2.3.3点到直线的距离公式同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦点到直线的距离公式，分层覆盖基础应用到综合创新，通过梯度设计培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|公式直接应用|单选1-3、填空12直接套用公式，强化运算能力| |中档|参数与对称问题|单选6-9、填空15结合点关于直线对称，提升推理意识| |提升|综合应用与实际情境|解答题21、填空17融入将军饮马问题，发展应用意识|

2.3.3 点到直线的距离公式 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 3．已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 4．若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 5．已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 6．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 7．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知直线，则（    ） A．l的倾斜角为 B．l在x轴上的截距为 C．原点到l的距离为 D．l与坐标轴围成的三角形的面积为 11．下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 三、填空题 12．点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 13．以和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为__________. 14．若直线l过点且到点和点的距离相等，则直线l的方程为________. 15．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 16．在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____. 17．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 四、解答题 18．已知点，，，为线段的中点. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 19．已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 20．已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 21．已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.3.3� 点到直线的距离公式� �同步练习� �（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C D B C A A ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2．C 【知识点】已知点到直线距离求参数、求点到直线的距离 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 3．D 【知识点】已知点到直线距离求参数、求点到直线的距离 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 4．C 【知识点】求到两点距离相等的直线方程 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 5．D 【知识点】求到两点距离相等的直线方程 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 6．B 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 7．C 【知识点】求两点的对称轴 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 8．A 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 9．A 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】根据题设得反射光线所在直线的斜率为，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题意，所求反射光线所在直线的斜率为，且与y轴交于点， 所求直线的方程为，即. 故选：A 10．ACD 【知识点】三角形面积公式及其应用、直线截距式方程及辨析、直线的倾斜角、求点到直线的距离 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率和倾斜角，再分别计算它在轴上的截距、原点到直线的距离，以及与坐标轴围成的三角形面积，最后逐一判断选项的正确性. 【详解】选项A：直线可化为，斜率，因为且，所以倾斜角，A正确； 选项B：令，得，所以截距是，B错误； 选项C：原点到直线的距离公式：，C正确； 选项D：直线与轴交点，与轴交点，则，D正确. 故选：ACD 11．ACD 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、点到直线的有向距离 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 12． 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值. 【详解】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：.    13．或 【知识点】已知点到直线距离求参数、直线两点式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】求出，根据的面积为5，算出点P到的距离d．求出的方程，设点，利用点到直线的距离公式解出m的值，即可得到答案． 【详解】∵点，∴， 设点P到的距离为d， ∵的面积为5，∴，得， ∵直线的方程为，即， 设P的坐标为， ∴，解得或， ∴的纵坐标为或． 故答案为：或． 14．或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求到两点距离相等的直线方程 【分析】根据直线的点斜式方程的概念，以及点到直线的距离公式，根据点到直线距离相等，列出方程，求出结果，再讨论斜率不存在时的情况是否符合条件，求出结果即可. 【详解】当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即. 由题意知，即，解得， 所以直线l的方程为，即. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离都为3，也符合题意. 故答案为：或. 15． 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、直线的点斜式方程及辨析 【分析】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 16．/ 【知识点】直线综合、直线围成图形的面积问题 【分析】分直线位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 17． 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离、将军饮马问题求最值 【分析】利用对称思想将折线路程转化为两点间线段长度，求出点关于直线的对称点，再计算该对称点与点的距离即可得到最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点，均有，故总路程. 所以当为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 18．(1) (2) 【知识点】求点到直线的距离、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）先求出点D的坐标，再由两点式方程求解； （2）先求出点到直线的距离，再求出，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）已知点，，， 由为线段的中点，得， 则直线的两点式方程为，化简得， 故直线的方程为：. （2）由（1）知直线的方程为：. 点到直线的距离为：， ， 则的面积为：. 19．(1) (2) (3) 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离 【分析】（1）利用斜率公式求出，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离求出点到直线的距离； （2）两直线垂直，且都存在斜率，则有； （3）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【详解】（1），，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； （2）设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； （3）设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 20．(1) (2) 【知识点】直线过定点问题、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，化简变形，即可得答案. （2）将方程变形为，可得B点坐标，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为. 21．(1) (2)① ；②或 【知识点】已知直线平行求参数、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、已知直线垂直求参数、求直线交点坐标 【详解】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $