吉林长春市第十七中学2025-2026学年高二下学期第三学程考试数学试卷

长春市第十七中学2025－2026学年度下学期 高二第三学程考试数学试卷 出题人：张莉静，刘雪峰 校对人：刘妍妍，郑帅，刘立波 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分） 1．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（ ） A． B． C． D．2 4．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．若命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 7．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（多选题）下列命题为真命题的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选题）下列说法正确的是（ ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 11．（多选题）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（ ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 三、填空题（每题5分，共15分） 12．函数的图象恒过定点的坐标是________． 13．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，则该塔第十二层有________座． 14．已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是________． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）设集合，非空集合． （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数，是定义域为的奇函数． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 17．（15分）在数列中，为数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18．（17分）已知抛物线的焦点为． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线与抛物线C相交于M，N两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）O为坐标原点，求重心的轨迹方程． 19．（17分）丹麦数学家琴生对数学分析做出了卓越贡献，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若为上任意n个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”．也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”．若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”．也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”．这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式． （1）判断函数，的凹凸性； （2）在中，求证：； （3）若n个正实数满足，求证：． 高二期末考试数学试卷答案 1．【答案】A 解：由题意，，，故选． 2．【答案】A 解：由一定可得出：但反过来，由不一定得出，如，故选A． 3．【答案】C 【解析】解：根据对数运算性质可知，，所以．故选：C． 4．【答案】A 解：由题设知，则，，因此，可得．故选A． 5．【答案】B 解：由题意知方程有实数解，，解得，故选B． 6．【答案】A 【解析】解：因为是偶函数，所以，，因为，在上单调递增，所以，即．故选：A． 7．【答案】A 解：因为对任意，都有成立，所以是上的减函数，则， 解得．故选：A． 8．【答案】B 【解析】解：构造函数，，则，， 在上恒成立，在上单调递增， 而，，即为， 故，即，不等式的解集为．故选B． 9．【答案】BCD 【解析】解：对于A，当，，，时，A显然错误； 对于B，，则，所以，故B正确： 对于C，，则，，则，故C正确： 对于D，，则，，，所以，故D正确．故选：BCD． 10．【答案】BCD 解：的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误；由， 可得，故B错误：由，得，联立解得，故C正确： 由函数的定义域为，得，则， 可得的定义域为，故D正确．故选：CD． 11．【答案】ABD 解：的周长，故A错误； 当直线垂直于轴时，将代入，得，，故B正确； ，，， ，，，，， 在中，， 在中，，得， ，，故C错误； 过点向圆引两条切线，设切点为和，，，，， 所以四边形为正方形，，所以时，椭圆上存在点满足题意，故D正确，故选BD． 12．【答案】 解：当，即时，为定值，此时， 故的图象恒过定点． 13．【答案】19 解：已知从第五层开始，塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，将第五层的塔的数目设为，设从第五层开始自上而下，每一层的塔的数目为． 14．【答案】 【解析】解：当时，，， ，， ∴在处的切线方程为，即， 令可得，； 当时，，，所以，， 所以在处的切线方程为：，即， 令可得，， ∵两条切线互相垂直，，， ， 令，， 15．【答案】解：（1）．因为，所以， 所以，． （2）当时，，解得． 16．【答案】解：（1）由为定义在上的奇函数，根据奇函数性质可得，，解得，所以， 因为函数为奇函数，则，而， 所以，整理可得， 即对任意的恒成立，解得，所以，： （2）易得在上单调递增， 由可得， 所以，所以，解得，所以不等式的解集为． 17．【答案】解：（Ⅰ）为数列的前项和，且，．① 当时，解得：；当时，② ①-②得：，整理得，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：， 所以． 18．【答案】 （1），； （2）（ⅰ），整理得，； ，，解得，． （ⅱ），，．定义域． 19．【答案】 （1），则， ， 当时，，所以是凹函数． （2）由（1）知，当且仅当时等号成立． （3）设，则，在上恒成立， 所以在上是凹函数． 个正实数满足，则， 所以. 即， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $