接BO交AP于C, 设△AOP的面积是S,梯形BCPD的面积为S2,则S与S2的大小关系是S_S2(请填“>”、“<”或“= ”). 14.如图，在反比例函数y=的图象上有R,乃，B,…,Pm等点，它们的横坐标依次为1,2， 3,…,2026.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S,S2, S3,…,S224,S2025. P P P3026 012345 2026x (1)当k=1时，S+2+S,+…+S2024+S02s= (2)当k=2时，S+S2+S3+…+S204+S,05= (3)当k=3时，S+S2+S,+…+S04+S05= (④当k=n时，S+S2+S3+…+S224+Sms= 15.知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们己经知道：如图1，点A是反比例函数y=,上任意一点， 则矩形ABOC的面积为. 13/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 图1 图2 图3 图4 图5 (1)初步尝试 如图2，点A,B分别在反比例函数y=和V= 2 -4 的图象上，四边形ABOC和EFOB都是矩形，易知四边 形EFCA也是矩形，分别求矩形EFOB和EFCA的面积. (2)类比探究 如图3，点A,C在反比例函数y=(>0)的图象上，点B,D在反比例函数y-（b<0)的图象上， AB∥CD∥x轴，AB与CD在x轴的两侧，AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5，求a-b的值. (3)拓展延伸 E和少 如图5，已知反比例函数y= -·m>>0:若点8，C在-图象上，点4，D在图象上 且AB∥CD∥x铺，4B-3cCD =6,AB和CD间的距离为12，求m-n的值. 14/14 专项训练06 反比例函数中K值的几何意义 【知识点1 反比例函数中K值的几何意义】 1.反比例函数中求三角形的面积 2.反比例函数中求等腰三角形的面积 3.反比例函数中求平行四边形的面积 4.反比例函数中求矩形的面积 5.反比例函数中求阴影部分的面积 【题型1 反比例函数中利用k值求三角形的面积】 1．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（为常数，）的图象上，过点作轴的垂线，垂足为点，连接．若的面积为，则 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数中，过双曲线上一点作轴、轴垂线，所得矩形面积为，三角形面积为的性质，结合已知三角形面积求．本题主要考查反比例函数中的几何意义，即过双曲线上一点作轴、轴垂线，所得矩形面积为，三角形面积为，熟练掌握此几何意义是解题关键． 【详解】解：设点的坐标为 点在反比例函数（，）图象上，且轴 ，，，即 又 解得 故答案为： 2．反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，过点作轴，垂足是点N，如果，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后根据函数图象在第二象限，可得到满足条件的的值． 【详解】解：根据题意得， 则， 而， 所以． 故答案为：． 【题型2 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积】 3．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 4．如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质．作于点，由在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义得，再根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 【题型3 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积】 5．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，点在轴上，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，正确理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．根据反比例函数k值几何意义进行解答即可． 【详解】解：如图，过点A作轴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 6．如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点，菱形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了反比例函数和菱形的结合，菱形的性质，反比例函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和反比例函数的性质． 过点作轴，交轴于点，的交点为，得出四边形为矩形，利用反比例函数的性质得出，再根据菱形的性质即可求出面积． 【详解】解：如图所示，过点作轴，交轴于点，的交点为， 根据菱形的性质可得，， 又∵， ∴四边形为矩形， 由反比例函数得，， ， ， 故答案为：20． 【题型4 反比例函数中利用k值求矩形的面积】 7．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， 故答案为：． 8．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键． 设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD的面积是得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ∵矩形， ∴，， ， 设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图， ∴，，， ， ， ，． 故答案为：2或． 【题型5 反比例函数中利用k值求阴影部分的面积】 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O上，且正方形的一组对边与x轴平行．是反比例函数的图象与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积为16，则这个反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的中心对称性得到正方形的面积，解得(舍去），所以点坐标为，然后把点坐标代入即可求出. 【详解】解：由题意，得阴影部分的面积为16， 根据反比例函数及正方形的对称性，阴影部分面积应为正方形面积的， ∴正方形面积为，边长为，半边长为， 即 ． 把代入中，得 ∴这个反比例函数的解析式为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，矩形的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线与交于点D，与交于点E，轴于点F，轴于点G，交于点H．若矩形和矩形的面积分别是1和2，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，设，则，，根据矩形面积计算公式可得，进而得到，求出点E的坐标，进而求出的长，根据矩形的面积为2，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵轴， ∴，， ∵矩形的面积为1， ∴， ∴， ∴； ∵轴， ∴点E的纵坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵矩形的面积为2， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：． 1.如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，若的面积等于，则的值为（ ） A．5 B．10 C．25 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，由于同底等高的两个三角形面积相等，，然后根据反比例函数中k的几何意义，知，从而确定k的值． 【详解】解：的面积等于5， ， ， ， ； 又反比例函数的图象的一支位于第一象限， ． ． 故选：B． 2．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的性质，解题的关键是运用反比例函数的性质来解题． 过作轴，交轴于点，将阴影部分拆成个三角形面积和，利用、、点都在反比例函数上，可得各个三角形面积，即可求阴影部分面积之和． 【详解】解：过作轴，交轴于点，如图所示： ∵，轴， ∴为的中点，即， ∴， 又∵、、点都在反比例函数上， ∴， ∴ 则， 故选： C． 4．如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引x轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：当时，的纵坐标为2，即点坐标为， 当时，的纵坐标，即点坐标为， 当时， 的纵坐标，即点坐标为， 当时，的纵坐标， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 5．（2025·甘肃武威·一模）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．连接，得到轴，则，由此即可得到答案． 【详解】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 6．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义．理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据中的几何意义来求解即可． 【详解】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为， ． 故答案为：． 7．如图，反比例函数的图象与矩形在第一象限相交于两点，已知，，连接．记的面积分别为． （1）若点是的中点，则 ； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握是解题关键． （1）根据题意得到点的坐标，然后把它代入反比例函数的解析式求解即可； （2）由反比例函数的几何意义得到的值，再通过三角形的面积公式求出的长度，从而求出的值，最后再用即可求出． 【详解】（1）解：在矩形中， ， ． 点是的中点， ， 点坐标为， 反比例函数的图象经过点， ，即， 故答案为：4； （2）解：根据反比例函数中的几何意义知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，在反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为，…，分别以…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在与上（1，2，3，…，为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，…，记，，，…，则 ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质．也考查了三角形面积公式和反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，，，再根据平行四边形的性质和三角形面积公式可计算出，，，，，所以，，，即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…， ∴，，，，， ∴，，，，， ∴，，， 故答案为：，． 9．如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 【答案】(1)m的值为1 (2)菱形的面积为 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，熟知反比例函数的图象与性质、菱形的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数系数的几何意义求出的值，据此求出m的值即可； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知点B在反比例函数图像上， 因为轴于点C，的面积为2， 所以， 又， 所以， 则反比例函数解析式为， 将点代入得， 解得， 所以m的值为1． （2）解：由（1）知，则， 因为四边形是菱形， 所以，且边上的高为点A的纵坐标值，即为4， 所以菱形的面积为． 10．如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意求得、点的坐标，即可求得，，然后根据矩形的面积公式即可求解； （2）利用反比例函数系数的几何意义即可证得结论． 【详解】（1）解：由题意可知点的纵坐标为2， 把代入， 可得 ，解得 ， ∴， ∴点的横坐标为3， 把代入得，， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：延长，交轴于， ∵轴，轴， 又∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 11．如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，并利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设四边形的周长为，点的坐标为，则，利用不等式的性质即可求解； （2）设四边形的周长为，四边形的周长为，分，和，三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为， 则， 由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，取得最小值， 此时点的坐标为； （2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为， 则， 由题意，， ∴当，即时，， 即，∴四边形的周长小于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长等于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长大于四边形的周长． 1．如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义．结合反比例函数关系，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解析：∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴，， ∴，， ∴． 故选：B． 2．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 过双曲线上任意一点向x轴、y轴引垂线，所得矩形面积为．据此解答． 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 3．如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质； 连接、，设交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义求出和，则平行四边形的面积． 【详解】解：连接、，设交y轴于E，如图， ∵平行四边形，，在轴上， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴平行四边形的面积． 故选：B． 4．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 5．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的边的中点，且点、分别在轴、轴的正半轴上，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解答本题的关键． 根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 点在反比例函数的图象上， ， 点是的中点， ， 故答案为：． 7．如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 【答案】/1.5/ 【分析】本题考查了反比例函数解析式中k的几何意义，根据反比例函数解析式中k的几何意义即可解答． 【详解】解：由题意得：，则， 设， ∴， 将代入反比例函数得：，即， 又∵，即为直角三角形， ∴． 故答案为：． 8．已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】通过作辅助线，利用反比例函数中的几何意义，结合平行四边形的性质，求出平行四边形的面积．本题主要考查反比例函数的几何意义和平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，则轴于，连接． 点在上， ； 点在上， ； 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，函数的图象过点连接，，若图中的阴影面积为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，然后根据求解即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 则，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 10．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ ， 故答案为：． 11．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 12．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，根据反比例函数的图象在第一象限，得出 ，即可得出答案； （2）点B，C均在反比例函数的图象上，得出．设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点B，C均在反比例函数的图象上， ． 如图，设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H． ，， ， ． ， ， ． 13．已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 15．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $