8.2数学建模的主要步骤课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件以数学建模的一般步骤为核心，通过“卫生纸合算判断”的生活情境导入，衔接基础知识梳理与典型例题精研，构建从实际问题提出到模型建立、求解、检验的完整学习支架。 其亮点在于结合分蛋糕、搭砖块等实例，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过零点定理推理、重心公式建模发展数学思维，以模型建构过程强化数学语言表达。采用问题驱动教学，帮助学生提升建模能力，为教师提供系统教学资源。

§2　数学建模的主要步骤 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 知识点　数学建模的一般步骤 目录 数学·必修第一册（BSD） 超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸 卷，如图.两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一 样，若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺 子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？ 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：合算就是纸的量多.因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较 两种纸卷截面的面积，取较大的就合算.为此可以各取一个纸卷，令 无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯（即小圆）上，如图，然 后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在 有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸 卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算. 目录 数学·必修第一册（BSD） 即：设有芯纸卷截面的内、外半径分为 r ， R ，大圆内与小圆相切的 弦长为 d ，无芯纸卷截面的直径为 D ，于是， ＝ R2－ r2，当 D ＝ d 时， S有芯＝π（ R2－ r2）＝π ＝π ＝ S无芯.当 D ＞ d 时， S有芯 ＝π（ R2－ r2）＝π ＜π ＝ S无芯.当 D ＜ d 时， S有芯＝π（ R2－ r2）＝π ＞π ＝ S无芯. 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 分蛋糕问题 【例1】　问题提出　妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状 任意的蛋糕（如图所示），哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对 哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其 中的一块送给你.如图①所示. 目录 数学·必修第一册（BSD） 模型假设　（1）假设蛋糕是平放在桌上的，即蛋糕表面与水平面是 平行的； （2）假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形. 目录 数学·必修第一册（BSD） 模型建立　已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什 么形状）. P 是曲线所围成的图形上一点.（如图②） 求证：存在一条过 P 的直线 L ，将这个图形的面积二等分. 模型求解　过 P 点任作一直线 L ， L 将曲线所围图形分为两部 分，其面积分别记为 S1， S2.如果 S1＝ S2，则 L 即是所要找的直 线.现在，我们考虑 S1≠ S2的情形： 目录 数学·必修第一册（BSD） 不失一般性，设 S1＞ S2，首先，建立如图③的坐标轴： x 轴.设 直线 L 与 x 轴的初始交角为α0. 以点 P 为旋转中心，将直线 L 按逆时针方向旋转，则面积 S1， S2 就连续地依赖于角α的变化.即 S1＝ S1（α）， S2＝ S2（α）都 是关于α的连续函数. 目录 数学·必修第一册（BSD） 令 f （α）＝ S1（α）－ S2（α），则函数 f （α）是闭区间 [α0，α0＋π]上的连续函数，并且 f （α0）＝ S1（α0）－ S2 （α0）＞0. f （α0＋π）＝ S1（α0＋π）－ S2（α0＋π）＝ S2（α0）－ S1 （α0）＜0. 根据零点定理，存在一点 c ∈（α0，α0＋π），使得 f （ c ）＝ S1（ c ）－ S2（ c ）＝0. 即存在一点 c ∈（α0，α0＋π）使得 S1（ c ）＝ S2（ c ）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 模型结论　通过上述几何问题的证明，我们得知：对于蛋糕上 的任意一个指定点，一定存在过这个指定点的一条直线 L ，使得 沿 L 切这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块. 模型评价　本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性.但 是，怎样将一个蛋糕具体二等分，这个问题并没有解决. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 搭砖块问题 【例2】　问题　将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可 能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离？ 模型准备　这个问题涉及重心的概念，关于重心的结果有：设 xOy 平 面上有 n 个质点，它们的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2），…， （ xn ， yn ），对应的质量分别为 m1， m2，…， mn ，则该质点系的重 心坐标（ ， ）满足的关系式为 ＝ ， ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 模型假设　（1）所有砖块的长度和重量均为一个单位； （2）参与叠放的砖块有足够多； （3）每块砖块的密度都是均匀的，密度系数相同； （4）最底层的砖块可以完全水平且平稳地放在地面上. 目录 数学·必修第一册（BSD） 模型构成　（1）考虑两块砖块的叠放情况： 对只有两块砖块的叠放，注意到此时叠放后的砖块平衡主要取 决于上面的砖块，而下面的砖块只起到支撑作用，假设在叠放 平衡的前提下，上面砖块超过下面砖块右端的最大前伸距离 x ， 选择下面砖块的最右端为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 目录 数学·必修第一册（BSD） 因为砖块是均匀的，所以它的重心在其中心位置，且其质量可 以认为是集中在重心的，于是每个砖块可以认为是质量为1且其 坐标在重心位置的质点，因为下面的砖块总是稳定的，要想上 面的砖块与下面的砖块离开最大的位移且不掉下来，则上面的 砖块重心应该恰好在底下砖块最右端位置，因此可以得到上面 砖块在位移最大且不掉下来的重心水平坐标为 x ＝ （因为砖块 的长度是1），于是上面的砖块可以向右前伸的最大距离为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）考虑 n ＋1块砖块的叠放情况： 两块砖块的情况解决了，如果再加一块砖块，叠放情况如何 呢？如果增加的砖块放在原来两块砖块的上边，那么此砖块是 不能再向右前伸了（为什么），除非再移动底下的砖块，但这 样会使问题复杂化，因为这里讨论的是建模问题，不是搭砖块 的问题，为了便于问题的讨论，把前两块搭好的砖块看做一个 整体且不移动它们的相对位置，而把增加的砖块插入在最底下 的砖块下方，于是问题又归结为两块砖块的叠放问题，不过这 次是质量不同的两块砖块的叠放问题，这个处理可以推广到 n ＋ 1块砖块的问题，即假设已经叠放好 n （ n ＞1）块砖块后，再加 一块砖块的叠放问题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 下面就 n ＋1（ n ＞1）块砖块的叠放问题来讨论，假设增加的一 块砖块插入最底层，选择底层砖块的最右端为坐标原点建立如 图坐标系，考虑上面的 n 块砖块的重心关系，把上面的 n 块砖块 分成两部分；从最高层开始的前 n －1块砖块，记它们的水平重 心为 x1，总质量为 n －1；与最底层砖块相连的第 n 块砖块，记 它的水平重心为 x2，质量为1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 此外，把上面的 n 块砖块看做一个整体，并记它的重心水平坐标 为 ，显然 n 块砖块的质量为 n ，那么，在保证平衡的前提下， 上面 n 块砖块的水平重心应该恰好在最底层砖块的右端，即有 ＝0，假设第 n 块砖块超过最底层砖块右端的最大距离为 z ，同 样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前 n －1的 ，于是在 上图的坐标下，第 n 块砖块的水平重心坐标为 x2＝ z － ，故由 重心的关系，有 ＝ ＝ ＝0. z ·（ n －1）＋ ＝0⇒ z ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 于是，对3块砖块（即 n ＝2）的叠放有，第3块砖块的右端到第1 块砖块的右端距离最远可以前伸 ＋ ； 对4块砖块（ n ＝3）的叠放有，第4块砖块的右端到第1块砖块的 右端距离最远可以前伸 ＋ ＋ ； 对 n ＋1块砖块的叠放，设从第 n ＋1块砖块的右端到第1块砖块 的右端最远距离为 dn＋1，则有 dn＋1＝ ＋ ＋…＋ ， 所以当 n 趋于＋∞时，有 dn＋1趋于1，这说明随着砖块数量的无 限增加，最顶层的砖块可以前伸到1个单位长度. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　本题给出的启示是：当问题涉及较多对象时，对考虑的问题进行 合理的分类往往使问题变得清晰，此外，一些看似不可能的事情其实 并非不可能. 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $