2027届高考数学一轮复习讲义----第10讲 函数与方程的综合应用

该高中数学讲义聚焦函数与方程综合应用，覆盖二次函数及其他函数的零点分布求值（范围）、复合函数零点判定与参数求解等高考核心考点，按“核心题型—命题点—例题—跟踪训练”逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如二次函数零点分布结合图像分析参数范围，复合函数零点通过换元转化为方程根问题，发展学生逻辑推理与模型意识。设置分层练习（跟踪训练巩固基础、课时精练提升能力），配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2027年高考一轮复习讲义 第10讲 函数与方程的综合应用 探究核心题型 由零点分布求值(范围) 命题点1　二次函数的零点分布 例1-1 (多选)已知函数f(x)=x2+(m-3)x+m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 B.当x1<1且x2>1时，m<1 C.当-2<x1<0且0<x2<4时，m<- D.当x1<2且x2>4时，m<- 命题点2　其他函数的零点分布 例1-2 (2025·成都模拟)函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 跟踪训练 1 (2025·扬州模拟)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A．(－5，－4]∪[4，＋∞) B．(－5，－4] C．(－5，＋∞) D．[－4，－2)∪[4，＋∞) 2. 已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是(　　) A．[3.5,4) B．(3.5,4] C．(5,5.5] D．[5,5.5) 3. 设方程x2-2ax-a=0的两实根满足x1<x2<1，则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(0，1) C.(-∞，-1)∪ D. 4. (2026·宣城期末) 设a为实数，若方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－1,0) C. D.∪(1，＋∞) 考点二 复合函数的零点 命题点1　复合函数的零点个数判定 例2-1. 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 例2-2. (2026·广州模拟)函数f(x)=则函数y=f(f(x))的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 命题点2　根据复合函数零点求参数 例2-3. 已知函数f(x)=若函数g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m有5个不同的零点，则实数m的值可能是(　　) A.-5 B.-6 C.-7 D.-8 跟踪训练 1. 已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f(x)=x2，则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是(　　) A.9 B.10 C.11 D.18 2. (2024·驻马店模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1有6个零点，则a的取值范围是(　　) A．(2,4] B．(2，＋∞) C. D. 3. 已知函数f(x)＝且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为______． 课时对点精练 一、单项选择题 1．若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a的取值范围是(　　) A．(0,3) B．[0,3] C．(－3,0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 2．(2025·毕节模拟)已知函数f(x)=则函数y=[f(x)]2-5f(x)+6的零点个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 3．已知函数f(x)=x|2x-a|.若存在实数m，使得f(x)=m在区间[1，2]上有两个不等实数根，则实数a的取值范围为(　　) A.(2，4) B.(4，8) C.(2，8) D.(2，4)∪(4，8) 4．若方程x2-3ax+2a2=0的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，5) D. 5．(2025·咸阳模拟) 若关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，－8] C．(－∞，－8]∪[0，＋∞) D．(－∞，－8)∪(0，＋∞) 6．已知方程2x2-4mx-3=0的两根为α，β，且α∈(1，2)，β∈(-1，0)，则实数m的取值范围是(　　) A. B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D. 7. (2023·南京师大附中模拟)设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝若函数F(x)＝2[f(x)]2－mf(x)有7个零点，则m的取值范围是(　　) A．(－2,0)∪(0,16) B．(0,16) C．(0,2) D．(－2,0)∪(0，＋∞) 8．若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是(　　) A. B．(－∞，0] C. D. 二、多项选择题 9．(2026·邵阳模拟) 关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正实根，则实数a的值可以是(　　) A.0 B.-1 C.1 D.-2 10．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m>－ C．当m>0时，2<x1<x2<3 D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3 11. 若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下列式子中可以为g(f(x))的是(　　) A．x2＋2x B．x＋1 C．ecos x D．ln(|x|＋1) 三、填空题 12．(2026·乌鲁木齐三模)已知函数f(x)=4x-a·2x+3(a∈R)在区间(0，2)上有两个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　.  13．已知函数f(x)=则方程f(f(x))=的解有　　　　个.  14. (2025·永州模拟)对于函数y＝f(x)，若存在非零常数x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝则曲线f(x)的“优美点”个数为________． 15. (2025·汕头模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，则实数a的值可能是(　　) A.-3 B.- C.-2 D.- 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第10讲 函数与方程的综合应用 探究核心题型 由零点分布求值(范围) 命题点1　二次函数的零点分布 例1-1 (多选)已知函数f(x)=x2+(m-3)x+m的两个零点分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 B.当x1<1且x2>1时，m<1 C.当-2<x1<0且0<x2<4时，m<- D.当x1<2且x2>4时，m<- 答案　ABD 解析　对于A，由题意得解得0<m<1，A正确； 对于B，f(1)=2m-2<0，解得m<1，B正确； 对于C，解得-<m<0，C错误； 对于D，解得m<-，D正确. 命题点2　其他函数的零点分布 例1-2 (2025·成都模拟)函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 答案　D 解析　函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的零点即为|2x-3|=8sin πx的解， 即为g(x)=|2x-3|与h(x)=8sin πx图象交点的横坐标， 因为h=-8，故直线x=为h(x)=8sin πx图象的对称轴， 而直线x=也是g(x)=|2x-3|图象的对称轴， 又h(x)=8sin πx的最小正周期为=2， 在同一平面直角坐标系中画出g(x)，h(x)的图象(如图所示)， 因为h=8>2=g，h=8>6=g，h=8<10=g， 故g(x)=|2x-3|与h(x)=8sin πx的图象在直线x=的右侧有且仅有4个不同的交点， 故g(x)=|2x-3|与h(x)=8sin πx图象所有不同交点的横坐标之和为4×3=12， 即函数f(x)的所有零点之和为12. 跟踪训练 1 (2025·扬州模拟)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A．(－5，－4]∪[4，＋∞) B．(－5，－4] C．(－5，＋∞) D．[－4，－2)∪[4，＋∞) 答案　B 解析　方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧， 根据图象得，方程的判别式Δ≥0； f(2)>0； 函数图象的对称轴－>2. 即解得－5<m≤－4. 2. 已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是(　　) A．[3.5,4) B．(3.5,4] C．(5,5.5] D．[5,5.5) 答案　A 解析　由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数， 当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x， 因此f ＝－log2＝1，f(1)＝0， 所以f(0)＝0，f ＝－1，f(－1)＝0， 且g(x)＝sin πx的周期为T＝＝2， 且g(－1)＝0，g＝－1，g(0)＝0，g＝1，g(1)＝0， 求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数， 即求f(x)与g(x)图象的交点个数， 如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象， 因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数， 因此交点也呈周期出现， 若在区间[－1，m]上有10个零点，则第10个零点坐标为(3.5，－1)，第11个零点坐标为(4,0)，因此3.5≤m<4. 3. 设方程x2-2ax-a=0的两实根满足x1<x2<1，则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪(0，1) C.(-∞，-1)∪ D. 答案　C 解析　设f(x)=x2-2ax-a，则其图象的对称轴方程为x=a， 由x1<x2<1可得 解得a<-1或0<a<. 4. (2026·宣城期末) 设a为实数，若方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－1,0) C. D.∪(1，＋∞) 答案　C 解析　令g(x)＝x2－2ax＋a， 由方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解可得 即或 解得－<a<0. 考点二 复合函数的零点 命题点1　复合函数的零点个数判定 例2-1. 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　令t＝f(x)，g(x)＝0， 则f(t)－2t＋1＝0， 即f(t)＝2t－1， 分别作出函数y＝f(t)和直线y＝2t－1的图象，如图所示， 由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2， 则t1＝0,1<t2<2， 对于t＝f(x)，分别作出函数y＝f(x)和直线y＝t2的图象，如图所示， 由图象可得， 当f(x)＝t1＝0时，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)＝0有两个不相等的根， 当t2＝f(x)时，函数y＝f(x)和直线y＝t2有三个交点，即方程t2＝f(x)有三个不相等的根， 综上可得g(x)＝0的实根个数为5， 即函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是5. 例2-2. (2026·广州模拟)函数f(x)=则函数y=f(f(x))的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　C 解析　设f(x)=t，则f(t)=0， 当t≤0时，t2+t-2=0，解得t=-2或t=1(舍去)，则t=-2； 当t>0时，-1+ln t=0，解得t=e. 画出函数y=f(x)，y=-2，y=e的大致图象，如图所示， 由图象可知，y=f(x)与y=-2有3个交点，y=f(x)与y=e有2个交点， 所以函数y=f(f(x))的零点个数为5. 命题点2　根据复合函数零点求参数 例2-3. 已知函数f(x)=若函数g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m有5个不同的零点，则实数m的值可能是(　　) A.-5 B.-6 C.-7 D.-8 答案　CD 解析　令g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m=0， 即[f(x)-1][3f(x)-m]=0， 解得f(x)=1或f(x)=， 如图，画出函数f(x)的图象， 当f(x)=1时，直线y=1与y=f(x)的图象有4个交点， 所以直线y=与y=f(x)的图象只能有1个交点，则<-2，得m<-6， 结合选项可知，m的值可能是-7或-8. 跟踪训练 1. 已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f(x)=x2，则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是(　　) A.9 B.10 C.11 D.18 答案　B 解析　由题意，分别画出函数y=f(x)和y=|lg x|的图象，如图所示， 显然f(x)的值域为[0，1]，易知lg 9<1，lg 10=1，lg 11>1，且当x>11时，两函数图象无交点， 由图可知，y=f(x)与y=|lg x|的图象共有10个交点，故原函数有10个零点. 2. (2024·驻马店模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1有6个零点，则a的取值范围是(　　) A．(2,4] B．(2，＋∞) C. D. 答案　C 解析　设t＝f(x)，则由g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1，可设y＝h(t)＝t2－at＋1， 画出f(x)的图象，如图， 由图可知，当t<－1时，t＝f(x)有且仅有一个解； 当t＝－1或t>2时，t＝f(x)有两个不同的解； 当－1<t≤2时，t＝f(x)有三个不同的解，令h(t)＝0，即t2－at＋1＝0，因为函数g(x)有6个零点， 故需t2－at＋1＝0在(－1,2]内有两个不同的根， 所以 解得2<a≤， 即a的取值范围是. 3. 已知函数f(x)＝且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为______． 答案　(0,1] 解析　由题意，f(x)的图象如图所示， 因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个实数解， 设f(x)＝t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不相等的实根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2. 当1≤t1<2，t2＝2时，m＝1，满足题意；当0<t1<1≤t2<2时，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0,1)． 综上，m∈(0,1]． 课时对点精练 一、单项选择题 1．若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a的取值范围是(　　) A．(0,3) B．[0,3] C．(－3,0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案　A 解析　令f(x)＝－x2＋ax＋4， 则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1， 由二次函数的图象可知， 即 解得0<a<3. 2．(2025·毕节模拟)已知函数f(x)=则函数y=[f(x)]2-5f(x)+6的零点个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　C 解析　由题意，令[f(x)]2-5f(x)+6=0， 解得f(x)=2或f(x)=3，作出y=f(x)的大致图象， 如图，由图可知，直线y=2与y=f(x)的图象有3个交点，直线y=3与y=f(x)的图象有4个交点，所以原方程有7个解， 即函数y=[f(x)]2-5f(x)+6有7个零点. 3．已知函数f(x)=x|2x-a|.若存在实数m，使得f(x)=m在区间[1，2]上有两个不等实数根，则实数a的取值范围为(　　) A.(2，4) B.(4，8) C.(2，8) D.(2，4)∪(4，8) 答案　D 解析　函数f(x)=x|2x-a|= 二次函数y=2x2-ax与y=-2x2+ax图象的对称轴均为直线x=， 当a≤0时，函数f(x)=2x2-ax在[1，2]上单调递增，此时不满足题意，则a>0， 作出函数f(x)的图象，如图， 由图可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因为存在实数m，使得f(x)=m在区间[1，2]上有两个不等实数根， 所以函数f(x)在区间[1，2]上不单调， 所以∈(1，2)或∈(1，2)， 故实数a的取值范围为(2，4)∪(4，8). 4．若方程x2-3ax+2a2=0的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，5) D. 答案　D 解析　令f(x)=x2-3ax+2a2，∵方程x2-3ax+2a2=0的一个根小于1，另一个根大于1， ∴f(1)=12-3a+2a2<0，解得<a<1， ∴实数a的取值范围是. 5．(2025·咸阳模拟) 若关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，－8] C．(－∞，－8]∪[0，＋∞) D．(－∞，－8)∪(0，＋∞) 答案　B 解析　令t＝3x>0，则9x＝t2， 由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0. 则问题转化为关于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0时有实数根． 由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋， 由基本不等式得－(a＋4)＝t＋≥2＝4， 当且仅当t＝2时，等号成立， 所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8. 因此，实数a的取值范围是(－∞，－8]． 6．已知方程2x2-4mx-3=0的两根为α，β，且α∈(1，2)，β∈(-1，0)，则实数m的取值范围是(　　) A. B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D. 答案　D 解析　令f(x)=2x2-4mx-3， 由题意f(0)=-3<0， 则得解得<m<， 故实数m的取值范围是. 7. (2023·南京师大附中模拟)设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝若函数F(x)＝2[f(x)]2－mf(x)有7个零点，则m的取值范围是(　　) A．(－2,0)∪(0,16) B．(0,16) C．(0,2) D．(－2,0)∪(0，＋∞) 答案　C 解析　f(x)的图象如图所示， 由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0， 当f(x)＝0时，f(x)有3个零点，当2f(x)－m＝0时，f(x)＝， 即y＝f(x)与y＝有4个交点， 所以0<<1，解得0<m<2. 8．若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是(　　) A. B．(－∞，0] C. D. 答案　A 解析　令t＝2x(t>0)，则t是增函数，令y＝t＋， 由对勾函数的性质知y＝t＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1时，ymin＝2，此时x＝0， 因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0， f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；当m≠0时，Δ＝1－4m≥0，m≤且m≠0. 综上，m≤. 二、多项选择题 9．(2026·邵阳模拟) 关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正实根，则实数a的值可以是(　　) A.0 B.-1 C.1 D.-2 答案　ABC 解析　当a=0时，方程为2x-1=0，解得x=，方程有一个正实根； 当a≠0时，方程ax2+2x-1=0的根不为0. ①当方程ax2+2x-1=0有一个正实根和一个负实根时，解得a>0. ②当方程ax2+2x-1=0有两个正实根时，解得-1≤a<0. 综上，a的取值范围为[-1，+∞)， 结合选项可知，实数a的值可以是-1，0，1. 10．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m>－ C．当m>0时，2<x1<x2<3 D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3 答案　ABD 解析　对于A，易知当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0的根为x1＝2，x2＝3，故A正确； 对于B，设y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝2－≥－，因为y＝(x－2)(x－3)的图象与直线y＝m有两个交点，所以m>－，故B正确； 对于C，当m>0时，y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位长度得到，则x1<2<3<x2，故C错误； 对于D，由(x－2)(x－3)＝m展开得x2－5x＋6－m＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，代入y＝(x－x1)(x－x2)＋m可得y＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋m＝x2－5x＋6－m＋m＝x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3，故D正确． 11. 若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下列式子中可以为g(f(x))的是(　　) A．x2＋2x B．x＋1 C．ecos x D．ln(|x|＋1) 答案　ACD 解析　由方程f(g(x))＝x有实数解可得g(f(g(x)))＝g(x)， 再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有实数解． 对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有实数解，故A正确； 对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无实数解，故B错误； 对于C，当ecos x＝x时，令h(x)＝ecos x－x， 因为h(0)＝e>0，h＝1－<0， 由函数零点存在定理可知，h(x)在上存在零点，所以方程有实数解，故C正确； 对于D，当ln(|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解， 所以方程有实数解，故D正确． 三、填空题 12．(2026·乌鲁木齐三模)已知函数f(x)=4x-a·2x+3(a∈R)在区间(0，2)上有两个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　.  答案　(2，4) 解析　令t=2x，因为x∈(0，2)，所以t∈(1，4)， 则方程t2-at+3=0在(1，4)内有2个根， 即a=t+在(1，4)内有2个解， 即直线y=a与函数g(t)=t+的图象在(1，4)内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，g(t)=t+在(1，)上单调递减，在(，4)上单调递增， 又因为g(1)=4，g()=2，g(4)=， 所以2<a<4， 故实数a的取值范围为(2，4). 13．已知函数f(x)=则方程f(f(x))=的解有　　　　个.  答案　4 解析　函数f(x)的图象如图所示. 设t=f(x)，则方程f(f(x))=即f(t)=，由图象可知，y=与y=f(x)的图象有3个交点， 横坐标分别为t1，t2，t3(t1<t2<t3)，其中t1<0，0<t2<1，1<t3<2， 方程f(f(x))=的解的个数转化为方程f(x)=t1，f(x)=t2，f(x)=t3的解的个数之和， 由图象可知，y=t1与y=f(x)的图象有1个交点，y=t2与y=f(x)的图象有3个交点， y=t3与y=f(x)的图象没有交点， 所以方程f(f(x))=的解的个数为1+3=4. 14. (2025·永州模拟)对于函数y＝f(x)，若存在非零常数x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝则曲线f(x)的“优美点”个数为________． 答案　4 解析　若x≤0，f(x)＝－x2－2x，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x2－2x(x≥0)， 在同一直角坐标系中画出g(x)＝x2－2x(x≥0)和f(x)＝x－(x>0)的图象，此时有两个“优美点”(x0，f(x0))，满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图①. 若x>0，f(x)＝x－，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x－(x<0)，在同一直角坐标系中画出g(x)＝x－(x<0)和f(x)＝－x2－2x(x≤0)的图象，此时有两个“优美点”(x0，f(x0))，满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图②. 综上可知，满足题意的“优美点”有4个． 15. (2025·汕头模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，则实数a的值可能是(　　) A.-3 B.- C.-2 D.- 答案　BD 解析　由题可画出函数f(x)的大致图象如图所示， ∵关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根， 设t=f(x)，则t≥，结合函数图象， 可知方程t2+at+b=0必有两个根t1，t2， 且t1=1，t2∈，∴t1+t2=-a∈， 则-2<a<-， 即实数a的取值范围是. 结合选项可知，B，D正确. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $