七升八暑假七月份自学检测试题卷（范围：第十三章 三角形）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 2026年七升八暑假数学自学检测（三角形），通过生活情境（窗钩固定、板凳榫卯）与跨学科问题（物理反射、电脑支架），分层考查三角形性质与应用，培养几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|三边关系、高的作法、等腰三角形|结合直尺三角板放置等操作情境| |填空题|6|内角和、外角性质、稳定性|引入“优美比”“形似线”等创新概念| |解答题|8|中线面积、内角和证明、准互余三角形|龟兔赛跑路线优化等综合应用问题|

2026年七升八暑假七月份数学自学检测试题卷 （第十三章 三角形） 一、选择题 1．若三角形的两条边长分别为2和7，则第三边的边长可以是（      ） A．3 B．5 C．8 D．9 2．中边上高的作法正确的是（      ） A． B． C． D． 3．将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（      ） A． B． C． D．或 5．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（      ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 7．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 8．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 10．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．如图1，的值为______；如图2，的值为______；如图3，的值为______． 12．如图，的三条边是三块平面镜，由物理知识可知：入射光线经平面镜反射成光线，满足，若，，，则的度数为____________． 13．如图，王明同学画了两个不同形状的三角形，并将有关数据在图中进行了标注，两个三角形的面积分别记为和，则__________．（填“>”“=”或“<”） 14．李爷爷是远近闻名的木匠，他善于运用榫卯结构制作各种家具，如图是李爷爷用榫卯结构制作的板凳，为了使板凳更加稳固，李爷爷在板凳的两条支腿中间固定上一根木条，这样做其中蕴含的数学原理是______． 15．如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则______度． 16．如图，已知分别是射线、线段上的点，且；分别是射线、线段上的点，且；分别是射线线段上的点，且以此类推，则的度数为___________°． 三、解答题 17．如图，分别平分和，若度，求的度数． 解：∵． ∴___________． ∵分别平分和， ∴______  ______． ∴________________． ∴（_________）_______． 18．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 19．电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题，如图①是从侧面看一台笔记本电脑放在电脑支架上的平面图，如图②是图①的简易示意图，若笔记本电脑的屏幕垂直于支架底座的位置． (1)与的数量关系是 ，并写出证明过程； (2)若图②中的撑杆于点E，试探索与的数量关系？并说明理由． 20．如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 21．如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 22．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．例如：在中，，，，则为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数； (2)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 23．如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B． (1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由． 以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整； 解：乌龟的路线更短，理由如下： 如图②，延长交于点P． 在中，， … (2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由． 24．综合与实践 在数学社团活动中，小晋将一副含角的直角三角板（） 与两行平行的横格线（直线）结合，探究角度之间的关系． (1)如图1，当三角板的直角顶点C落在线段上，且斜边与直线平行时，求的度数． (2)如图2，在（1）的条件下将三角板绕点C顺时针旋转，使两直角边分别与直线交于点D，E．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，小晋作的平分线，作的平分线．若交于点H，则是否发生变化，若不变求出度数；若变化，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026年七升八暑假七月份数学自学检测试题卷 （第十三章 三角形） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B D C D B B C 1．C 【分析】根据三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配符合范围的选项即可，三角形三边关系为三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边． 【详解】设第三边的长为c， ∵三角形已知两条边长分别为2和7， ∴，即， 选项中只有C选项的8满足该范围，因此选C． 2．D 【分析】根据三角形的高线的定义即可解答． 【详解】解：A选项中，作的是边上的高，不符合题意； B选项中，没有经过顶点，不符合题意； C选项中，不垂直，不符合题意； D选项中，过点且垂直，符合题意． 3．C 【分析】由题意可确定，，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 4．B 【分析】分两种情况：①当腰长为时，②当底边长为时，再结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：①当腰长为时，则底边长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，舍去； ②当底边长为时，则腰长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 综上，该等腰三角形的腰长为． 5．D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 6．C 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 7．D 【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 8．B 【分析】记与相交于点M，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，记与相交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴． 9．B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键．先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 故选：B． 10．C 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 11． 54 40 60 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形外角的性质． 图1根据三角形内角和，图2、3根据三角形外角的性质列方程求解即可． 【详解】解：图1：由图可知，解得； 图2：由图可知，解得； 图3：由图可知，解得； 故答案为：，，． 12． 【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由，得，则，根据三角形内角和性质，得，再结合，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】根据题意先分别作的高，交于点，作的高，根据，得出，再根据已知条件得出，最后根据三角形的面积公式得出和，即可求解． 【详解】解：作的高，交于点，作的高，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：． 14．三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性；解题的关键是熟练掌握三角形稳定性的性质，从而完成求解． 【详解】解：为了使板凳更加稳固，李爷爷在板凳的两条支腿中间固定上一根木条，这样做其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 15． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由直线是的倍形似线，所以，从而可得，又，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线是的倍形似线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．10 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，即可求解 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ，． 故答案为10． 17．见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，能熟记三角形的内角和定理是解此题的关键． 根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； 【详解】解：∵． ∴． ∵分别平分和， ∴，． ． ∴． 18．(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 19．(1)，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形外角的性质，垂直的定义，掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）延长交于点G，由得到，根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，即可得到． 【详解】（1）解：，证明如下： 延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 20．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和” 是解答本题的关键． （1）利用三角形外角的性质求出的度数，再结合三角形内角和定理计算的度数； （2）连续两次运用三角形外角的性质，进行等量代换，即可完成证明． 【详解】（1）解：，， ， ，且， ． （2）证明：，且， ． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 22．(1) (2)详情见解析 【分析】（1）由“准互余三角形”的定义得出运算求解即可； （2）由角平分线的定义得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是“准互余角”， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”． 23．(1)见解析 (2)选路线②，理由见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点M，延长交于点N．分别在，，中，根据三角形的三边关系得出，，，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：补全过程如下： 在中，， ， ， ∴乌龟的路线更短． （2）选路线②．理由如下： 如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ∴路线②的路程比路线③短， ∴乌龟可选路线②． 24．(1) (2)，理由见解析 (3)不变， 【分析】（1）根据“两直线平行内错角相等”可得答案； （2）根据三角形内角和定理得出答案； （3）先根据三角形的外角的性质得和，再根据角平分线的定义得，进而得出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，， ∴， ； （2）解：猜想，理由如下： ，， ； （3）解：不变， ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $