26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax²+bx+c\)的图象和性质，通过复习\(y=a(x-h)²+k\)的图象要点导入，搭建从顶点式到一般式的学习支架，引导学生探究转化方法与图象画法。 其亮点是采用配方法转化一般式为顶点式，结合平移法和描点法画图，培养运算能力与几何直观。用表格梳理性质，体现数学语言的简洁，助力学生系统掌握知识，教师可提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 学习目标 1.能利用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，能识别抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、对称轴、顶点坐标等.(重点) 2.能根据二次函数y=ax2+bx+c的图象理解二次函数y=ax2+bx+c的性质.(难点) 3.在利用二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法. 新课导入 导入课题 问题: 说说画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么？ y O x y=a(x-h)2+k h k -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 开口方向： 对称轴： 顶点： 向下 x=-1 (-1，-1) 抛物线的开口大小由 决定 |a| 怎么画二次函数y=ax2+bx+c的图象? 探究与应用 问题1　你能把二次函数y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式吗? 问题2　类比以上方法将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式. 活动1　能用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式 问题情境 (教材补充例题)把下列函数写成y=a(x-h)2+k的形式,并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点. (1)y=-x2+6x+1;　　　　　　　(2)y=x2-4x+. 理解应用 例 1 解:(1)y=-x2+6x+1=-(x-3)2+10, ∴此函数图象的开口向下,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,10). (2)y=x2-4x+(x-3)2+, ∴此函数图象的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,). 问题　画出二次函数y=x2-6x+21的图象，你有几种画法？ 解：方法一(利用图象的平移)： ∵配方，得y=x2-6x+21=(x-6)2+3， ∴先画出二次函数　 　的图象，然后把这个图象向右平移　　个单位长度，再向上平移　　个单位长度，则得到二次函数y=x2-6x+21的图象，如图1所示. y=x2 6 3 方法二(直接描点画图)： ∵配方，得y=x2-6x+21=(x-6)2+3， ∴二次函数y=x2-6x+21的图象的开口向　　，对称轴为直线x=　　，顶点坐标为　 　.  列表如表. x … 3 4 5   7 8 9 … y=x2-6x+21 … 7.5 5 3.5   3.5 5 7.5 … 描点、连线，则得到二次函数y=x2-6x+21的图象，如图2所示. 上 6 (6，3) 6 3 推进新课 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系 思考 解： 配 方 有哪几种画图方法？ 8 方法一：平移法 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 将y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的步骤 (1)提:提出二次项系数; (2)配:加上再减去一次项系数一半的平方; (3)化成顶点式; (4)整理. 学 方法 活动2　理解二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 操作尝试 如何画出函数y=x2-6x+21的图象?说出你的方法,并在坐标系中画出图象. 解:y=x2-6x+21=(x-6)2+3.列表如下: 描点、连线,得到函数y=(x-6)2+3的图象如图. x …   3 4 5 6 7 8 9 … y=(x-6)2+3 …   7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 知识梳理 1.利用配方法，二次函数y=ax2+bx+c可变形为y=a+，所以二次函数y=ax2+bx+c图象如表. a的符号 a>0 a<0 开口方向 向___ 向___ 顶点坐标 ______________ _______________ 对称轴 ____________ ____________ 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大 上 下 直线x=- 直线x=- 知识梳理 2.在利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，为了能反映函数图象的全貌，取点时要注意三点：①先确定图象的开口方向，对称轴，顶点；②取点时顶点必须取到，然后在顶点两侧按照相同的间隔对称取点； ③取点不能少于5个点. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 方法二：描点法 先利用对称性列表: 开口方向： 对称轴： 顶点： 向上 x=6 (6,3) y=ax2+bx+c 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系? (a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化成y=a(x-h)2+k形式. 问题1　写出二次函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点,以及随着x的增大,y的变化情况,再求出函数的最值. 引发思考 解:二次函数y=x2-6x+21的图象开口向上,对称轴是直线x=6,顶点是(6,3).当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大;当x=6时,y取最小值,最小值是3. 问题2　二次函数y=x2-6x+21的图象是由二次函数y=x2的图象经过怎样的平移得到的? 解:将二次函数y=x2的图象先向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到二次函数y=x2-6x+21的图象(平移方法不唯一). 反思感悟 确定二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标时，一般有两种方法，一是把函数解析式配方为y=a+的形式，进而根据二次函数y=a(x-h)2+k图象得到其顶点坐标；二是把二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的值分别代入-中计算，即可得到其顶点坐标. 跟踪训练1　(1)将抛物线y=x2-6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为 A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2 解析　y=x2-6x+5=(x-3)2-4，即抛物线的顶点坐标为(3，-4)， 把点(3，-4)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标为(4，-2)， 所以平移后得到的抛物线的解析式为y=(x-4)2-2. √ 知识点1 二次函数 与 间的关系 1. 将二次函数化成 的形 式是( ) A A. B. C. D. 2.把二次函数化为 的形式， 那么 ___. 1 20 知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质 根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？ y=ax2+bx+c 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质: 概括新知 二次函数 y=ax2+bx+c a的取值 a>0 a<0 开口方向 向　　　  向　　　  对称轴 直线x=　　　  顶点坐标 （-,） 增减性 当x<-时,y随x的增大而　　;  当x>-时,y随x的增大而　　  当x<-时,y随x的增大而　　　;  当x>-时,y随x的增大而　　　  最值 y最小值=　　　  y最大值=　　　  上 下 - 减小 增大 增大 减小 (教材补充例题)下列关于函数y=-2x2+4x+1的说法正确的是(　　) A.图象是开口向上的抛物线 B.图象的对称轴是直线x=-1 C.A(x1,y1)和B(x2,y2)是图象上的两个点,若x1<x2<-1,则y1<y2 D.图象可由二次函数y=-2x2的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度得到 理解应用 例 2 C 反思感悟 根据二次函数y=ax2+bx+c的性质比较函数值的大小的方法：①确定二次函数图象的开口方向与对称轴，由此得到函数值随x增大的变化情况；②比较x值的大小；③确定函数值的大小关系. 跟踪训练2　已知抛物线y=x2-2x-1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为 A.-2 B.-1 C.0 D.2 √ y=ax2+bx+c 二次函数的顶点式 对称轴为 。 二次函数的一般表达式 因此，抛物线的对称轴是 ，顶点是 。 y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 增减性？ 最小值 最大值 (教材补充例题)求下列二次函数的最大值(或最小值)和对应的自变量的值: (1)y=-x2+2x+3; (2)y=3(x-8)(x+2). 例 3 解:(1)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4. ∵a=-1<0,∴当x=1时,y有最大值4. (2)y=3(x-8)(x+2)=3(x-3)2-75. ∵a=3>0,∴当x=3时,y有最小值-75. 活动3　会用待定系数法求二次函数的解析式 问题情境 我们知道,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数,即可以求出这个一次函数的解析式.那么如何确定二次函数的解析式呢? (1)由几个点的坐标可以确定二次函数?这几个点应满足什么条件? 引发思考 解:(1)由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与y轴平行)的坐标,可以确定二次函数. 课堂小结 $