2.3.1 两条直线的交点坐标（6个题型归纳）-人教A版2026年新高二数学暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.3.1 两条直线的交点坐标】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．在平面直角坐标系中，已知两条直线的方程分别为：（、不同时为零），：（、不同时为零）.联立和的方程为（1）若存在，使得，且，则方程组有无数解，两条直线有无数个公共点，从而和_重合_____；（2）若存在，使得，但，则方程组无解，两条直线无公共点，从而和__平行____；（3）若不存在，使得，，则方程组有唯一解，两条直线有唯一公共点，从而和__相交____；若、、都不为零，则可以观察两个方程的系数是否成比例来判断与的位置关系. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求直线的交点坐标】 【练方法】 设直线， 联立方程组 系数行列式 公式结论 1.当时，方程组有唯一解，交点坐标由克莱姆法则得 2.基础解法：加减消元法、代入消元法，消去一元后回代求另一坐标 方法技巧 1.先将两条直线统一整理为一般式再联立方程组 2.优先消去系数绝对值较小的变量，简化计算量 3.求出坐标后回代两条直线方程检验，确保同时满足两个等式 易错提醒 1.消元移项时常数项符号出错，得到错误交点 2.只代入一条直线检验，保留伪解 （25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． （25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. （25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【题型2：方程组解的个数判断直线的位置关系】 【练方法】 公式结论 斜率判定（斜率均存在） 相交；重合；平行 方法技巧 1.含参数直线优先使用行列式判断，避开斜率不存在的分类讨论 2.斜率存在时对比斜率与纵截距快速区分平行、重合、相交 3.竖直线直接对比横坐标判断平行或重合 易错提醒 1.直接判定平行，忽略两直线重合的无穷多解情况 2.一条直线斜率不存在时，强行使用斜率等式判断位置关系 （25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ）经典例题1例题 A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. （25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ）小试牛刀1 A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【分析】计算，进而可得，由两直线相交即可求解. 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误， 故选：ABD （23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误. 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可）小试牛刀3 【答案】，3，（写出一个即可） 【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解. 【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 【题型3：由直线的交点个数求参数】 【练方法】 公式结论 1.两直线有唯一交点： 2.两直线无交点（平行）： 3.两直线无穷多交点（重合）： 方法技巧 1.写出含参系数行列式，根据交点个数列等式或不等式 2.平行、重合均需要联立两组及以上约束条件，不可仅令 3.解出参数后代回原直线方程核验，剔除分母为0的无效解 易错提醒 1.仅令求解参数，无法区分平行与重合 2.分式参数遗漏分母不为0的限制条件 （多选）设集合，且，则正实数的取值可以为（    ）经典例题1例题 A．4 B．1 C．2 D． 【答案】BD 【分析】M集合可以看作一条挖去一点的直线，N集合为一条直线，交集为空集，则N的直线经过或M与N的直线平行﹒ 【详解】∵，∴． 将点代入，得，解得(舍去)或． 又当时，可变形为， 当直线与平行时， 有，解得或(舍去) 当或时，符合题意. 故选：BD （24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______.小试牛刀1 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. （23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）（多选）已知集合，集合，且，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由整理可得，根据题意可知，直线过点，或直线与平行，综合可得出实数的值. 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.小试牛刀3 【答案】 【分析】设其中一个交点坐标，结合对称性可得方程，即可得解. 【详解】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上， 代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4， 即点A(4，0)在直线l上， ∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0. 【题型4：三条直线能否围成三角形的问题】 【练方法】 公式结论 三条直线可围成三角形充要条件 ①任意两条直线均不平行： ②三条直线不共点：与的交点不满足方程 反面情形（无法构成三角形）：存在两条直线平行或三条直线交于同一点 方法技巧 1.分步检验：第一步判断两两直线不平行，第二步验证三线不共点 2.求参数范围时，先求出不能构成三角形的参数，再取集合补集 易错提醒 1.只检验无平行直线，忽略三线共点仍不能围成三角形 2.求解参数范围未取补集，直接输出不符合题意的解集 两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________.经典例题1例题 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. （2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ）小试牛刀1 A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. （25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，.小试牛刀2 (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. （25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ）小试牛刀3 A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 【题型5：直线交点系方程】 【练方法】 公式结论 1.过与交点的单参数直线系方程 ，直线系不含直线 2.全覆盖双参数直线系 不同时为0，包含全部过交点直线 3.直线系定点：联立的解 方法技巧 1.已知直线过两直线交点求方程，优先使用单参数直线系简化计算 2.目标直线为时需单独讨论，无法由单参数式生成 3.结合平行、垂直条件代入直线系，解方程求出参数 易错提醒 1.误认为单参数直线系包含，遗漏单独验证步骤 2.展开含参方程时符号运算出错 求经过点和两直线和的交点的直线方程．经典例题1例题 【答案】 【分析】解法1：设过点的直线方程为，代入点坐标可得答案；解法2：解方程组求出点坐标，由直线两点式方程可得答案． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． （25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程．小试牛刀1 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． （24-25高三上·江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______．小试牛刀3 【答案】 【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程. 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 【题型6：直线交点坐标的应用】 【练方法】 公式结论 1.点到直线距离：交点到直线 2.两直线夹角：设两直线斜率，夹角 3.轨迹求解：联立两条含参直线，消去参数得到交点的轨迹方程 方法技巧 1.距离、面积、角度计算类：先求交点坐标，再代入对应几何公式运算 2.轨迹类：分离参数，令参数系数为0，消参得到$x,y$关系式 3.对称、角平分线问题以交点为公共顶点，结合夹角公式求解 易错提醒 1.轨迹消参忽略参数取值范围，扩大轨迹范围 2.夹角公式遗漏绝对值，算出钝角不符合直线夹角定义 已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________．经典例题1例题 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围. 【详解】显然四边形为等腰梯形， 因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以， 当时，设直线与y轴的交点， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意； 当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N， 因为三角形与三角形全等， 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；    当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于， 直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于， 可知：直线， 联立，解得，即， 同理可得：， 由题意可得：， 整理得，且，解得；    综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．小试牛刀1 (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及已知直线的斜率可求直线的斜率，进而可求直线的方程； （2）先设，进而表示的坐标，再由点在直线及中点坐标公式可求． 【详解】（1）设边上的高为， ，且直线的方程为，故斜率为， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即；    （2）设，则， 由题意得， 解得，， ． 数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：小试牛刀2 (1)外心的坐标； (2)重心的坐标； (3)垂心的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标； （2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标； （3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标. 【详解】（1）中点为且，垂直平分线方程为：， 即， 由得：，即外心. （2）设，则重心， 将代入欧拉线得：，即…①； 由得：…②； 由①②得：或（与重合，不合题意）， ，重心. （3）由（2）知：；由（1）知：， 边的高所在直线方程为：，即； 由得：，垂心. 已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设点的坐标为，所在直线的方向向量为，得出所在直线的斜率，从而得出，利用中点坐标公式得出的中点坐标为，结合的中点在直线上，代入即可求出，即可求出点的坐标. 【详解】解：已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为， 设点的坐标为，所在直线的方向向量为， 则所在直线的斜率， ，得， 所以，则的中点坐标为， 边上的中线所在的直线方程为， 则的中点在直线上， ，解得：， 所以点的坐标为. 故选：A. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可. 【详解】由得所以， 设与垂直的直线方程为． 把代入，得，解得，所以， 故选：B． 2．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 3．（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 4．（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 5．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线方程求出倾斜角的正切值，再利用两角差的正切公式求出直线的斜率，然后根据直线过点，求出其方程，最后令求出点的坐标即可. 【详解】由题意，直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点， 所以， 又直线绕点顺时针方向旋转得到直线， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，令，可得，所以. 故选：D 6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减， 可得， 把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. 二、多选题 7．（【智】64作业（六十四）两直线的位置关系-【育博苑】2027高考一轮数学北师）（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 三、填空题 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为_________ 【答案】 【分析】解方程组求出已知两条直线的交点坐标，然后根据所求直线与平行的条件，设出具有相同斜率的直线方程，将交点坐标代入即可. 【详解】由，得，所以交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， 则所求直线方程为. 故答案为：. 9．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 10．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 【答案】/0.36 【分析】分情况讨论，当时，，当时，根据直线方程确定，利用勾股定理得到,结合基本不等式即可求得结果. 【详解】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以； ②当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 综上，故的最小值为. 四、解答题 11．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【详解】（1）联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. （2）直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 12．（25-26高二上·广西百色·期末）已知直线：，：，其中m为实数. (1)当，求实数m的值. (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据两直线平行，列出关于的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线，的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【详解】（1）∵， ， 解得 ; （2）当时，直线的方程为：， ∴，解得， ∴两条直线的交点， 又因为所求直线垂直于，设所求直线的方程为， 将代入可得，解得， ∴直线方程. 13．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出交点坐标，再根据两直线平行关系设直线方程，代点即可计算即可. （2）分两种情况：横纵截距均为0时以及横纵截距均不为零时，分别求出直线的方程即可. （3）根据两直线垂直关系求出直线的方程，进而求出三角形的周长即可. 【详解】（1）由题意联立，解得，即直线过点， 设与直线平行的直线的方程为且， 将点代入可得，解得， 所以直线的方程为； （2）由（1）直线过点， ①横纵截距均为0时，设直线方程为， 即，解得，即； ②横纵截距均不为零时，设横截距为，则纵截距为，则直线方程为， 将代入得，则， 则直线方程为，即； 综上，直线的方程为或. （3）由（1）直线过点， 由直线和题意可设直线的方程为， 将点代入可得，可得，即直线的方程为， 令，可得；令，可得， 即直线在，轴上的交点分别为，， 所以，又，， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为.    14．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】(1)利用两直线的夹角公式，即可列方程求解斜率，然后求直线方程； (2)利用设直线方程求与坐标轴的横纵截距，结合面积可得斜率方程求解即可. 【详解】（1）已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； （2）设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求解： 当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. 15．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】(1) (2)直线的方程为； 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 16．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 17．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 或或或 【分析】（1）利用两直线垂直的一般式系数关系直接求解； （2）不能围成三角形分三线共点、至少两条直线平行两类情况分类讨论求解 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 18．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线交点计算得到的坐标，结合点斜式方程求解即可； （2）先根据垂直关系计算斜率，结合点斜式方程求解即可； 【详解】（1）设点坐标为，点坐标为， 因为是中点，，所以， 在中线上，代入得：， 化简得，又在直线上，满足， 联立解得，即， 点在直线上，联立和， 解得，即 直线的斜率为，直线的方程为， 整理得 （2）由边上的高线可知，故， 点，直线的方程为，整理得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.3.1 两条直线的交点坐标】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．在平面直角坐标系中，已知两条直线的方程分别为：（、不同时为零），：（、不同时为零）.联立和的方程为（1）若存在，使得，且，则方程组有无数解，两条直线有无数个公共点，从而和_重合_____；（2）若存在，使得，但，则方程组无解，两条直线无公共点，从而和__平行____；（3）若不存在，使得，，则方程组有唯一解，两条直线有唯一公共点，从而和__相交____；若、、都不为零，则可以观察两个方程的系数是否成比例来判断与的位置关系. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求直线的交点坐标】 【练方法】 设直线， 联立方程组 系数行列式 公式结论 1.当时，方程组有唯一解，交点坐标由克莱姆法则得 2.基础解法：加减消元法、代入消元法，消去一元后回代求另一坐标 方法技巧 1.先将两条直线统一整理为一般式再联立方程组 2.优先消去系数绝对值较小的变量，简化计算量 3.求出坐标后回代两条直线方程检验，确保同时满足两个等式 易错提醒 1.消元移项时常数项符号出错，得到错误交点 2.只代入一条直线检验，保留伪解 （25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型2：方程组解的个数判断直线的位置关系】 【练方法】 公式结论 斜率判定（斜率均存在） 相交；重合；平行 方法技巧 1.含参数直线优先使用行列式判断，避开斜率不存在的分类讨论 2.斜率存在时对比斜率与纵截距快速区分平行、重合、相交 3.竖直线直接对比横坐标判断平行或重合 易错提醒 1.直接判定平行，忽略两直线重合的无穷多解情况 2.一条直线斜率不存在时，强行使用斜率等式判断位置关系 （25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ）经典例题1例题 A． B．3 C．3或 D．1或 （25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ）小试牛刀1 A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 （23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可）小试牛刀3 【题型3：由直线的交点个数求参数】 【练方法】 公式结论 1.两直线有唯一交点： 2.两直线无交点（平行）： 3.两直线无穷多交点（重合）： 方法技巧 1.写出含参系数行列式，根据交点个数列等式或不等式 2.平行、重合均需要联立两组及以上约束条件，不可仅令 3.解出参数后代回原直线方程核验，剔除分母为0的无效解 易错提醒 1.仅令求解参数，无法区分平行与重合 2.分式参数遗漏分母不为0的限制条件 （多选）设集合，且，则正实数的取值可以为（    ）经典例题1例题 A．4 B．1 C．2 D． （24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______.小试牛刀1 （23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）（多选）已知集合，集合，且，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.小试牛刀3 【题型4：三条直线能否围成三角形的问题】 【练方法】 公式结论 三条直线可围成三角形充要条件 ①任意两条直线均不平行： ②三条直线不共点：与的交点不满足方程 反面情形（无法构成三角形）：存在两条直线平行或三条直线交于同一点 方法技巧 1.分步检验：第一步判断两两直线不平行，第二步验证三线不共点 2.求参数范围时，先求出不能构成三角形的参数，再取集合补集 易错提醒 1.只检验无平行直线，忽略三线共点仍不能围成三角形 2.求解参数范围未取补集，直接输出不符合题意的解集 两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________.经典例题1例题 （2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ）小试牛刀1 A．8 B．16 C．2 D．1 （25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，.小试牛刀2 (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. （25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ）小试牛刀3 A． B．3 C． D． 【题型5：直线交点系方程】 【练方法】 公式结论 1.过与交点的单参数直线系方程 ，直线系不含直线 2.全覆盖双参数直线系 不同时为0，包含全部过交点直线 3.直线系定点：联立的解 方法技巧 1.已知直线过两直线交点求方程，优先使用单参数直线系简化计算 2.目标直线为时需单独讨论，无法由单参数式生成 3.结合平行、垂直条件代入直线系，解方程求出参数 易错提醒 1.误认为单参数直线系包含，遗漏单独验证步骤 2.展开含参方程时符号运算出错 求经过点和两直线和的交点的直线方程．经典例题1例题 （25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程．小试牛刀1 （24-25高三上·江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______．小试牛刀3 【题型6：直线交点坐标的应用】 【练方法】 公式结论 1.点到直线距离：交点到直线 2.两直线夹角：设两直线斜率，夹角 3.轨迹求解：联立两条含参直线，消去参数得到交点的轨迹方程 方法技巧 1.距离、面积、角度计算类：先求交点坐标，再代入对应几何公式运算 2.轨迹类：分离参数，令参数系数为0，消参得到$x,y$关系式 3.对称、角平分线问题以交点为公共顶点，结合夹角公式求解 易错提醒 1.轨迹消参忽略参数取值范围，扩大轨迹范围 2.夹角公式遗漏绝对值，算出钝角不符合直线夹角定义 已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________．经典例题1例题 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．小试牛刀1 (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：小试牛刀2 (1)外心的坐标； (2)重心的坐标； (3)垂心的坐标． 已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（【智】64作业（六十四）两直线的位置关系-【育博苑】2027高考一轮数学北师）（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 三、填空题 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为_________ 9．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 10．（25-26高二下·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 四、解答题 11．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 12．（25-26高二上·广西百色·期末）已知直线：，：，其中m为实数. (1)当，求实数m的值. (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 13．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 14．（25-26高二上·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 15．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 16．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 17．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 18．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $