专题2.8函数与方程讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程专题，涵盖零点概念、存在定理、二分法及二次函数零点关系等核心考点，按“知识梳理-题型突破-真题训练”逻辑架构，通过五个题型分类（区间判断、个数确定、参数求解、零点和计算、二分法应用）及例题与跟踪训练，帮助学生系统构建解题框架。 资料以数学思维培养为核心，如参数问题中通过函数图象与分类讨论分析零点个数，二分法中结合数据精准计算近似值，设置分层练习（跟踪训练+课后作业）。既提升学生用数学语言表达解题过程的能力，又为教师提供清晰复习路径，高效突破高考难点。

专题2.8函数与方程 知识梳理 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 4.二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 常用结论 有关函数零点的三个结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 【题型1 函数零点所在区间的判断】 【例1】函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 跟踪训练 1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 3.（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【题型2 函数零点个数的判断】 【例2】函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 跟踪训练 1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（2025·广东·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·江西萍乡·二模）已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 4．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 【题型3 已知函数零点个数求参数】 【例3】（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______． 5.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若函数有四个零点，那么实数的取值范围是______；记四个零点从左至右为，那么的取值范围为______. 【题型4 已知零点个数求零点和】 【例4】（2024·甘肃·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 跟踪训练 1．（2025·湖南益阳·三模）函数在内的零点之和为（   ） A． B． C． D．0 2.（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数，则函数所有零点之和为（   ） A． B．0 C．2 D．4 3.（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 二分法】 【例5】（2026高三·全国·专题练习）用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得的一个零点的近似值（保留三位有效数字）为______． 跟踪训练 1.（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高三·全国·一轮复习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 课后作业： 1.（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（2025·黑龙江·二模）记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 9.（2026·四川宜宾·一模）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A．8 B． C．12 D． 10.（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 11．（多选 25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选 2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（多选 2026·海南·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（     ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有3个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 14.（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 15.（24-25高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是______． 16.（2023·天津滨海新区·三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______. 17．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围． 18.已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)求g[f(1)]的值； (2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8函数与方程 知识梳理 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 4.二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 常用结论 有关函数零点的三个结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 【题型1 函数零点所在区间的判断】 【例1】函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【解析】　法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内． 法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B． 【答案】　B 跟踪训练 1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】对数函数单调性的应用、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 2．（2026高三·全国·专题练习）若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】比较指数幂的大小、零点存在性定理的应用、由幂函数的单调性比较大小、判断零点所在的区间 【分析】应用指数函数及幂函数图象数形结合函数值得出范围. 【详解】令，， ，． ，， ∴结合图象得． 3.（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】比较指数幂的大小、零点存在性定理的应用、由幂函数的单调性比较大小、判断零点所在的区间 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. ∴由图象关系可得． 4.（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出的值. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，， 故函数的零点所在区间为， 又因为函数零点所在的大致区间为，故. 故选：C. 【题型2 函数零点个数的判断】 【例2】函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】　法一(方程法)：由f(x)＝0，得或 解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点． 法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示， 由图象知函数f(x)共有2个零点． 【答案】　B 跟踪训练 1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 2.（2025·广东·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】令，转化为求，图象交点个数即可. 【详解】令，则， 在同一直角坐标系中分别作出，的图象，如图所示， 观察可知，它们有3个交点，即有3个零点. 故选：D. 3．（2025·江西萍乡·二模）已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据对称性（点对称、轴对称）可得到的周期，进而可得在上的图象，由函数与方程知识可知方程的解的个数即对应的两个函数图象的交点个数. 【详解】方程在区间上解的个数，等价于函数在区间上的图象的交点个数. 因为是定义在上的奇函数， 所以的图象关于原点对称，且. 又的图象关于直线对称，所以，所以， 所以，所以，所以的周期为4. 当时，，所以， 当时，，所以在上单调递减， 根据的对称性、周期性、单调性可知当时，， 在上的图象，如图： 对于，最小正周期为，结合正弦曲线可得在区间上的图象， 由图可知在区间上的图象的交点个数为11（与x轴有4个交点，与曲线有7个交点）， 即方程在区间上解的个数为11. 4．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 解析：选A．在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a<b<c，故选A． 【题型3 已知函数零点个数求参数】 【例3】（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.77 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用导数研究函数的零点 【分析】对分段函数分段考虑各段上的零点情况，将问题转化为在上必须有2个零点的情况，结合数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】①当时，，则，所以在上单调递增， 因为，而， 由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点； ②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为， 要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点， 即需使在上有两个不相等的实数根， 即，解得， 综上可得. 跟踪训练 1.（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用 【分析】根据题意，确定分段函数每一段的单调性，再结合图像求解即可． 【详解】解：在上单调递减，在单调递增， 则的图像如下： 方程只有一个实数解，则的取值范围为． 2.（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 3.（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】方程， 当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根； 当时，方程为，显然是此方程的一个实根， 当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解， 当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得， 所以的取值范围是. 4.已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______． 解析：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1. 【答案】　[－1，＋∞) 5.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若函数有四个零点，那么实数的取值范围是______；记四个零点从左至右为，那么的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.45 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由函数有四个零点得到函数与的图形有四个交点，由图可知，由四个零点从左至右为，得到和，从中计算出的值及，解出，代入，利用对勾函数求解即可得解. 【详解】函数有四个零点， 表示与有四个交点，由图可知， ， ， ，， ，，， 在单调递增， 所以. 故答案为：，. 【题型4 已知零点个数求零点和】 【例4】（2024·甘肃·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、函数与方程的综合应用、直线过定点问题 【分析】利用直线过定点以及函数的中心对称性质计算可得. 【详解】由题意可得直线恒过点，且关于对称． 函数满足，则函数的对称中心为， 所以，， 所以． 故选：C． 跟踪训练 1．（2025·湖南益阳·三模）函数在内的零点之和为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦函数的对称性求参数、二倍角的余弦公式、求零点的和 【分析】由题意有，令，解得或，作出在的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有， 令，有，即， 解得或， 作出在的图像， 则与的交点的横坐标为，， 与的交点横坐标为，， 由图可知，，， 所以， 故选：A. 2.（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数，则函数所有零点之和为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点、求零点的和 【分析】利用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在定理说明零点的存在性，最后证明函数为奇函数，根据奇函数图象的对称性即可得出结论. 【详解】由题意知，， 所以在和上单调递增， 又因为，当时，，所以在上必存在唯一的零点， 因为， 所以为奇函数，则在上必存在唯一的零点， 根据奇函数图象的对称性，可知的所有零点之和为. 故选：B 3.（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.66【详解】因为， 且， 所以的图象关于点中心对称； 又因为， 由，可得， 即函数的定义域为， 且， 易知函数在上单调递增， 又， 所以的图象关于点中心对称； 所以两函数的交点也关于点中心对称； 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数图象共有3个交点，其中一个交点为， 设另外两个交点分别为， 则， 所以. 【题型5 二分法】 【例5】（2026高三·全国·专题练习）用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得的一个零点的近似值（保留三位有效数字）为______． 【答案】1.56 【难度】0.75 【知识点】零点存在性定理的应用 【详解】连续函数满足，， 因此的零点落在区间内， 要求保留三位有效数字，对区间端点四舍五入得，， 两个端点保留三位有效数字的结果一致，因此零点的近似值为. 跟踪训练 1.（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】用二分法求近似解的条件 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 2.（25-26高三·全国·一轮复习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 【详解】由参考数据知， 且，所以方程的一个近似解可取为. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 【答案】 【难度】0.7 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】结合二分法即可得到，解不等式即可求出结果. 【详解】如图，工人师傅首先从中点检测，用随身带的话机向两端测试， 不妨设发现段正常，可见故障在段； 再从线段的中点检测，假设发现段正常，可见故障在段； 再从段的中点检测；， 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m， 则有，即，由于，， 故至多检测次就能找到故障地点所在区域． 课后作业： 1.（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 2.（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】判断指数函数的单调性、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理即可判断. 【详解】由题意，根据幂函数的单调性，可知在内为增函数， 根据指数函数的单调性，可知在内为减函数， 所以函数在内为增函数， 因为，， ，，， 又指数函数为减函数，所以，，， 根据函数的零点存在定理，可得函数的零点在内. 3.（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】零点存在性定理的应用、比较零点的大小关系 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 4.（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据对称性将问题转化为在上有两个不同的零点，进而利用方程的根进行求解. 【详解】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 5.（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 6.（2025·黑龙江·二模）记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、指数式与对数式的互化、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】由零点的概念可知，根据指对互化得，构造函数，则，根据的单调性得，即可得解. 【详解】函数的零点分别为， ， 由，得，即， 显然函数在上单调递增，，即. 故选：B. 7.（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数与方程的综合应用、分段函数的值域或最值 【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围. 【详解】对于，当时，，则； 当时，，故函数的值域为； 设，则的值域为. 因对任意，存在，使得成立,即成立， 故函数的值域是函数值域的子集， 故只需，即，解得. 8.（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、根据对数型函数图象判断参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 9.（2026·四川宜宾·一模）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A．8 B． C．12 D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】判断出函数与的对称中心，根据两函数图象交点的对称性计算即可. 【详解】由可得，，所以函数关于点对称. 函数的定义域为. 因为， 所以函数关于点对称. 因此函数与函数的图象的交点也关于点对称. 若是两函数图象的交点，则一定是两函数图象的交点， 那么，. 所以. 10.（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.51 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数的图象交点问题. 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 又，得函数的图象关于直线对称， 从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象， 又方程的根即与的交点横坐标，如图 两函数的图象共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17. 11．（多选 25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用 【详解】因为函数和函数均为减函数， 所以函数为减函数，若实数是函数的一个零点，则， 由题设＜0知，或， 根据零点存在定理有：或 12．（多选 2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.45 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结合对数运算即可判断各选项. 【详解】当时，令，得； 当时，令，解得或； 画出函数的大致图象如图所示. 若方程有四个不同的零点，，，，且， 则由图象可知，故A错误． 由图象可知，且， 所以，故，故B正确. 因为，所以，又， 由，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减， 则， 所以，故C错误． 由的两根为，，且， 则， 又因为，所以，故D正确. 13．（多选 2026·海南·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（     ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有3个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 【答案】BCD 【难度】0.38 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的值域或最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定条件，求出函数，分段求出值域判断A；确定单调性判断B；求出方程的解判断C；转化为一元二次方程，并利用其根的分布列式求解判断D. 【详解】依题意，当时，； 当时，，则； 当时，，则， 对于A，当时，；当时，；当时， ，函数的值域为，A错误； 对于B，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，由选项A及，得或，解得 或，方程有3个不同的解，C正确； 对于D，观察图象，令，方程有10个不同的解， 等价于方程在内各有一个实数根， 因此，解得，D正确. 14.（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】函数与方程的综合应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 15.（24-25高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】当时，由得，故在上有两个零点，转化为在上有两个零点，利用二次函数零点的分布可得参数范围. 【详解】当时，令，得，可知函数在上有一个零点， 则在上有两个零点，故当时，方程有两个不同的根， 故在上有两个不同的根， 即函数在上有两个零点， 当，则， 结合函数的图象可得，解得． 故答案为： 16.（2023·天津滨海新区·三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】函数有三个零点可转化为两个二次方程解的情况，再分类讨论并结合二次函数性质列方程，解方程. 【详解】依题意，， 当时，由，得，即， 当时，由，得， 而两个方程分别至多有个解，又函数有个零点，则两个方程共有个解， ①当时，方程有两个解， 则，，解得； 此时当时，方程有且只能有一个解， 则方程在上只有一解，即，解得， 或方程有两解，并满足， 则，解得，因此； ②当时，方程方程有一个解，显然， 则方程在上只有一解，即，解得， 或方程有两解，则，解得； 此时当时，方程有两个解，并满足， 即，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 17．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围． 解：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2. (2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⇒解得1<m<.所以m的取值范围为. 18.已知函数f(x)＝－x2－2x， g(x)＝ (1)求g[f(1)]的值； (2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解， 则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $