第10讲 直线的交点坐标与距离公式（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第10讲 直线的交点坐标与距离公式（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 直线的交点坐标 在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 3．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（25-26高二上·江苏·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立两条直线的方程，求解方程组，可求得两条直线的交点坐标. 【解答过程】由，得. 所以直线与直线的交点坐标为. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解两直线构成的方程组即可. 【解答过程】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线的交点坐标，就是方程组的解，列出方程组，求出结果即可. 【解答过程】由题意得，解得，所以交点坐标为. 故选：A. 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（25-26高二上·山东·阶段检测）已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可. 【解答过程】由得所以， 设与垂直的直线方程为． 把代入，得，解得，所以， 故选：B． 【变式2-1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【解答过程】联立，可得，所以与的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为， 代入得，所以， 所以直线的方程为，满足题设. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】法一，联立直线方程可得交点坐标，然后结合直线过点可得直线方程；法2，设直线的方程为，代入，可得直线方程. 【解答过程】法1，，则两直线交点为，直线过点， 又经过点，则直线斜率为， 直线方程为； 法2，设直线的方程为， 因经过点，代入所设方程，则， 则直线的方程为. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）若直线l经过两条直线和的交点，且垂直于直线；则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出两直线的交点，然后根据垂直设出直线l的方程，将交点代入即可得出答案， 【解答过程】， 所以两直线交点为， 又与直线垂直，所以设l， 将代入得， 所以直线l的方程为， 故选：B. 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 【例3】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【解答过程】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【解答过程】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 【变式3-3】（25-26高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（2026高二上·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ） A． B． C． D．或或 【答案】D 【解题思路】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【解答过程】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【解答过程】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 模块三 距离公式 【知识点2 距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型5 两点间的距离公式的应用】 【例5】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】应用两点的距离公式求距离即可. 【解答过程】由题意. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【解题思路】利用两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解题思路】利用中点坐标公式求AB中点，再用两点间距离公式即可求解. 【解答过程】设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为， 则边上的中线长即为CD长度， 根据两点间距离公式可知：， 故边上的中线长为. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【解答过程】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A. 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 【例6】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据点到直线的距离公式计算即可. 【解答过程】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据直线垂直得出直线，再应用点到直线距离计算求解. 【解答过程】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为， 直线过点且斜率为，则直线， 则原点到直线的距离为. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【解答过程】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 【变式6-3】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【解答过程】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例7】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将直线方程化为与方程形式相同的方程，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【解答过程】直线的方程可化为，， 故直线与间的距离. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）若两直线与间的距离为，则（    ） A．1 B．7 C．1或 D．或7 【答案】C 【解题思路】根据两平行线直线之间的距离公式计算即可求解. 【解答过程】由题意知，， 所以两直线间的距离为，解得或. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二上·湖北·期中）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【解答过程】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 【变式7-3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线平行求出，设出直线，根据直线l到的距离与l到的距离相等列出等式解出，进而求出答案. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得，故直线， 而直线可以写成，设直线， 因为直线l到的距离与l到的距离相等，所以，解得， 故直线，即直线l的方程为. 故选：D. 【题型8 与距离有关的最值问题】 【例8】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先分析直线经过定点，再利用两点间的距离求点到直线的距离的最大值. 【解答过程】对直线： ， 由 . 即直线经过定点. 所以点到点的距离就是点到动直线的最大值， 所以. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高二上·湖南长沙·期中）、分别为与上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【解题思路】先判断两直线平行，再利用两平行直线的距离公式计算即得. 【解答过程】因直线与直线互相平行，、是两直线上的点， 故当且仅当为两直线的公垂线段时，取得最小值， 即的最小值为两直线之间的距离，为. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【解题思路】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【解答过程】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D. 【变式8-3】（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【解答过程】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用点到直线的距离公式计算即得. 【解答过程】点到直线的距离为. 故选：B. 2．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【解答过程】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解题思路】利用平行的性质求解出，再结合平行线间距离公式求解即可. 【解答过程】因为直线与， 所以，解得， 则方程为，即， 由平行线间距离公式得距离为，故A正确. 故选：A. 4．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【解答过程】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 5．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 【答案】D 【解题思路】根据平行线间的距离公式即可求解. 【解答过程】解：直线可化为， 因为直线与直线间的距离为1， 所以，解得或. 故选：D. 6．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【解答过程】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B. 7．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【解题思路】利用点到直线的距离公式求解. 【解答过程】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可得直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式，计算可得结果. 【解答过程】由得， 令，则，解得， 故直线恒过定点， 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（2026高二上·浙江温州·专题练习）若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（   ） A．7 B． C．13 D． 【答案】AD 【解题思路】先求出，再由两平行线间的距离公式求解． 【解答过程】因为两条平行直线与，所以，解得， 所以 ，而两平行直线间的距离是，则， 所以，得或，解得或. 故选：AD. 10．（25-26高二上·陕西安康·期中）记，直线，，则（   ） A．当时，点到的距离为 B．当在上时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【解题思路】对A，利用点到直线的距离公式，即可求解；对B，将代入直线，即可求解；对于C和D，利用直线一般式方程垂直和平行的条件，建立方程，即可求解. 【解答过程】对于A，当时，，所以点到的距离为，所以A正确， 对于B，因为在上，所以，解得，所以，故正确， 对于C，因为，则，解得，所以C错误， 对于D，因为，由，解得，此时，，满足， 所以当时，，故D正确， 故选：ABD. 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【解题思路】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【解答过程】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数__________． 【答案】8或． 【解题思路】根据两点间的距离公式即可得． 【解答过程】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 13．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线的距离为__________． 【答案】 【解题思路】利用点到直线距离公式直接求解即可. 【解答过程】点到直线的距离. 故答案为：. 14．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________. 【答案】或 【解题思路】联立方程求出交点坐标，分截距是否为0讨论求解直线方程. 【解答过程】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（25-26高二上·河南·期中）设直线与相交于一点. (1)求点的坐标； (2)求经过点，且垂直于直线的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标； （2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可. 【解答过程】（1）由，解得， 因此，点的坐标为； （2）直线的斜率为， 垂直于直线的直线斜率为， 则过点且垂直于直线的直线的方程为， 即：. 16．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将条件代入点斜式方程，化简变形，即可得答案. （2）将方程变形为，可得B点坐标，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为. 17．（25-26高二上·江苏·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可; （2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可. 【解答过程】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 18．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【解答过程】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 19．（25-26高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点，与交于点. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出点、的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得的值； （2）分析可知，由勾股定理可得出，利用基本不等式可求得面积的最大值. 【解答过程】（1）在直线的方程中，由得，可得， 将的方程表示为，由得，可得， 故. （2）由可知，垂足为，故， 故由勾股定理可知， 故的面积， 当且仅当时等号成立，故面积的最大值为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 直线的交点坐标与距离公式（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 直线的交点坐标 在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 3．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+ C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（25-26高二上·江苏·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（25-26高二上·山东·阶段检测）已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）若直线l经过两条直线和的交点，且垂直于直线；则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 【例3】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-1】（25-26高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（2026高二上·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ） A． B． C． D．或或 【变式4-1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式4-3】（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 模块三 距离公式 【知识点2 距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型5 两点间的距离公式的应用】 【例5】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-1】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【变式5-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【变式5-3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 【例6】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【变式6-3】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例7】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）若两直线与间的距离为，则（    ） A．1 B．7 C．1或 D．或7 【变式7-2】（25-26高二上·湖北·期中）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型8 与距离有关的最值问题】 【例8】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·湖南长沙·期中）、分别为与上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 【变式8-2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【变式8-3】（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 4．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 6．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026高二上·浙江温州·专题练习）若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（   ） A．7 B． C．13 D． 10．（25-26高二上·陕西安康·期中）记，直线，，则（   ） A．当时，点到的距离为 B．当在上时， C．当时， D．当时， 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数__________． 13．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线的距离为__________． 14．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·河南·期中）设直线与相交于一点. (1)求点的坐标； (2)求经过点，且垂直于直线的直线的方程. 16．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 17．（25-26高二上·江苏·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 18．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 19．（25-26高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点，与交于点. (1)求； (2)求面积的最大值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $