精品解析：吉林省实验中学2025-2026学年下学期高二年级学程性考试（三）数学试题

绝密★启用前 吉林省实验中学2025-2026学年度下学期 高二年级学程性考试（三） 数 学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码. 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存. 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知全集，设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，B，再利用补集、并集的定义计算作答. 【详解】解不等式得：，即， 解不等式得：，则，， 所以 故选：C 2. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，且，可得； 反之，由不一定得到，且，比如，时，， 所以“”是“，且”的必要不充分条件． 3. 如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求定义域，再求出为偶函数，再得到当时，，A正确. 【详解】定义域为， 又，故为偶函数，排除BD； 当时，，故，排除C选项，A正确. 故选：A 5. 已知函数若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知在定义域上单调递增，由不等式可得恒成立，参变分离结合二次函数最值分析求解. 【详解】当时，在上单调递增，且； 当时，在上单调递增，且； 如图所示，可知在定义域上单调递增， 因为不等式恒成立，则恒成立， 即在上恒成立， 且，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 6. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解． 【详解】先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种， 再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种， 所以不同的选择方案共有种． 故选：B 7. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 且，即； ，即； ，即. 所以. 8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若方程且恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析得函数的周期为4，作出函数图象，根据题意得函数的图象与的图象有3个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以时，， 又因为对任意的，都有， 所以，即， 又因为，即， 所以，所以，即函数以4为周期， 又由方程恰有3个不同的实数根， 得函数的图象与的图象有3个不同的交点， ， 当时，如图， 要使两函数图象有3个交点，则，解得， 当时，如图， 要使两函数图象有3个交点，则，解得， 综上， 故选：D 二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数据点P对应的残差的绝对值为5 C. 该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D. 乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，相关系数的正负决定正负相关，可根据线性回归方程的正负进行判断； B选项，根据数据点与预测值的差判断残差； C选项，可利用计算，代入线性回归方程计算平均建筑面积； D选项，决定系数越接近1，拟合效果越好，比较两个决定系数大小判断拟合效果即可． 【详解】A选项，因为，故房屋的建筑面积和销售价格y呈正相关，相关系数为，A错误； B选项，代入，可得的预测值：，残差为：，故B正确； C选项，，因为线性回归方程恒过点，故， 解得：，C正确； D选项，决定系数越接近1，拟合效果越好，因为，故甲机构选取的模型拟合效果更好，D正确． 10. 已知实数满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 的最小值是 D. 的最小值是1 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由，则，即，故A正确； 对于B， ，因为，，即，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由，则，故， 当时，取得最小值，故D错误. 11. 定义在上的函数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，令，再解方程即可；对于B，令，解得；对于C，令，即可得到，对于D，令，可得，进而可得． 【详解】解：令，则，解得，故A正确； 令，则，解得，故B错误； 令，则， ，故C正确； 令，则， 又， ，又不恒为零， ，即， ，即，故D错误． 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由已知， 则，解得， 即函数的定义域为. 13. 已知的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质及二项展开式的公式求解即可. 【详解】由展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，得，解得. 展开式通项公式为. 令，则，故常数项为. 14. 现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题”，利用全概率公式求出，再由条件概率公式求解. 【详解】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题” 则表示学生甲选到不会做的题且答对，所以， ，，，， 由全概率公式， . 所以已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最值． 【答案】（1） 单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （2） 最大值为 ，最小值为 . 【解析】 【分析】（1）直接求导根据导函数的正负确定单调区间即可； （2）计算区间端点值和极值，比较大小即可. 【小问1详解】 函数定义域为 ，， 令  得 ，当 时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故函数的单调递增区间为(0,e)，单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知在[1,e]上单调递增，在上单调递减， 又，， 故函数在上的最大值为，最小值为1. 16. 某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元．已知生产的物资能全部售出． （1）写出总利润（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入流动成本固定成本）； （2）当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2）生产量为12吨时，总利润最小为56千元 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数关系式，及利润的计算公式即可求解， （2）根据二次函数、对数函数的单调性求最小值，比较大小即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，又， 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，，． 当时，，易知函数单调递增， 故． 因为，所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元． 17. 当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要求较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现. （1）求出10个样品中有几个不合格产品； （2）若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列； （3）若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？ 【答案】（1）10个样品中有3个不合格产品 （2） 0 1 2 3 （3）元 【解析】 【分析】（1）利用，可以求出不合格品概率，即可求出结果； （2）利用超几何分布求出分布列； （3）由样本频率估计总体，利用二项分布求出200件产品中不合格品的个数，即可求出预计维修费用. 【小问1详解】 ∵，且视为不合格， ∴∴，即10个样品中有3个不合格产品. 【小问2详解】 由（1）可知，10件样品中有3件不合格产品，有7件合格产品； ∴的可能值为0，1，2，3.∴， ， ， ， ∴分布列为: 0 1 2 3 【小问3详解】 由（1）可知，不合格品的概率为， ∴不合格品的个数， ∴200块电池中，不合格品的个数为个， 所以维修费用元. 18. 篮球是吉林省实验中学亮眼的校园名片，篮球队凭借稳定的发挥和顽强的拼搏精神，长期在耐高联赛中保持超强竞争力.篮球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）： 球队输球 球队赢球 总计 甲参加 2 30 32 甲未参加 8 10 18 总计 10 40 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联； （2）从统计的50场比赛中任选一场，表示事件“甲球员参加了该场比赛”，表示事件“球队输球”．与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为． ①证明：； ②利用球员甲数据统计，给出，的估计值，并求出的估计值． 附：． 参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 能认为该球队赢球与甲球员参赛有关联 （2） ①证明： 因为 ， 因此， 同理可得  ， 两式相乘得， 故原等式成立； ②. 【解析】 【分析】（1）提取列联表数据计算卡方统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝零假设； （2） ①利用条件概率公式分别展开等式左右两侧，验证二者相等；②用频率估计概率，代入数据计算各概率及的估计值. 【小问1详解】 设零假设：球队赢球与甲球员参赛无关联， 则，故拒绝， 所以根据小概率值的独立性检验，能认为球队赢球与甲球员参赛有关联. 【小问2详解】 ①略 ②用频率估计概率： 球队输球共10场，其中甲参赛2场， 故的估计值为； 球队赢球共40场，其中甲参赛30场， 故的估计值为； 代入①的公式得的估计值： . 19. 已知函数在点处的切线为． （1）若时，与x轴平行，求a的值； （2）若在处取得极大值，求a的取值范围； （3）过点A的直线与垂直，当，都与x轴相交时，交点的横坐标分别是，．若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1求导得，由已知可得，求解即可. （2）由（1）知，令，解得或，若在处取得极大值，则左侧，，右侧..因为恒成立，令，分情况讨论得出的取值范围. （3）当时，求导得，由题知过点的直线与垂直，且都与轴相交，则切线，的斜率存在且不为0，所以的斜率切线的斜率，垂直于的切线的斜率，所以，，代入并化简计算可得其范围. 【小问1详解】 已知， 求导得， 当时，直线与x轴平行，即， 解得. 【小问2详解】 由（1）知，令，解得或. 若在处取得极大值，则左侧，右侧. 因为恒成立，令， 则当时，开口向上，要使左侧，右侧， 则，解得， 当时，只有唯一解，在此处取极小值，不符合题意； 当时，开口向下，要使左侧，右侧， 则需满足， 因为，故，所以显然不成立. 综上，若在处取得极大值，需满足， 所以a的取值范围. 【小问3详解】 当时，，. 由题知过的切线与轴相交，交点的横坐标是，且， 则，的斜率存在且不为0. 所以切线的斜率， 垂直于的直线的斜率. 所以，. 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以的取值范围． 附加题．（本小题满分10分） 20. 在学校科技节中甲､乙两位同学分别参加闯关游戏，已知两位同学每次闯关通过概率均为，且两人每次闯关的结果相互独立. （1）若甲，乙各参加一次闯关游戏，求甲通过次数不低于乙通过次数的概率； （2）若甲，乙分别参加了次和次游戏，求乙通过次数大于甲通过次数的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将目标情况拆解为三个互斥事件，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. （2）结合题意合理拆分事件，再结合二项分布的性质和全概率公式求解即可. 【小问1详解】 设甲通过为事件，乙通过为事件， 因为两位同学每次闯关通过概率均为， 所以，，，， 则甲通过次数不低于乙通过次数为如下事件， 甲通过且乙通过，甲通过且乙不通过，甲不通过且乙不通过，且三者互斥， 当甲通过且乙通过时，甲通过与乙通过相互独立，此时概率为， 当甲通过且乙不通过时，甲通过与乙不通过相互独立，此时概率为， 当甲不通过且乙不通过时，甲不通过与乙不通过相互独立，此时概率为， 则甲通过次数不低于乙通过次数为. 【小问2详解】 由题意得甲参加过次游戏，设通过次数为， 由题意得乙参加过次游戏，设通过次数为， 由题意得，， 把乙的次游戏拆分为前次和第次， 设乙前次通过游戏的次数为，第次通过的次数为， 可得，，则，且相互独立， 得到，而， 由全概率公式可得 ， 因为同分布且相互独立，所以， 而， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 吉林省实验中学2025-2026学年度下学期 高二年级学程性考试（三） 数 学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码. 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存. 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知全集，设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 7. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若方程且恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数据点P对应的残差的绝对值为5 C. 该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D. 乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好 10. 已知实数满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 的最小值是 D. 的最小值是1 11. 定义在上的函数满足：，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则的定义域为__________. 13. 已知的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______. 14. 现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最值． 16. 某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元．已知生产的物资能全部售出． （1）写出总利润（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入流动成本固定成本）； （2）当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：） 17. 当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要求较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时）,若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现. （1）求出10个样品中有几个不合格产品； （2）若从10 个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列； （3）若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？ 18. 篮球是吉林省实验中学亮眼的校园名片，篮球队凭借稳定的发挥和顽强的拼搏精神，长期在耐高联赛中保持超强竞争力.篮球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）： 球队输球 球队赢球 总计 甲参加 2 30 32 甲未参加 8 10 18 总计 10 40 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联； （2）从统计的50场比赛中任选一场，表示事件“甲球员参加了该场比赛”，表示事件“球队输球”．与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为． ①证明：； ②利用球员甲数据统计，给出，的估计值，并求出的估计值． 附：． 参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数在点处的切线为． （1）若时，与x轴平行，求a的值； （2）若在处取得极大值，求a的取值范围； （3）过点A的直线与垂直，当，都与x轴相交时，交点的横坐标分别是，．若，求的取值范围． 附加题．（本小题满分10分） 20. 在学校科技节中甲､乙两位同学分别参加闯关游戏，已知两位同学每次闯关通过概率均为，且两人每次闯关的结果相互独立. （1）若甲，乙各参加一次闯关游戏，求甲通过次数不低于乙通过次数的概率； （2）若甲，乙分别参加了次和次游戏，求乙通过次数大于甲通过次数的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $