精品解析：吉林长春市十一高中2025-2026学年高二下学期第三学程考试数学试题

长春市十一高中2025—2026学年度高二下学期 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在的图像大致为 A. B. C. D. 6. 已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设为两个不同的正数，我们称为的对数平均值，且已知恒有成立，该不等式也称为对数均值不等式，它在各个领域都有着重要应用．已知，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量的分布列为，则 D. 若随机变量，满足，且，则 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，则的最小值为 D. 若，则 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则__________. 13. 已知随机事件A，B满足，，若，则________． 14. 已知正实数，满足，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性． 16. 已知等差数列前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列前项和为，且，，设，求数列的前项和． 17. 设椭圆的左、右焦点分别为，．已知在椭圆C上，且的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，过点M的直线l与椭圆C交于另一点N与x轴交于点P，若． （ⅰ）求P点的坐标； （ⅱ）求的面积． 18. 某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B．附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为． （1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； （2）若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为． （ⅰ）求（用n表示）； （ⅱ）设，求证：． 19. 已知函数，函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求b的值； （2）若，，使成立，求m的取值范围； （3）设函数有两个不同的零点，，且满足，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2025—2026学年度高二下学期 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合,然后利用并集运算求解可得答案. 【详解】由已知，，所以. 故选：D 2. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】等比数列满足，则，解得或，而， 当时，，与矛盾；当时，， 所以数列的公比. 3. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合抽象函数定义域的解法，即可求解． 【详解】函数的定义域为， 则函数的定义域为， 函数， 则，解得， 故函数的定义域为. 故选：A. 4. 设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线中的关系和等差数列可求答案. 【详解】因为成等差数列，所以，又，所以，即，所以. 该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 5. 函数在的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果． 【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 6. 已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数是幂函数且在为增函数可求得的值，将所求不等式变形为，由此可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 又因为、，都有， 可设，则，所以，函数是单调递增函数， 当时，，该函数在上不单调，不合乎题意； 当时，，该函数在上为增函数. 所以等价于，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，同时也考查了利用幂函数求参数，考查计算能力，属于中等题. 7. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用题设条件推出4是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得. 【详解】因为为奇函数，则， 又因为为偶函数，所以，则有， 故得，即得， 故4是函数的一个周期. 又是上的奇函数，故，解得， 即当时，， 所以. 8. 设为两个不同的正数，我们称为的对数平均值，且已知恒有成立，该不等式也称为对数均值不等式，它在各个领域都有着重要应用．已知，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助对数均值不等式取特殊值可得，再计算出函数的奇偶性及其单调性即可得解. 【详解】由，取、，则，即； 由，取、，则，即； 则有； ， ，又定义域为，故为偶函数， 当时，， 故在上单调递增， 由为偶函数，则， 由，则，即. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量的分布列为，则 D. 若随机变量，满足，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】应用残差图性质判断A，应用正态分布对称性判断B，结合分布列性质判断C，应用二项分布计算判断D. 【详解】A选项，残差图中残差点所在水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，表述正确； B选项中，，由正态分布对称性得，B选项错误； 由分布列概率和为1可得，解得，C选项错误； D选项中，则， 由得，则，D选项正确. 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，则的最小值为 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】取值计算判断AB；C选项，通过拼凑，用“1的整体代换”结合均值不等式即可求最值；D选项，通过对进行平方，结合与均值不等式即可进行证明. 【详解】对于A：令，此时，不满足，故A错误； 对于B：令，满足，，而，此时，不满足，故B错误； 对于C：由，得，又，，所以，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 此时取到最小值为，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即，故D正确. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并作出函数图象，求出的关系式，利用基本不等式判断A；利用指数函数的性质判断B；利用对数函数的性质判断C；利用基本不等式中1的妙用判断D． 【详解】∵，∴， 则分别为函数与图象交点的横坐标， 而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 在同一坐标系中画出与的图象，如图， 由图可知，点与关于直线对称， 直线与的交点坐标为， 于是得， ∴，A正确； ∵，∴，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据分段函数先求，结合对数恒等式再求即可求解. 【详解】由题意有：， 因为， 所以， 所以， 故答案为：7. 13. 已知随机事件A，B满足，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用条件概率计算求解. 【详解】由条件概率公式可得，， 代入已知等式得，解得. 14. 已知正实数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把已知等式变形为，利用函数（）的单调性得的关系，这样把转化为的函数，再利用导数求得最大值． 【详解】由得，所以，， 因为，所以， 设（），则，递增， 所以由得，所以， ， 设，则， 所以时，，递增，时，，递减， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能力，属于较难题． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出的解，再由极值的定义即可求解； （2）根据条件得到，再对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【小问1详解】 当时，，易知的定义域为， ，又恒成立， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 16. 已知等差数列前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列前项和为，且，，设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式求，即可得通项公式； （2）先根据题意求，即可得数列的通项公式，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的首项和公差分别为， 因为，可得，解得， 所以. 【小问2详解】 设等比数列的首项和公比分别为， 因为，可得； 又因为，即，可得，， 则，可得， 所以. 17. 设椭圆的左、右焦点分别为，．已知在椭圆C上，且的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，过点M的直线l与椭圆C交于另一点N与x轴交于点P，若． （ⅰ）求P点的坐标； （ⅱ）求的面积． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）； 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积和椭圆定义可得，，进而求出，得到椭圆方程； （2）（ⅰ）求出直线的方程，联立椭圆方程，求出点坐标，进而得到直线的方程，得到； （ⅱ）利用求出答案. 【小问1详解】 的面积为，解得， 因为左、右焦点分别为， 所以， 解得，因为， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）由于，，故， 因为，所以，故， 直线的方程为， 联立直线和椭圆方程得， 解得或1，故点的横坐标为， 此时，故点的坐标为， 因此，所以直线的方程为， 即，令得，故， （ⅱ）的面积为 18. 某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B．附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为． （1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； （2）若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为． （ⅰ）求（用n表示）； （ⅱ）设，求证：． 【答案】（1）分布列为 0 1 2 3 4 数学期望为； （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：因为， 则， 当时，，而， 所以， 当时，， 而， 所以 ， 所以． 【解析】 【分析】（1）设出事件，由全概率公式得到第二天选择路线A散步的概率，从而得到，从而得到分布列和数学期望； （2）（ⅰ）得到，构造法得到通项公式； （ⅱ）放缩法，结合等比数列求和公式进行证明. 【小问1详解】 记附近居民第天选择路线A和路线B分别为， 根据题意得， 由全概率公式得，第二天选择路线A散步的概率为 ， 故，则，， ，， ， 故Y的分布列如下： 0 1 2 3 4 期望为； 【小问2详解】 （ⅰ）当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 所以，， 设，则，故，解得， 则， 其中，故， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，故， （ⅱ）略 19. 已知函数，函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求b的值； （2）若，，使成立，求m的取值范围； （3）设函数有两个不同的零点，，且满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求的导数得到切线斜率，结合两直线垂直斜率乘积为列式求解. （2）将双量词条件转化为函数最值关系，分别求的最小值和的最小值，建立不等式求解的范围. （3）化简解析式，将零点问题转化为方程有两个不同解，通过比值换元构造函数分析单调性，求解的范围. 【小问1详解】 的定义域为，求导得. 则曲线在点处的切线斜率. 因切线与直线垂直，故直线斜率必存在，为， 故有，解得. 【小问2详解】 由，求导得. 令，得， 当时，，当时，， 则在上单调递减；在上单调递增， 则 ，则的最小值为. 题设条件等价于：对任意，恒成立， 即对任意恒成立. 设，则. 令，得， 当时，，当时，， 则在上单调递增；在上单调递减， 因，，且， ∴ ，∴ . 【小问3详解】 由，得， 令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，恒成立，且， 由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点， 因此，即， 由，得，且， 不妨设，将代入， 得，即， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递减， 有，即，函数在上单调递减， 由，得，则， 因此函数在上单调递减，即， 于是，有，则， 又，而，， 在上递增，而，因此在上递增， 则，即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】方法归纳：1. 导数几何意义应用：切线斜率等于切点处导数值，两直线垂直斜率乘积为. 2. 双量词问题转化：等价于. 3. 双零点问题常用比值换元法，将双变量转化为单变量构造函数求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $