精品解析：2022年河南省周口市商水县中考数学仿真模拟试卷

2022年河南省周口市商水县中考数学仿真模拟试卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列等式一定成立的是( ) A. -= B. |1-|=-1 C. =±3 D. -=9 2. 2022年3月25日，我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的“华龙一号”示范工程全面建成投运，每年减少二氧化碳排放约1632万吨．用科学记数法表示1632万是（　　） A. 1.632×103 B. 1.632×107 C. 1.632×104 D. 1.632×108 3. 长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，调查方式选择合理的是（　　） A. 调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式 B. 调查市场上某品牌电脑的使用寿命，采用普查的方式 C. 调查嘉陵江的水质情况，采用抽样调查的方式 D. 要了解全国初中学生的业余爱好，采用普查的方式 6. 如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（　　） A. 20.5° B. 22.5° C. 24° D. 30° 7. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 为绿化、美化环境，某园林部门计划在某地修建一个面积为150平方米的矩形花园，它的长比宽多5米，设长为x米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若，则为　　 A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形的周长为12，，设边的长为x，四边形的面积为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. ______． 12. 函数中，自变量的取值范围是_____． 13. 《易经》是中华民族聪明智慧的结晶．如图是《易经》中的一种卦图，每一卦由三根线组成（线形为“”或“”），如正北方的卦为“”．从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“”和2根“”的概率是______． 14. 直角三角形一条直角边长为8cm，它所对的角为30°，则斜边为_____． 15. 等腰中，顶角，则一个底角______ 度． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1） 复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表： 成绩 人数 1 3 3 8 15 6 根据以上图表信息，完成下列问题： （1） ； （2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； （3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有 人，至多有 人； （4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 18. 如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表． x 0 1 2 3 4 … y 0 4.5 14 28.5 48 … （1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式； （2）一架无人机在AB上空距水平地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方． （参考数据：tan53°≈，sin26≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．） 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）如果⊙O的半径为5，cos∠DAB=，求BF的长． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求m、n的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 21. 某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）直接写出y关于售价x的函数关系式： ； （2）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ （3）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 22. 抛物线：的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B． （1）求点A点B的坐标； （2）设直线，若无论x取何相同值时，都有，求m的范围； （3）将抛物线上的点变为，变换后得到的抛物线记作，抛物线的顶点为C，点P在抛物线上，满足，且． ①当时，求k的值； ②当时，请你直接写出k的值，不必说明理由． 23. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为E．已知AD＝4，BD＝3． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）如图2，延长AD至点F，使AF＝AB，连接BF，G为BF的中点，连接EG，DG．求EG的长． （3）如图3，在（2）问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点Q，连接CQ，H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省周口市商水县中考数学仿真模拟试卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列等式一定成立的是( ) A. -= B. |1-|=-1 C. =±3 D. -=9 【答案】B 【解析】 【详解】A. 3-2=1，故A选项错误；B. ，正确；C. ＝3，故C选项错误；D. －＝-9，故D选项错误， 故选B. 2. 2022年3月25日，我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的“华龙一号”示范工程全面建成投运，每年减少二氧化碳排放约1632万吨．用科学记数法表示1632万是（　　） A. 1.632×103 B. 1.632×107 C. 1.632×104 D. 1.632×108 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1632万=1.632×107． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面和从上面看到的图形，得出该长方体的长为4、宽为3、高为3，最后根据长方体的体积公式即可得出结果． 【详解】解：由从正面和从上面看到的图形可知，该长方体的长为4、宽为3、高为3， 则这个长方体的体积为． 4. 下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，原式不一定成立，不符合题意； B、，原式一定成立，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式不一定成立，不符合题意； D、当时，，，原式不一定成立，不符合题意． 5. 下列调查中，调查方式选择合理的是（　　） A. 调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式 B. 调查市场上某品牌电脑的使用寿命，采用普查的方式 C. 调查嘉陵江的水质情况，采用抽样调查的方式 D. 要了解全国初中学生的业余爱好，采用普查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、调查你所在班级同学的身高，应采用全面调查方式，故方法不合理，故此选项错误； B、调查市场上某品牌电脑的使用寿命，采用普查的方式，方法不合理，故此选项错误； C、查嘉陵江的水质情况，采用抽样调查的方式，方法合理，故此选项正确； D、要了解全国初中学生的业余爱好，采用普查的方式，方法不合理，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 6. 如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（　　） A. 20.5° B. 22.5° C. 24° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据平行四边形的性质得到OA＝BC，推出△OBC是等腰直角三角形，得到∠BOC＝45°，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴OA＝BC， ∵OA＝OB， ∴OB＝BC， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠BOC＝45°， ∴∠BDC＝BOC＝22.5°， 故选：B． 【点睛】本题考直了切线的性质、四边形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键． 7. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将一次函数的图象向右平移2个单位得，再确定其图象经过点（1,0），即可得出解集． 【详解】将一次函数的图象向右平移2个单位得， ∵一次函数的图象过点， ∴一次函数的图象过点（1，0）， 由图象可知，当时，函数， ∴不等式的解集是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，一次函数与一元一次不等式，判断一次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键． 8. 为绿化、美化环境，某园林部门计划在某地修建一个面积为150平方米的矩形花园，它的长比宽多5米，设长为x米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长比宽多5米，长为x米，则宽为x-5米，由面积公式长×宽，即可得出答案 【详解】设长为x米，则宽为米， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的面积公式的实际应用，由长与宽的关系列出方程是关键． 9. 如图，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若，则为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B＝68°，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，FC＝FA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，计算即可． 【详解】解：， ， 、FH分别为AB、AC的垂直平分线， ，， ，， ， ， 故选D． 【点睛】此题主要考查等边对等角，线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，正确理解题意是解题的关键． 10. 如图，平行四边形的周长为12，，设边的长为x，四边形的面积为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像，根据题意求出正确的函数关系式是解题的关键． 过点B作于E，构建直角，通过解该直角三角形求得的长度，然后利用平行四边形的面积公式列出函数关系式，结合函数关系式找到对应的图像． 【详解】解：如图，过点B作于E， ， ∵，设边的长为x， ∴， ∵平行四边形的周长为12， ∴， ∴， ∴该函数图像是一个开口向下的抛物线的一部分，观察选项，C符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. ______． 【答案】0 【解析】 【详解】解：． 12. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 13. 《易经》是中华民族聪明智慧的结晶．如图是《易经》中的一种卦图，每一卦由三根线组成（线形为“”或“”），如正北方的卦为“”．从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“”和2根“”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从图中任选一卦，共有8种等可能的结果，其中这一卦中恰有1根“”和2根“”有3种结果， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握概率公式，是解题的关键． 14. 直角三角形一条直角边长为8cm，它所对的角为30°，则斜边为_____． 【答案】16cm 【解析】 【分析】根据直角三角形中30º角所对的直角边是斜边的一半解答即可． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，∠ A＝30°，BC＝8cm， 则BC＝AC＝8cm， 所以AC＝2BC＝16cm， 故答案是：16cm． 【点睛】本题考查了含30º角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中30º角所对的直角边是斜边的一半是解答的关键． 15. 等腰中，顶角，则一个底角______ 度． 【答案】70 【解析】 【分析】已知等腰的顶角度数，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理即可计算底角的度数． 【详解】解：∵是等腰三角形，是顶角， ∴， ∵三角形内角和为，， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1） 复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表： 成绩 人数 1 3 3 8 15 6 根据以上图表信息，完成下列问题： （1） ； （2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； （3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有 人，至多有 人； （4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 【答案】（1）14；（2）折线图见详解，通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70以下，复学后线下学习的成绩大部分在70以上，说明线下上课的情况比线上好；（3）20，34；（4）320人 【解析】 【分析】（1）根据图1求出本次测评的总人数，用总人数减去第二次测评各成绩段的人数可得出m的值； （2）根据第一次和第二次测试的各分数段人数，可在图2中画出折线图，根据折线图可得出线上教学与线下教学的效果对比； （3）由第二次测试的成绩统计表可判断出分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人； （4）样本估计总体，样本中数学成绩优秀的人数占测试人数的 ，因此估计总体800名的是成绩优秀的人数． 【详解】解：（1）由图1可知总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50人， 所以m=50－1－3－3－8－15－6=14人； （2）如图： 通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70分以下，复学后线下学习的成绩大部分在70分以上，说明线下上课的情况比线上好； （3）由统计表可知，至少14+6=20人，至多15+14+6－1=34人； （4）800×（人） 答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数为320人． 【点睛】本题考查了条形统计图，折线统计图与统计表，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 18. 如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表． x 0 1 2 3 4 … y 0 4.5 14 28.5 48 … （1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式； （2）一架无人机在AB上空距水平地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方． （参考数据：tan53°≈，sin26≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．） 【答案】（1）函数的解析式为y=2.5x2+2x； （2）该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方． 【解析】 【分析】（1）观察表格中的数据，y应该是x的二次函数，利用待定系数法求解即可； （2）作出如图的辅助线，设运动员滑行了ts，恰好在无人机的正下方，则AC=2.5t2+2t， 利用三角函数分别用t表示出PE、AE的长，在Rt△APE中，利用正切函数列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：观察表格中的数据，y应该是x的二次函数，且经过原点(0，0)， 设此函数的解析式为 ， 把(1，4.5)，(2，14)，代入得，解得， ∴函数的解析式为y=2.5x2+2x， 当x=3时，y=2.5x2+2x=28.5， 当x=4时，y=2.5x2+2x=48， ∴函数的解析式y=2.5x2+2x符合题意； 【小问2详解】 解：设运动员滑行了ts，恰好在无人机的正下方， 此时运动员滑行了(2.5t2+2t)m，无人机飞行了6.3tm到达点P1， 过点P1作P1D⊥MN交AB于点C，此时运动员滑行到达点C， BC=AB-AC=500-(2.5t2+2t) ， 过点A作AF⊥MN于点F，过点A作AG⊥P1D于点G，过点P作PE⊥AG于点E， ∴四边形AFDG和四边形PEGP1都是矩形， ∵AB=500，∠ABF=26°， ∴AF=GD= AB•sin26°220(m)，∠GAC=∠ABF=26°， ∵无人机在AB上空距地面292m的P处悬停， ∴PE= P1G=292-AF=72(m)， ∴AG= AC•cos26°2.25t2+1.8t， ∴AE= AG-EG=2.25t2+1.8t-6.3t=2.25t2-4.5t， 在Rt△APE中， ∵tan53°=， ∴3×72=4(2.25t2-4.5t)， 整理得：t2-2t-24=0， 解得：t1=6，t2=-4(舍去)， ∴该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解直角三角形的应用，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）如果⊙O的半径为5，cos∠DAB=，求BF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，AB为⊙O的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF． 【详解】（1）证明：连接OD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD平分BC，即DB=DC， ∵OA=OB， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴EF是⊙O的切线； （2） 在Rt△ADB中，cos∠DAB=，而AB=10， ∴AD=8， 在Rt△ADE中，， ∴AE=， ∵OD∥AE， ∴△FDO∽△FEA， ∴，即， ∴ 【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求m、n的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入，求出m的值，得到反比例函数的解析式，进而将B的坐标代入，求出n的值，即可解答； （2）结合函数图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点也在反比例函数的图象上， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：如图所示，当时，x的取值范围是或， ∴不等式的解集为或． 21. 某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）直接写出y关于售价x的函数关系式： ； （2）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ （3）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 【答案】（1）y＝－2x＋200 （2）60元或者90元 （3）w＝－2x2＋300x－10000，75元 【解析】 【分析】（1）根据一次函数过（55，90）（65，70）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式， （2）根据利润为800元列方程解答即可， （3）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润． 【小问1详解】 解：设y关于售价x的函数关系式为y=kx+b，把（55，90）（65，70）代入得： ， ∴， ∴y与x的之间的函数关系式为y＝－2x＋200， 故答案为：y＝－2x＋200； 【小问2详解】 若某天销售利润为800元， 则（x－50）（－2x＋200）＝800， 解得：x1＝60，x2＝90， 答：该天的售价为60元或者90元；（题意没有其它说明，无需取舍） 【小问3详解】 设总利润为w，根据题意得， w＝（x－50）（－2x＋200）＝－2x2＋300x－10000＝－2（x－75）2＋1250 ∵a＝－2＜0， ∴当x＝75时，w有最大值， 答：当销售单价定为75元时利润最大． 【点睛】本题考查一次函数、一元二次方程，二次函数的应用，求出相应的函数关系式和方程以及自变量的取值范围是解决问题的关键． 22. 抛物线：的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B． （1）求点A点B的坐标； （2）设直线，若无论x取何相同值时，都有，求m的范围； （3）将抛物线上的点变为，变换后得到的抛物线记作，抛物线的顶点为C，点P在抛物线上，满足，且． ①当时，求k的值； ②当时，请你直接写出k的值，不必说明理由． 【答案】（1）， （2）m的范围是 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式即可得到，当时，即，解方程即可得到； （2）由开口向下，顶点坐标为，由无论x取何相同值时，都有，得到直线与抛物线无交点，于是得到，解不等式即可得到结论； （3）①如图1中，当时，与（1）同理可得抛物线的解析式为及顶点C的坐标，根据知，继而可得是边长为2的正三角形，四边形是矩形，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线解析式可求得k的值； ②如图2中，当时，作关于y轴对称的，，同理可得四边形是矩形，先求出抛物线解析式，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线解析式可求得k的值； 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当时，即， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵开口向下，顶点坐标为， ∵无论x取何相同值时，都有， ∴直线与抛物线无交点， 即无实数根， ∴无实数根， ∴， ∴， ∴m的范围是； 【小问3详解】 解：①如图1中，当时， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过原点O，，三点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴O、A、C三点共线，且顶点C为， 如图，∵， ∴， 过点P作轴于D，过点B作于E， ∵、， ∴， ∴是边长为2的正三角形， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：； ②如图2中，当时， ∵抛物线经过原点O，，三点， 由①知抛物线的解析式为， ∴O、A、三点共线，且顶点为， 作关于y轴对称的，， ∵， ∴， 由题意四边形是矩形， ∴，，， 在中，∵，， ∴，， ∴点P坐标， ∴ ∴． 23. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为E．已知AD＝4，BD＝3． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）如图2，延长AD至点F，使AF＝AB，连接BF，G为BF的中点，连接EG，DG．求EG的长． （3）如图3，在（2）问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点Q，连接CQ，H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据三角形角平分线的性质及外角的性质证得∠MAN=∠C，推出AN∥BC，由此推出∠DAE=∠AEB=∠ADB=90°，即可证得结论； （2）连接AG，由勾股定理求出AB的长，进而求出DF、BG的长，然后证明△AGD≌△BEG即可； （3）由题意知H运动的轨迹是△CF的中位线，求出F即可求出H运动的轨迹的长． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC，AD是角平分线， ∴AD⊥BC，∠ABC=∠C， ∵AN为△ABC的外角∠BAM的平分线， ∴∠MAN=∠BAN， ∵∠BAM=∠ABC+∠C， ∴∠MAN=∠C， ∴AN∥BC， ∴∠DAE=∠ADC=∠ADB=90°， ∵BE⊥AN， ∴∠AEB=∠DAE=∠ADB=90°， ∴四边形ADBE是矩形； （2）如图，连接AG， ∵矩形ADBE中，AD=4，BD=3， ∴BE=AD=4，AE=BD=3，∠ADB=∠DBE=∠BDF=90°， ∴， ∴DF=1， ∴ ∵G是BF的中点， ∴DG=BG， ∴∠BDG=∠DBG， ∴∠ADG=∠EBG， ∴△AGD≌△BEG， ∴EG=AG， ∵AG ∴； （3）由题意知点H运动的轨迹是一条线段，当P与E重合时，Q的位置在，当P与B重合时，Q的位置在F，此时H分别在、的位置， ∵BE∥AD， ∴∠BEG=∠DG， ∴△EBG≌△FG， ∴F=BE=4， 由题意知是△CF的中位线， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，矩形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，以及三角形的中位线等知识，证明∠DAE=90°是解（1）的关键，证明△AGD≌△BEG是解（2）的关键，确定H运动的轨迹是△CF的中位线是解（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $