第26章 二次函数 数学活动&小结-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

数学活动 活动1哪个积最大 (1)观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位 上的数的和等于10)，猜想其中哪个积最大：>95×95最大. 91×99,92×98,…,98×92,99×91. (2)观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是9，十位 上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大： 901×999,902×998,…,998×902,999×901.950×950最大 对于（1)(2)，你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 略.提示：先设出其中一个因数，根据两个因数的关系表示出另一个因数 然后列出积关于所设因数的函数解析式，再根据二次函戴的性质求出最大值 活动2刹车距离与刹车时车速的关系 由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这 段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种 汽车的刹车距离进行测试， 测得的数据见下表： 刹车时车速/(km/h) 48 56 64 72 80 刹车距离/m 17 22.4 27.9 35.3 43.4 52.8 (（1)以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标， 根据表中数据，在 平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些 数据的函数图象， )二次函数 (2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函 数解析式.设利车时速度为xkmh,制车距高为ykm,则该二次函数的解析 (3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的 刹车距离约为70m,已知这条高速公路限速100km/h.请根据你确定的 函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶？ )没有超速 第二十六章 二次函数 小结 一、本章知识结构图 >機念 图象 归纳 二次函数 实际问题 抽象 y=ax2+bx+c 图象 常见类型有面积 最值问题、利润 最值问题、抛物 目标 线形问题（如拱 桥问题)等 实际问题 利用二次函数的 的答案 图象和性质求解 )回归于实际问题 回顾与思考 本章我们首先认识了二次函数，研究了它的图象和性质，然后从函 数的角度研究了一元二次方程，最后运用二次函数分析和解决了一些实际 问题. 通过分析实际问题中的变量关系，我们抽象出了一类形如y=ax2+bx+c (a≠0)的函数，即二次函数，认识到二次函数是描述现实世界中变量关系 和变化规律的数学模型. 在研究二次函数的图象和性质时，我们从简单到复杂、从特殊到一般 先讨论简单的二次函数y=ax2的图象和性质；再通过配方，将二次函数 y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式，通过平移，由抛物线y=ax 得到抛物线y=a(x-h)2+k,利用图象得到y=a(x-h)+k的性质，进而 得到y=ax2+bx+c的图象和性质.在这个过程中，配方、图象平移等起 着重要作用，而利用函数图象研究其性质，又一次体现了数形结合思想， 让我们领悟到几何直观的作用. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的情况，与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根的情况联系密切.如果函数图象与x轴有公共点， 那么公共点的横坐标就是对应方程的根.据此，我们研究了如何利用二次 函数的图象求对应一元二次方程的根的近似值. 62 教材笔记数学九年级上册RJ 运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间的 关系，然后利用二次函数的图象和性质求解，从而获得实际问题的答案.这 是一个用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的 语言表达现实世界的过程.经历此过程，可以进一步增强应用意识和模型 观念. 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧 1.举例说明，一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示，列 出函数解析式并画出图象. 2.结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方 向、对称轴、顶点等，说明二次函数在什么情况下取得最大值或最小值. 3.结合抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的情况，说明方程 ax2+bx+c=0的根的各种情况. 4.在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最 省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最 大值或最小值.请举例说明如何分析、解决这样的问题. 5.回顾一次函数和二次函数，体会函数这种数学模型在描述现实世界运 动变化中的作用· 复习题261 复习巩固 1.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程.已知去年一年投 入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投人资金比上一年增加相同 的百分率x.写出明年将投入的资金量y(单位：万元)关于每年增加的百分率 x的函数解析式.1.=1500(1+x 2.选择题 （1)下列各点中，在抛物线y=x2-4x-4上的是(D). (A)(4,4) (B)(3,-1) (C)(-2,-8) (2)下列抛物线中，对称轴是x=-2的是（C). (A)y=-2x2-2 (B)y=2x2-2 (C)y=-x+2护>对称轴是y轴《(Dy=2x-2 2 对称轴是=2 第二十六章二次函数 63 3.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的变化，y的变化 情况，再描点画图：3.（1)开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，其余略， 1 (1)y=x2 (2)y=-2x2-3; (2)开口向下，对 (3)开口向上，对 称轴是y轴，顶点 称轴是=-2，顶点 1 (3)y=4x+2乃：是2,0其余略 （4)y=-x+ 3-1是(0，-3)，其余略 2 （4)开口向下，对称轴是-弓顶点是(-，-1。其余略 3 4.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的变化，y的变化 情况，再描点画图：4.（1)开口向上，对称轴是=-1，顶点是(-1，-4，其余略 （1)y=x2+2x-3;(3)开口向上，对 （(2)开口向下，对 (2)y=1+6x-x2;称轴是3，顶点是 称轴是=-2，顶点 (3)y=+2x+1;是2，，其(4y=-x+x-43,10,其余略 余略， 4 （4)开口向下，对称轴是=2，顶点是（2，-3)，其余略 5.求下列二次函数的最大值或最小值： (1)y=x2+3x+1; (2)y=-2x2-6x+5 时，y有最小值- 3 5.(1)当=- (2)当- 时，y有最大值9 ● 6.利用函数图象求下列方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）： (1)2x2-3x-1=0:6.(1)x≈1.8， (2)x2+5x-4=0. （2)x1≈0.7， x2≈-0.3 x2≈-5.7. 综合运用 7.某高为1m的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度h(单位：m)与水离开水 管后在空中的时间t(单位：s)的关系近似为h=-5t2+12t+1. (1)水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度？7.(1)2.4s. (2)喷出的水在空中的最大高度是多少？(2)8.2m 8.若飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析 式是y=60t-1.5t2,飞机着陆后，滑行多远才能停下来？最后4s将滑行多远？ 8.600m;24m. 9.如图，点E,F,GH分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是 正方形.当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ 9.设AE=x,AB=a,则在Rt△AEH中，EH=x2+(a-x2,所以S正方形ErGm=EH= a- ?国此，当x=号即点E位于AB的中点处时，正方形FG 的面积最小 64教材笔记数学九年级上册RJ 0 H 12m BC≤12cm (第9题) (第10题) 10.如图，在一道长为12m的墙一侧，用长为33m的篱笆，围成一个一边靠墙、 中间隔有一道篱笆的矩形花圃.当AB,BC各为多少时，花圃的面积最大？ 最大面积是多少？10.当AB=7m,BC=12m时，花圃面积最大，最大面积是84m2 提示：设AB=x,则在垂直于墙的方向上有3段长为xm的篱笆，因此平行于墙 的篱笆长为BC=33-3x(7≤x<11). 11.某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果 每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元). 设每件商品的售价上涨x元（x为正整数)，每个月的销售利润为y元 (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围 11.(1)y=-7x2+105x+3150(1≤x≤20，x为正整数) (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是 多少？(2)57元或58元；3542元 (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论， 请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元？ (3)55元或60元；55元≤售价≤60元，且售价为整数 12.已知矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.矩形的两邻 边长各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 12.矩形的两外边长都为9cm时，圆柱的侧面积最大 拓广探索 l3.对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果，2，，x· 如果用x作为 这条路线长度的近似值，当x取什么值时，（x-)2+(x-x2)2+.…+(x-x)2最 小？x所取的这个值是哪个常用的统计量？ 13.x-P+x-x}++x-xn2=x2-2x1+x12+x2-2xx2+x2++x2-2xx+xn2 =x2-2x（x1+x2++xn)+（x12+x22++xn2) ,>0,.函数图象开口向上， 当x-2+毛++-+五++五时，6++…+-》最小， 2n n x所取的值是数据x,x2,X的平均数 第二十六章二次函数 65