26.4 实际问题与二次函数（第2课时） 导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数”第2课时，核心知识点为利用二次函数解决利润最大化问题。课堂导入通过“温故知新”，先回顾利润=售价-进价、总利润=单件利润×销售量等基础等量关系，再引导学生自主探究二次函数应用步骤，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料特色在于揭示利润问题与二次函数的本质联系，分析单价与销量的制衡规律及两个一次式相乘得二次关系的数理原因，结合自变量取值范围、涨跌辨析等易错点，培养学生的推理能力与模型意识。习题从基础填空到综合应用，助力学生用数学语言表达实际问题，提升自主探究与解决问题的能力。

26.4 实际问题与二次函数(第2课时) 1.回顾利润问题常见的等量关系，结合新课内容，探究二次函数利润最大化问题； 2.阅读课本P52—P53内容，自主探究实际问题与二次函数第2小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 利润＝售价－_________ 总利润＝单件利润×_________ 知新——课本研习梳理 利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤 ①找出销售单价与利润之间的函数关系表达式 (注明自变量的取值范围)； ②顶点横坐标在自变量的取值范围内时，求出函数图象的顶点坐标； 顶点横坐标不在自变量取值范围内，根据函数性质判定最高 (低) 点； ③根据顶点坐标或最高 (低) 点求得其最值，即为“最大利润”. 1.某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为.则这种商品每天的最大利润为( ) A.0.1元 B.3元 C.25元 D.75元 2.已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：.设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为( ) A. B. C. D. 3.某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件（）时，获取利润y元，则y与x的函数关系为( ) A. B. C. D.以上答案都不对 4.某商店购进一批成本为5角的面包，如果以单价7角销售，每天可销售160个.在此基础上，这种面包单价每提高1角，每天就会少卖出20个，若设每个面包上涨角，每天销售利润为角，可列函数式为：，在所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是( ) A.表示涨价后面包的单价 B.表示涨价后少卖出面包的数量 C.表示涨价后卖出面包的数量 D.表示涨价后面包的单价 5.特产专卖店销售某品牌的薄皮核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售，平均每天售出200袋.由于货源紧缺，现要涨价销售.经过市场调查发现，每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少10袋.若该专卖店销售这种核桃每天的利润为y元，每袋销售单价上涨x元， (1)求y与x的函数解析式 (2)求出当x是多少时，利润y有最大值，最大值是多少？ 利润问题产生二次函数的核心本质 商业销售中存在核心制衡规律：单价上涨，销量下降；单价下降，销量上升。单件利润随价格正向一次变化，销售数量随价格反向一次变化，两个一次式相乘，最终总利润必然形成二次关系式，因此利润随价格的变化是非线性抛物线变化，存在唯一最大值。这是利润问题一定能用二次函数求最值的根本数理原因，区别于几何面积单一平方变化模型。 最大利润问题两大核心易错点拓展 第一，自变量取值范围受限：商品单价、销售数量必须为正数，且实际销售中价格、销量一般取整数，顶点横坐标若不在有效取值区间，最大值需在区间端点取得，不能直接套用顶点最值；第二，涨跌双向辨析误区：涨价过高销量趋近于0，降价过低利润趋近于0，利润曲线天然存在“先增后减”的规律，因此必然存在最高点。 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 进价；销售量 基础过关·课前自测 1.答案：C 解析：对于该商品每天的销售利润y与单价x之间的函数关系式， 可知其函数图像开口向下，其顶点坐标为， 即当单价元时，该商品每天的最大利润为元. 故选：C. 2.答案：A 解析：根据题意得，， 即， 故选：A. 3.答案：D 解析：由题意得， 故选：D. 4.答案：A 解析：A、表示涨价后面包的每个的利润，故原说法错误，符合题意； B、表示涨价后少卖出面包的数量，故原说法正确，不符合题意； C、表示涨价后卖出面包的数量，故原说法正确，不符合题意； D、表示涨价后面包的单价，故原说法正确，不符合题意； 故选：A. 5.答案：(1) (2)每袋销售单价上涨5元时，获得最大利润为2250元 解析：(1)利润为y元，每袋销售单价上涨x元， 根据题意得， (2)当时，y有最大值，此时最大值为2250， 答：每袋销售单价上涨5元时，获得最大利润为2250元. 学科网（北京）股份有限公司 $