26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数”第1课时，核心是运用二次函数性质解决几何图形最大面积问题。课堂导入通过“温故”环节回顾二次函数配方、对称轴、顶点及增减性最值等性质，为“知新”中建立函数关系、确定自变量范围等步骤搭建学习支架，衔接旧知与新知。 资料特色在于以鸡场围栅栏、铅球投掷等实际情境引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过解题步骤梳理培养数学思维（推理与运算），历史溯源拓展数学文化，分层习题强化模型意识，助力学生从直观到严谨解决问题。

26.4 实际问题与二次函数(第1课时) 1.回顾二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质，结合新课内容，探究应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题； 2.阅读课本P51—P52内容，自主探究实际问题与二次函数第1小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.将变成的形式：＝_____________________； 二次函数的对称轴为：x＝________，顶点坐标为___________________. 2.当时，的开口向_____，在对称轴左侧，即当时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当时，y随x的增大而________，当时，y有最____值y＝________. 3.当时，的开口向_____，在对称轴左侧，即当时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当时，y随x的增大而________，当时，y有最____值y＝________. 知新——课本研习梳理 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1．根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2．确定自变量的取值范围； 3．根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4．根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值． 1.某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是( ) A. B. C. D. 2.如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为( )米. A.3米 B.4米 C.9米 D.10米 3.如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度足够长）和总长为28米的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形.设大矩形垂直于旧墙的一边长为x米，花圃总面积为y平方米，则y关于x的函数解析式为________________.（用二次函数的一般形式表示） 4.2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为. (1)若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值. (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由. 几何最值与函数模型的发展溯源 古代数学最早研究几何最值问题，仅依靠几何直观、图形拼接、枚举试算求解，只能解决简单固定图形的最值问题，无通用计算方法。古希腊数学家研究矩形周长与面积的关系，发现“周长固定，正方形面积最大”的规律，但无法通过代数方法严谨证明。 直到近代变量数学诞生，几何图形的动态变化被抽象为变量关系，数学家将几何面积变化转化为二次函数模型，通过函数单调性与顶点性质精准求解最值，实现了几何最值问题从“直观猜想”到“严谨运算”的跨越。 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.；； 2.上；减小；增大；小； 3.下；增大；减小；大； 基础过关·课前自测 1.答案：D 解析：由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D. 2.答案：C 解析：当时，， ， 或， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米. 故选：C. 3.答案： 解析：∵篱笆的总长为28米，且米，米，花圃总面积为平方米，关于x的函数解析式为.故答案为. 4.答案：(1)x的值为10 (2)不存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为，理由见解析. 解析：(1)由题意可知该包装盒的长为15cm，宽为，高为， ∵此包装盒的容积为， ∴， 解得：， ∴x的值为10； (2)设该包装盒的容积为， ∴. ∵， ∴当时，此包装盒的容积最大，最大容积为， ∴不存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为. 学科网（北京）股份有限公司 $