专题4.1.1 等差数列及其通项公式（5大知识点+10大题型+21题强化）-2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题4.1.1 等差数列及其通项公式 知识点01 等差数列的概念 1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示（）. 2.定义的符号表示：（，为常数）. 3.特殊说明：当时，数列为常数列（如2,2,2,…），常数列是特殊的等差数列. 【要点】 （1）忽略“从第2项起”的条件，误将“前几项差为常数”判定为等差数列，如数列1,3,5,8，前3项差为2，但第4项与第3项差为3，不是等差数列. （2）忽略“同一个常数”的条件，如数列1,3,6,10，差分别为2,3,4，不是同一个常数，不是等差数列. （3）符号表示中遗漏“”，忽略对所有正整数成立的要求，仅验证前几项满足差为常数不可靠. 知识点02 等差中项 1.定义：如果三个数，，成等差数列，那么叫做与的等差中项. 2.核心公式：（即）. 3.延伸性质：在等差数列中，任意连续三项，，都满足，即中间项是前后两项的等差中项. 4.等差中项的两大作用：①快速判断三个数是否成等差数列；②判定一个数列是否为等差数列的辅助方法（任意连续三项满足等差中项关系）. 【要点】 （1）不要混淆“等差中项”与“中间项”，认为任意三个数的中间项都是等差中项，忽略“成等差数列”的前提，如1,2,4中，2不是1与4的等差中项（）. （2）利用等差中项判定数列时，仅验证部分连续三项满足，未验证对所有成立，导致判定错误. 知识点03 等差数列的通项公式 1.基本形式：（），其中为数列首项，为公差，为项数，为第项. 2.推导过程（累加法）：由等差数列定义，，，…，（），将以上个式子左右两边分别相加，得，整理得. 3.推广形式：（、），即等差数列中任意两项的关系，可由基本通项公式推导（，，两式相减得）. 【要点】 （1）使用推广形式时，注意与的位置. （2）通项公式的核心逻辑：将等差数列的“等差”特征转化为“线性表达式”，是关于的一次函数（时）或常函数（时）.若数列的通项公式为（、为常数），则是等差数列，且公差，首项；反之，若是等差数列，则其通项公式必为的形式（线性函数形式）. （3）通项公式的四个核心量：（首项）、（公差）、（项数）、（第项），已知其中三个量可求第四个量（“知三求一”）. 推广形式的优势：无需知道首项，仅已知任意两项即可求通项或其他项，简化计算. 知识点04 等差数列的单调性与最值 1.单调性判定：由通项公式，结合一次函数性质判定： 当时，是关于的增函数，数列为严格递增等差数列； 当时，是关于的减函数，数列为严格递减等差数列； 当时，（常数），数列为常数列，不增不减. 2.最值求解（针对有穷等差数列）： 递增等差数列（）：最小值为第1项，最大值为末项； 递减等差数列（）：最大值为第1项，最小值为末项； 常数列（）：所有项相等，任意项都是最值. 【要点】 （1）等差数列单调性的核心决定因素：公差的符号，与首项无关. （2）无穷等差数列的最值特征：递增无穷等差数列有最小值，无最大值；递减无穷等差数列有最大值，无最小值；常数列任意项为最值. （3）有穷等差数列最值的快速判断方法：先看公差符号确定增减性，再结合首项和末项确定最值. （4）若等差数列满足且（），则第项是数列的最大值； 若等差数列满足且（），则第项是数列的最小值； 若等差数列的通项公式为（），则当时，数列递增，前项中最小；当时，数列递减，前项中最大. 知识点05 等差数列的简单性质 1.下标性质：在等差数列中，对任意正整数、、、，若，则；特别地，当时，（即是与的等差中项）. 该性质推广到三项，即，，，，，,． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可． 2.公差计算性质：在等差数列中，公差（），可由通项公式变形推导. 3.子数列性质：若均为等差数列，且公差分别为，则数列，也为等差数列，且公差分别为．. 若是等差数列，则从第项起，取间隔相等的项构成的新数列仍是等差数列，如、、、…（为常数），新数列的公差为. 题型01 等差数列的判断 【方法点拨】核心判断方法：共3种常用方法，优先选择定义法，其次为等差中项法或通项公式法. 1.定义法（最核心，适用于所有递推型题目）： 2.等差中项法（适用于已知数列前几项或连续三项关系的题目）：对任意，是否满足；3.通项公式法（适用于已知或可推导通项公式的题目）： ①求出数列的通项公式；②判断是否为关于的一次函数（即，为常数）； 【例1】下列数列中，不是等差数列的是（ ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】根据等差数列的定义，可得： A中，满足（常数），所以是等差数列； B中，（常数），所以是等差数列； C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足（常数），所以是等差数列. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及其应用，其中解答中熟记等差数列的定义是解答的关键，属于基础题. 【例2】若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为3的等差数列 C．是公差为5的等差数列 D．不是等差数列 解析：选A　an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列． 【例3】若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有________ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(3)(4) 【分析】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可. 【详解】设， 对于选项(1)，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以(1)正确； 对于选项(2)，，相邻两项之差不是常数，所以(2)错误； 对于选项(3)，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以(3)正确； 对于选项(4)，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以(4)正确； 故填：(1)(3)(4) 【跟踪训练】 1.给出下列数列: (1)0,0,0,0,…; (2)1,11,111,1 111,…; (3)2,22,23,24,…; (4)-5,-3,-1,1,3,…; (5)1,2,3,5,8,…. 其中是等差数列的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：根据等差数列的定义可知(1)(4)是等差数列,其余不是,所以等差数列有2个. 答案B 2.给出下列命题： ①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ②数列是公差为的等差数列； ③等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)； ④数列是等差数列. 其中正确命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】对于①，②，④利用等差数列的定义判断，对于③，对等差数的通项公式化简即可判断 【解析】解：根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为，①错误； 对于②，由等差数列的定义可知，数列是公差为的等差数列，所以②正确； 对于③，由等差数列的通项公式，得，令，则，所以③正确； 对于④，因为，所以数列是等差数列.，所以④， 故选：C 3. 设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可. 【详解】若成立，则，符合等差数列的定义， 所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立. 若数列是等差数列,设其公差为，则,. . 所以, 所以.即必要性成立. 所以甲是乙的充分必要条件. 故选：A. 题型02 等差中项的求解和应用 【方法点拨】1：判断三个数是否成等差数列 2.求等差中项或未知项：若已知和，直接用求等差中项；若已知等差中项和其中一个数，用求另一个数. 在等差数列中，已知和，用求中间项. 3.简化计算（核心技巧）：在等差数列中，若下标满足（），则（即是与的等差中项），可快速计算两项之和. 【例4】已知{an}是等差数列，且a3﹣1是a2和a5的等差中项，则{an}的公差为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【解题思路】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2（a3﹣1）＝a2+a5，把等式两边利用a2与d表示，则d可求． 【解答过程】解：设等差数列{an}的公差为d， 由a3﹣1是a2和a5的等差中项，得2（a3﹣1）＝a2+a5， 即2（a2+d﹣1）＝a2+a2+3d，解得：d＝﹣2． 故选：A． 【例5】已知{an}是等差数列，且a2+1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1 【解题思路】设等差数列{an}的公差为d，由已知结合等差中项的概念列式求得{an}的公差． 【解答过程】解：设等差数列{an}的公差为d． 由已知条件，得a1+a4＝2（a2+1）， 即a1+（a1+3d）＝2（a1+d+1），解得d＝2． 故选：B． 【跟踪训练】 1. 2与8的等差中项是（　　） A．﹣5 B．5 C．4 D．±4 【解题思路】设2与8的等差中项是x，则2x＝2+8＝10，进一步解得x的值即可． 【解答过程】解：设2与8的等差中项是x，则2x＝2+8＝10，解得x＝5． 故选：B． 2．方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理求出方程的两根，再根据等差中项的定义即可得解. 【详解】设方程的两根为，则， 所以方程的两根的等差中项为. 故选：D. 3.在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】借助等差数列等差中项的性质计算即可得. 【详解】等差数列中，解得， 则. 故选：D. 4.已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为 . 【答案】7 【分析】由韦达定理和等差中项性质得到答案. 【详解】由韦达定理得， 又数列是等差数列，故，所以，解得. 故答案为：7 5.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为________． 【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d， 则3a＝9，所以a＝3.所以这三个数分别为3－d，3，3＋d. 由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，所以d＝－1. 所以这三个数分别为4，3，2. 答案：4，3，2 题型03 求等差数列的通项公式 【例6】已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项解得，可得等差数列的首项为，公差为2，进而可得通项公式. 【详解】因为，，为等差数列， 则，解得， 可知等差数列的前3项分别为，1，，即首项为，公差为2， 所以此数列的通项为. 故选：B. 【例7】数列3，5，7，9，…的通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义求得. 【解析】由于， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. 故选：C 【例8】若等差数列{an}的前三项依次是a﹣1，a+1，3，则数列{an}的通项公式为（　　） A．an＝2n﹣5 B．an＝2n+1 C．an＝2n﹣1 D．an＝2n﹣3 【解题思路】由已知结合等差数列的性质列式求得a，进一步求出首项与公差，则通项公式可求． 【解答过程】解：由题意，2（a+1）＝a﹣1+3， 解得a＝0，∴d＝2，可得an＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3． 故选：D． 【例9】已知等差数列中，，公差，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由等差数列通项公式计算即得. 【解析】依题意，等差数列通项， 所以. 故选：A. 【例10】在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. (1)求数列的第10项； (2)问112是数列{an}的第几项？ (3)在80到110之间有多少项？ 解：设数列{an}的公差为d， 则解得 (1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. (2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项． (3)由80<3n－5<110， 解得28<n<38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项． 【跟踪训练】 1.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 解析：选B　∵a1＝20，d＝－3， ∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n， ∴a7＝2>0，a8＝－1<0. 故数列中第一个负数项是第8项． 2.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　) A．15 B．22 C．7 D．29 【解析】选A.设{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意得 解得a1＝47，d＝－8. 所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 3.判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d， (1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20， 得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4， 得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1. 由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100， 即－401是这个数列的第100项． 4.已知数列满足：，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由已知可得数列是公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式即可求得. 【详解】因为，所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以. 故选：D. 5.已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质先求出及，再根据即可求出 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 故答案为： 6.在数列中，若，则 . 【答案】 【分析】由题设可得，进而得到数列是以3为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可. 【详解】由，得，而， 则数列是以3为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 7.已知数列满足：，则通项 ． 【答案】 【分析】取倒数得到数列是等差数列，根据数列的通项公式得到数列的通项公式. 【详解】取倒数后得，即， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 所以， 故答案为：. 题型04 等差数列基本量的求解 【方法点拨】1.明确已知量与未知量：先梳理题目中给出的条件，确定涉及的量（），明确需求解的未知量. 2.选择对应公式：根据已知条件，选择通项公式基本式或推广式. 3.列方程（组）求解：将已知量代入公式，建立关于未知量的一元一次方程（或方程组），求解即可. 【例10】等差数列中，，，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】 设数列的公差为， 则，，所以． 故选：C． 【例11】在等差数列中，，则（ ） A．10 B．17 C．21 D．35 【答案】B 【详解】 设等差数列的公差为，则，即，解得， 所以. 故选：B. 【例12】在等差数列中，若，，则=（ ） A．20 B．25 C．30 D．33 【答案】D 【分析】 将条件转化为基本量并解出，进而解得答案. 【详解】 设数列的公差为d，，则. 故选：D. 【跟踪训练】 1.在等差数列中，若，，则公差（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】 因为，所以. 故选：D. 2.在等差数列中，已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由等差数列的性质有，从而即可求解. 【详解】 解：在等差数列中，因为，所以，所以， 故选：A. 3．数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则 . 【答案】 【分析】由等差数列通项公式即可求解. 【详解】由题意可得：， 即， 所以， 故答案为： 4.已知等差数列中，，则（ ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【分析】 根据等差数列的性质，可知，从而可求出结果. 【详解】 解：根据题意，可知等差数列中，， 则， 所以. 故选：D. 5.若等差数列的各项非零，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】设的公差为，则，即． 令，从而． 故答案为：. 6.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质列式求解. 【详解】设所求三个数依次为，则成等差数列， 因此，解得， 所以这3个数为. 故答案为： 题型05 利用等差数列的下标性质计算 【方法点拨】1.快速计算两项之和（已知某一项的值） 2.求解含多个项的等式问题：①根据下标关系，利用性质将等式中的多项合并或转化；②结合等差数列的其他性质（如通项公式、公差性质）求解未知量. 【例13】在等差数列中，若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【解析】由等差数列的性质可得，则，. 故选：D 【例14】在等差数列中，，，则（    ） A．39 B．76 C．78 D．117 【答案】C 【分析】根据等差数列通项的性质转化求解即可. 【解析】在等差数列中，，， 则. 故选：C. 【例15】已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列 【解析】选A.由题意知an＝2n＋1，所以an＋1－an＝2. 【跟踪训练】 1.已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可得到，解出即可. 【详解】由等差中项的性质可得，故，解得. 故选：C． 2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.故选：B. 3.已知递增数列是等差数列，若，，则（    ） A．2024 B．24-25 C．4048 D．4046 【答案】C 【分析】设数列的公差为d（），解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以为中心求，即可得结果. 【解析】解法一：设数列的公差为d（）， 因为，， 则，解得， 所以； 解法二：设数列的公差为d（）， 由得， 又因为，即，解得， 所以. 故选：C． 4. 等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 【答案】D 【分析】设公差为d，根据条件，联立求得，代入公式，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为d， 所以，则， 又，联立解得， 所以. 故选：D 题型06 等差数列的证明 【方法点拨】证明一个数列是等差数列的方法： (1)定义法：-=d(常数)(n){}是等差数列. (2)递推法(等差中项法)：=+(n){}是等差数列. (3)通项公式法：=pn+q(p,q为常数,n){}是等差数列. 【例18】已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项. 【详解】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 【例19】已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【答案】(1)证明见解析 (2)；最小项为. 【分析】（1）根据题意化简得到，即，结合等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据，得到数列为递增数列，即可求解. 【详解】（1）解：因为数列满足，即， 可得， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. （2）解：数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 由 ， 当时，可得，即，所以数列为递增数列， 所以当时，数列的最小项为，即数列的最小项为. 【跟踪训练】 1. 已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， （2）因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 2.已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列． 【证明】(定义法)因为bn＋1＝＝＝， 所以bn＋1－bn＝－＝＝，为常数(n∈N*). 又b1＝＝， 所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (等差中项法)因为bn＝， 所以bn＋1＝＝＝. 所以bn＋2＝＝＝. 所以bn＋bn＋2－2bn＋1 ＝＋－2×＝0. 所以bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N*)， 所以数列{bn}是等差数列． 3.已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【解析】(1)由an＋1＝3an＋3n， 两边同时除以3n＋1，得＝＋，即－＝. 由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 故an＝n·3n－1，n∈N*. 4.已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*). (1)求a2，a3； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式an. 【解析】(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20. (2)因为an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)， 所以＝＋1(n≥2，且n∈N*)， 即－＝1(n≥2，且n∈N*)， 所以数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列． (3)由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－， 所以an＝·2n. 5.数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义即可得证； （2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得解. 【详解】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知，． 题型07 等差数列的单调性 【方法点拨】1.单调性判断： 方法1：利用公差符号判断（最直接）：①若，则数列严格递增；②若，则数列严格递减；③若，则数列为常数列（不增不减）. 方法2：利用函数性质判断：等差数列通项公式是关于的一次函数（），①当时，函数单调递增，数列单调递增；②当时，函数单调递减，数列单调递减. 【例20】在数列{an}中，若an＝1+2020n（n∈N*），则数列{an}是（　　） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上都不是 【解题思路】结合数列单调性的定义即可判断． 【解答过程】解：由题意可得，an+1﹣an＝1+2020n﹣1﹣2020（n﹣1）＝2020＞0， 所以数列{an}是递增数列． 故选：A． 【例21】已知等差数列{an}的公差d＞0，则下列四个命题： ①数列{an}是递增数列；②数列{nan}是递增数列； ③数列是递增数列；④数列{an+3nd}是递增数列； 其中正确命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论． 【解答过程】解：∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an+1﹣an＝d＞0，∴数列{an}是递增数列成立，是真命题． 对于数列{nan}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1﹣nan＝nd+an+1，不一定是正实数，故是假命题． 对于数列，第n+1项与第n项的差等于，不一定是正实数，故是假命题． 对于数列{an+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd＝4d＞0， 故数列{an+3nd}是递增数列成立，是真命题． 故选：B． 【跟踪训练】 1．在公差为d的等差数列中，“”是“是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定 【详解】若，则，，所以，是递增数列； 若是递增数列，则，，推不出， 则“”是“是递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 2.若数列{an}是等差数列，则“a1＜a2”是“数列{an}为递增数列”（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【解题思路】根据等差数列的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案． 【解答过程】解：若“a1＜a2”，则公差d＞0，数列{an}为递增数列，是充分条件， 若数列{an}为递增数列，则公差d＞0，推出“a1＜a2”，是必要条件， 故选：C． 3．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 4.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10＝4，则a8的取值范围是（　　） A．（2，4） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（4，+∞） 【解题思路】利用a1+a10＝4，可得a1＝2，表示出a8，即可求a8的取值范围． 【解答过程】解：设公差为d，则 ∵a1+a10＝4， ∴2a1+9d＝4， ∴a1＝2， ∴a8＝a1+7d＝2d， ∵d＞0， ∴a8＝2d＞2． 故选：C． 题型08 等差数列的最值 【方法点拨】最值求解： 1、无穷等差数列：①递增数列（）：有最小值，无最大值；②递减数列（）：有最大值，无最小值；③常数列：所有项均为最值. 2、有穷等差数列：①递增数列：最小值为，最大值为末项；②递减数列：最大值为，最小值为末项；3、非单调数列（特殊含参数数列）：通过解不等式组（求最大值）或（求最小值）确定最值项的项数，再代入通项求最值. 【例22】已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意， ， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 2．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，判断数列的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得. 【详解】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 3.已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 题型09：等差数列的实际应用 【方法点拨】特征：以生活场景（存款利息、设备折旧、行程问题等）为背景，建立等差数列模型. 方法：1.提取关键量：确定首项（初始量）、公差（变化量）；2.列通项公式：根据题意写出； 3.求解目标量：如求第项或相关衍生量. 【例23】2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【答案】167 【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，依题可知是首项为0，公差为12的等差数列，根据，解不等式即可. 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故答案为：167 【跟踪训练】 1. 2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 【答案】65 【分析】探索，，，，的关系，确定的值. 【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以 ，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以. 故答案为： 2．2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 【答案】65 【分析】探索，，，，的关系，确定的值. 【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以 ，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以. 故答案为： 3．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子中间一节的装米量为 升． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用等差数列中项性质即可求解. 【详解】由题意竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 且只有，，，，，，共项， 因为，， 所以，又因为，解得. 故答案为：. 题型10：综合提升 【例24】已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析. (2) (3)是数列中的项，是第5项，理由见解析. 【分析】（1）将原等式进行变形，根据等差数列的定义判断即可. （2）根据（1）中的数列是等差数列先求出其通项公式，进而可求得结果. （3）若是数列中的项，则是数列中的项，然后代入数列的通项公式中求出即可. 【详解】（1）数列是等差数列，理由： 因为数列满足：，，所以. 所以，所以数列是等差数列. （2）由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为3， 所以，所以. 所以. （3）若是数列中的项，则是数列中的项， 令，则，解得. 所以是数列中的第5项. 【跟踪训练】 1.已知等差数列：3，7，11，15，…. （1）求的通项公式. （2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ （3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ 【答案】（1）；（2）135是数列中的项，是第34项，是数列中的项，是第项；（3）是数列中的项，是第项. 【分析】（1）由已知求得等差数列的公差为和首项，根据等差数列的通项公式可求得答案； （2）令，，且，由此可结论； （3）由已知得，，又由可得结论. 【详解】解：（1）设数列的公差为.依题意，有，， ∴. （2）令，得，∴135是数列中的项，是第34项. ∵，且， ∴是数列中的项，是第项. （3）∵，是数列中的项，∴，， ∴. ∵，∴是数列中的项，是第项. 2．已知数列{}满足，，且. (1)若，求，，. (2)证明：数列为等差数列； (3)设数列的通项公式为.若数列{}为等差数列，求. 【答案】(1). (2)证明见解析. (3). 【分析】（1）由，并结合，，求，同理可求； （2）由条件，结合诱导公式可得或，结合条件，证明，结合等差数列定义证明结论； （3）由（2）知，数列是公差为等差数列，得 ，又因为，即.由数列为等差数列，则，再使用余弦的和差化积公式即可求解. 【详解】（1）依题意，当时，则， 又，故，所以. 又，所以符合题意. 同理，， 又，得或， 又，所以符合题意. 由， 因为，得， 又，所以符合题意. （2）因为，所以，或（不合题设，舍）， 所以或， 即或， 因为， 所以， ， 所以， 所以或或， 又， 所以， 则， 所以， 所以数列是公差为的等差数列. （3）由（2）知，数列是公差为的等差数列. 所以， 又因为， 所以. 又因为数列为等差数列， 所以， 所以， 即， 又因为， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：由 ，由诱导公式可得 ，可得或，由条件，即可得到，再利用等差数列的概念即可. 一、填空题 1.（2024上海市控江中学高二期末）在等差数列中，，公差，则_________． 【答案】15 【分析】由等差数列通项公式直接可得. 【详解】. 故答案为：15 2．（24-25宝山高级中学期中）8，2的等差中项是______ 【解题思路】根据等差中项的性质即可求出． 【解答过程】解：根据等差中项的性质，可得8，2的等差中项是5， 3．（24-25复兴高级中学高二期末）在等差数列中，，则的值为______ 【解析】在等差数列中，， 所以，所以，. 4．（24-25上·上海·高二校考期中）已知2，a，成等差数列，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】用等差中项的性质求出即可. 【解析】因为2，a，成等差数列， 所以， 故答案为：3 5（24-25上·上海闵行·高二校考期中）已知，，是和的等差中项，则的值等于 . 【答案】 【分析】利用等差中项的定义，建立方程，解出即可. 【解析】因为是和的等差中项， 故 则， 故答案为： 6．（24-25嘉定区第一中学校考期中）在等差数列中，，则数列的前10项的和等于 . 【答案】 【分析】联立方程求得等差数列的公差，然后代入等差数列求和公式直接求解即可. 【解析】设等差数列的公差为，由题意，解得， 所以. 7.（24-25闵行外国语中学高二期中）已知等差数列中，，则数列的通项公式是___________. 【答案】## 【分析】 设公差为d，由基本量代换列方程组，解出，即可得到通项公式. 【详解】 设等差数列的公差为d，由题意可得：， 解得：， 所以. 故答案为：. 8.若lga1、lga2、lga3是公差为1的等差数列，则　　． 【解题思路】由题意得，1+lga1＝lga2、1+lga2＝lga3，然后结合对数的运算性质可求． 【解答过程】解：因为lga1、lga2、lga3是公差为1的等差数列， 所以1+lga1＝lga2、1+lga2＝lga3， 所以a2＝10a1，a3＝10a2＝100a1， 则100． 故答案为：100． 9.在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为_______. 【解析】设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9. 因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2， 所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故选：A 10.各项均为正数的等差数列{an}的满足a2＝3a1，则________. 【解题思路】由题意利用等差数列的定义和性质，求得所给式子的值． 【解答过程】解：∵各项均为正数的等差数列{an}的满足a2＝3a1，∴公差为d＝a2﹣a1＝2a1， ∴a5＝a1+4d＝9a1，a4＝a1+3d＝7a1，a3＝a1+2d＝5a1， 则， 故选：C． 11.（2024上海市控江中学高二期末）己知数列满足，则其通项公式________． 【答案】 【分析】 利用累加法即可求出数列的通项公式. 【详解】 因为，所以， 所以，，，…，， 把以上个式子相加，得， 即，所以. 故答案为：. 12．（24-25上海市大同中学高三月考）已知数列{an}满足a1=1，，则{an}的前20项和等于___________. 【标准答案】300 【思路指引】 由数列的通项公式可求得，推出数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可. 【详解详析】 因为 所以， 由题意可得， 其中， 可得， 则， 当时，也适合上式， 所以， 所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列， 则的前20项和为 故答案为：300. 二、选择题 13.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则98是{an}的（　　） A．第31项 B．第32项 C．第33项 D．第34项 【解题思路】由题意利用等差数列的定义和通项公式，得出结论． 【解答过程】解：∵在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8， ∴公差d3，an＝2+（n﹣1）×3＝3n﹣1， 令3n﹣1＝98，求得n＝33， 则98是{an}第33项， 故选：C． 14.已知数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，a2+a3+a4+a5+a6＝25，则S7等于（　　） A．5 B．15 C．30 D．35 【解题思路】由已知结合等差数列的性质可先求出a4，然后结合等差数列的求和公式可求． 【解答过程】解：因为数列{an}为等差数列，a2+a3+a4+a5+a6＝5a4＝25， 所以a4＝5， 则S77a4＝35． 故选：D． 15．（2025杨浦高级中学高二期中）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】，故选C. 16.首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ） A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d （3）an＝﹣21+（n﹣1）d． ∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故选：D． 三、解答题 17.等差数列中， （1）已知，，求的值； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），，且， （2），，，， 18.已知等差数列：3，7，11，15，…. （1）求的通项公式. （2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ （3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ 【答案】（1）； （2）135是数列中的项，是第34项，是数列中的项，是第项； （3）是数列中的项，是第项. 【解析】（1）设数列的公差为.依题意，有，， ∴. （2）令，得，∴135是数列中的项，是第34项. ∵，且， ∴是数列中的项，是第项. （3）∵，是数列中的项，∴，， ∴. ∵，∴是数列中的项，是第项. 19.（24-25春•浦东新区校级期末）无穷数列{an}满足：an+1an+3an+1+an+4＝0且a1≠﹣2． （1）求证：{}为等差数列； （2）若a2021为数列{an}中的最小项，求a1的取值范围． 【解题思路】（1）通过计算的值即可得到解答； （2）由（1）的结论可得：，再根据的增减性可以得到结果． 【解答过程】（1）证明：由已知可得：， ∴ ， ∴{}是公差为1的等差数列； （2）解：由（1）可得， ∴an＝﹣2， 结合图象易知函数在n﹣a＜0，n+1﹣a＞0时取到最小值， ∴由a2021为数列{an}中的最小项，有， 解得：， ∴a1的取值范围是：． 20.各项不为0的数列{an}满足（n≥2，n∈N*），且a2＝﹣1． （1）求证：数列{}为等差数列； （2）若λ对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 【解题思路】（1）各项不为0的数列{an}满足（n≥2，n∈N*），变为：an，两边取倒数即可证明结论》 （2）由（1）可得：an，代入λ对任意n∈N*恒成立，利用数列的单调性即可得出实数λ的取值范围． 【解答过程】（1）证明：各项不为0的数列{an}满足（n≥2，n∈N*），变为：an， 两边取倒数：可得：3，即3， 由a2＝﹣1，∴3，解得a1． ∴数列{}为等差数列，公差为3，首项为﹣4． （2）解：由（1）可得：4+3（n﹣1）＝3n﹣7， ∴an， 由λ对任意n∈N*恒成立，∴λ的最小值． 令f（n）1， n＝1时，f（1）＝4；n＝2时，f（2）；n≥3时，f（n）单调递增，n→+∞时，f（n）→1． ∴λ， ∴实数λ的取值范围是（﹣∞，]． 21.（24-25上海市建平中学高二期末）无穷数列满足：且． （1）求证：为等差数列； （2）若为数列中的最小项，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）利用递推公式证得，根据等差数列的定义即可得出结论； （2）由于数列是以1为公差的等差数列，所以若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，然后结合题意即可得到，解不等式组即可求出结果. 【详解】 （1）因为，则 所以 ， 故数列是以1为公差的等差数列； （2）若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，又数列是递增数列，且为数列中的最小项，所以是数列中的最大负项，从而有，而，则，解得， 故的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题4.1.1 等差数列及其通项公式 知识点01 等差数列的概念 1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示（）. 2.定义的符号表示：（，为常数）. 3.特殊说明：当时，数列为常数列（如2,2,2,…），常数列是特殊的等差数列. 【要点】 （1）忽略“从第2项起”的条件，误将“前几项差为常数”判定为等差数列，如数列1,3,5,8，前3项差为2，但第4项与第3项差为3，不是等差数列. （2）忽略“同一个常数”的条件，如数列1,3,6,10，差分别为2,3,4，不是同一个常数，不是等差数列. （3）符号表示中遗漏“”，忽略对所有正整数成立的要求，仅验证前几项满足差为常数不可靠. 知识点02 等差中项 1.定义：如果三个数，，成等差数列，那么叫做与的等差中项. 2.核心公式：（即）. 3.延伸性质：在等差数列中，任意连续三项，，都满足，即中间项是前后两项的等差中项. 4.等差中项的两大作用：①快速判断三个数是否成等差数列；②判定一个数列是否为等差数列的辅助方法（任意连续三项满足等差中项关系）. 【要点】 （1）不要混淆“等差中项”与“中间项”，认为任意三个数的中间项都是等差中项，忽略“成等差数列”的前提，如1,2,4中，2不是1与4的等差中项（）. （2）利用等差中项判定数列时，仅验证部分连续三项满足，未验证对所有成立，导致判定错误. 知识点03 等差数列的通项公式 1.基本形式：（），其中为数列首项，为公差，为项数，为第项. 2.推导过程（累加法）：由等差数列定义，，，…，（），将以上个式子左右两边分别相加，得，整理得. 3.推广形式：（、），即等差数列中任意两项的关系，可由基本通项公式推导（，，两式相减得）. 【要点】 （1）使用推广形式时，注意与的位置. （2）通项公式的核心逻辑：将等差数列的“等差”特征转化为“线性表达式”，是关于的一次函数（时）或常函数（时）.若数列的通项公式为（、为常数），则是等差数列，且公差，首项；反之，若是等差数列，则其通项公式必为的形式（线性函数形式）. （3）通项公式的四个核心量：（首项）、（公差）、（项数）、（第项），已知其中三个量可求第四个量（“知三求一”）. 推广形式的优势：无需知道首项，仅已知任意两项即可求通项或其他项，简化计算. 知识点04 等差数列的单调性与最值 1.单调性判定：由通项公式，结合一次函数性质判定： 当时，是关于的增函数，数列为严格递增等差数列； 当时，是关于的减函数，数列为严格递减等差数列； 当时，（常数），数列为常数列，不增不减. 2.最值求解（针对有穷等差数列）： 递增等差数列（）：最小值为第1项，最大值为末项； 递减等差数列（）：最大值为第1项，最小值为末项； 常数列（）：所有项相等，任意项都是最值. 【要点】 （1）等差数列单调性的核心决定因素：公差的符号，与首项无关. （2）无穷等差数列的最值特征：递增无穷等差数列有最小值，无最大值；递减无穷等差数列有最大值，无最小值；常数列任意项为最值. （3）有穷等差数列最值的快速判断方法：先看公差符号确定增减性，再结合首项和末项确定最值. （4）若等差数列满足且（），则第项是数列的最大值； 若等差数列满足且（），则第项是数列的最小值； 若等差数列的通项公式为（），则当时，数列递增，前项中最小；当时，数列递减，前项中最大. 知识点05 等差数列的简单性质 1.下标性质：在等差数列中，对任意正整数、、、，若，则；特别地，当时，（即是与的等差中项）. 该性质推广到三项，即，，，，，,． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可． 2.公差计算性质：在等差数列中，公差（），可由通项公式变形推导. 3.子数列性质：若均为等差数列，且公差分别为，则数列，也为等差数列，且公差分别为．. 若是等差数列，则从第项起，取间隔相等的项构成的新数列仍是等差数列，如、、、…（为常数），新数列的公差为. 题型01 等差数列的判断 【方法点拨】核心判断方法：共3种常用方法，优先选择定义法，其次为等差中项法或通项公式法. 1.定义法（最核心，适用于所有递推型题目）： 2.等差中项法（适用于已知数列前几项或连续三项关系的题目）：对任意，是否满足；3.通项公式法（适用于已知或可推导通项公式的题目）： ①求出数列的通项公式；②判断是否为关于的一次函数（即，为常数）； 【例1】下列数列中，不是等差数列的是（ ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【例2】若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为3的等差数列 C．是公差为5的等差数列 D．不是等差数列 【例3】若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有________ (1) (2) (3) (4) 【跟踪训练】 1.给出下列数列: (1)0,0,0,0,…; (2)1,11,111,1 111,…; (3)2,22,23,24,…; (4)-5,-3,-1,1,3,…; (5)1,2,3,5,8,…. 其中是等差数列的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.给出下列命题： ①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ②数列是公差为的等差数列； ③等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)； ④数列是等差数列. 其中正确命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③④ D．③④ 3. 设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 等差中项的求解和应用 【方法点拨】1：判断三个数是否成等差数列 2.求等差中项或未知项：若已知和，直接用求等差中项；若已知等差中项和其中一个数，用求另一个数. 在等差数列中，已知和，用求中间项. 3.简化计算（核心技巧）：在等差数列中，若下标满足（），则（即是与的等差中项），可快速计算两项之和. 【例4】已知{an}是等差数列，且a3﹣1是a2和a5的等差中项，则{an}的公差为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【例5】已知{an}是等差数列，且a2+1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1 【跟踪训练】 1. 2与8的等差中项是（　　） A．﹣5 B．5 C．4 D．±4 2．方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 3.在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 4.已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为 . 5.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为________． 题型03 求等差数列的通项公式 【例6】已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（    ） A． B． C． D． 【例7】数列3，5，7，9，…的通项公式（    ） A． B． C． D． 【例8】若等差数列{an}的前三项依次是a﹣1，a+1，3，则数列{an}的通项公式为（　　） A．an＝2n﹣5 B．an＝2n+1 C．an＝2n﹣1 D．an＝2n﹣3 【例9】已知等差数列中，，公差，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例10】在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. (1)求数列的第10项； (2)问112是数列{an}的第几项？ (3)在80到110之间有多少项？ 【跟踪训练】 1.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 2.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　) A．15 B．22 C．7 D．29 3.判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 4.已知数列满足：，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5.已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 6.在数列中，若，则 . 7.已知数列满足：，则通项 ． 题型04 等差数列基本量的求解 【方法点拨】1.明确已知量与未知量：先梳理题目中给出的条件，确定涉及的量（），明确需求解的未知量. 2.选择对应公式：根据已知条件，选择通项公式基本式或推广式. 3.列方程（组）求解：将已知量代入公式，建立关于未知量的一元一次方程（或方程组），求解即可. 【例10】等差数列中，，，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例11】在等差数列中，，则（ ） A．10 B．17 C．21 D．35 【例12】在等差数列中，若，，则=（ ） A．20 B．25 C．30 D．33 【跟踪训练】 1.在等差数列中，若，，则公差（ ） A．1 B．2 C． D． 2.在等差数列中，已知，则等于（ ） A． B． C． D． 3．数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则 . 4.已知等差数列中，，则（ ） A．15 B．30 C．45 D．60 5.若等差数列的各项非零，且，则的值为 ． 6.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则这3个数为 ． 题型05 利用等差数列的下标性质计算 【方法点拨】1.快速计算两项之和（已知某一项的值） 2.求解含多个项的等式问题：①根据下标关系，利用性质将等式中的多项合并或转化；②结合等差数列的其他性质（如通项公式、公差性质）求解未知量. 【例13】在等差数列中，若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例14】在等差数列中，，，则（    ） A．39 B．76 C．78 D．117 【例15】已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列 【跟踪训练】 1.已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 3.已知递增数列是等差数列，若，，则（    ） A．2024 B．24-25 C．4048 D．4046 4. 等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 题型06 等差数列的证明 【方法点拨】证明一个数列是等差数列的方法： (1)定义法：-=d(常数)(n){}是等差数列. (2)递推法(等差中项法)：=+(n){}是等差数列. (3)通项公式法：=pn+q(p,q为常数,n){}是等差数列. 【例18】已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【例19】已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【跟踪训练】 1. 已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 2.已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列． 3.已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 4.已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*). (1)求a2，a3； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式an. 5.数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 题型07 等差数列的单调性 【方法点拨】1.单调性判断： 方法1：利用公差符号判断（最直接）：①若，则数列严格递增；②若，则数列严格递减；③若，则数列为常数列（不增不减）. 方法2：利用函数性质判断：等差数列通项公式是关于的一次函数（），①当时，函数单调递增，数列单调递增；②当时，函数单调递减，数列单调递减. 【例20】在数列{an}中，若an＝1+2020n（n∈N*），则数列{an}是（　　） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上都不是 【例21】已知等差数列{an}的公差d＞0，则下列四个命题： ①数列{an}是递增数列；②数列{nan}是递增数列； ③数列是递增数列；④数列{an+3nd}是递增数列； 其中正确命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1．在公差为d的等差数列中，“”是“是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.若数列{an}是等差数列，则“a1＜a2”是“数列{an}为递增数列”（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 3．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10＝4，则a8的取值范围是（　　） A．（2，4） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（4，+∞） 题型08 等差数列的最值 【方法点拨】最值求解： 1、无穷等差数列：①递增数列（）：有最小值，无最大值；②递减数列（）：有最大值，无最小值；③常数列：所有项均为最值. 2、有穷等差数列：①递增数列：最小值为，最大值为末项；②递减数列：最大值为，最小值为末项；3、非单调数列（特殊含参数数列）：通过解不等式组（求最大值）或（求最小值）确定最值项的项数，再代入通项求最值. 【例22】已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【跟踪训练】 1.已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 2．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 3.已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 题型09：等差数列的实际应用 【方法点拨】特征：以生活场景（存款利息、设备折旧、行程问题等）为背景，建立等差数列模型. 方法：1.提取关键量：确定首项（初始量）、公差（变化量）；2.列通项公式：根据题意写出； 3.求解目标量：如求第项或相关衍生量. 【例23】2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【跟踪训练】 1. 2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 2．2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 3．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子中间一节的装米量为 升． 题型10：综合提升 【例24】已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 【跟踪训练】 1.已知等差数列：3，7，11，15，…. （1）求的通项公式. （2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ （3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ 2．已知数列{}满足，，且. (1)若，求，，. (2)证明：数列为等差数列； (3)设数列的通项公式为.若数列{}为等差数列，求. 一、填空题 1.（2024上海市控江中学高二期末）在等差数列中，，公差，则_________． 2．（24-25宝山高级中学期中）8，2的等差中项是________ 3．（24-25复兴高级中学高二期末）在等差数列中，，则的值为______ 4．（24-25上·上海·高二校考期中）已知2，a，成等差数列，则a的值为 ． 5（24-25上·上海闵行·高二校考期中）已知，，是和的等差中项，则的值等于 . 6．（24-25嘉定区第一中学校考期中）在等差数列中，，则数列的前10项的和等于 . 7.（24-25闵行外国语中学高二期中）已知等差数列中，，则数列的通项公式是___________. 8.若lga1、lga2、lga3是公差为1的等差数列，则　　． 9.在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为_____ 10.各项均为正数的等差数列{an}的满足a2＝3a1，则_____ 11.（2024上海市控江中学高二期末）己知数列满足，则其通项公式________． 12．（24-25上海市大同中学高三月考）已知数列{an}满足a1=1，，则{an}的前20项和等于___________. 二、选择题 13.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则98是{an}的（　　） A．第31项 B．第32项 C．第33项 D．第34项 14.已知数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，a2+a3+a4+a5+a6＝25，则S7等于（　　） A．5 B．15 C．30 D．35 15．（2025杨浦高级中学高二期中）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 A．5 B．4 C．3 D．2 16.首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ） A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d 三、解答题 17.等差数列中， （1）已知，，求的值； （2）若，，，求的值． 18.已知等差数列：3，7，11，15，…. （1）求的通项公式. （2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ （3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ 19.（24-25春•浦东新区校级期末）无穷数列{an}满足：an+1an+3an+1+an+4＝0且a1≠﹣2． （1）求证：{}为等差数列； （2）若a2021为数列{an}中的最小项，求a1的取值范围． 20.各项不为0的数列{an}满足（n≥2，n∈N*），且a2＝﹣1． （1）求证：数列{}为等差数列； （2）若λ对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 21.（24-25上海市建平中学高二期末）无穷数列满足：且． （1）求证：为等差数列； （2）若为数列中的最小项，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $