第八章 §1走进数学建模 §2 数学建模的主要步骤 §3 数学建模活动的主要过程-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

数学 必修第一册 BS 1 §3 §3 数学建模活动的主要过程 刷基础 2 1.［安徽合肥一中2024高一期末］近年来，合肥地铁轨道交通高质量发展，便捷的交通为居民出 行带来极大便利，刷新了居民幸福指数.为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调 整发车时间间隔优化交通出行.已知地铁的发车时间间隔（单位：分）满足, ， 通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当 时，地铁可达到满载 状态，载客量为1 250人，当时，载客量会减少，减少的人数与 的平方成正比， 且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为 . （1）求 的解析式. 3 【解】由题意可设（, 为常数）. 因为,得,所以 . 4 （2）经过对该线路的数据分析，得出居民乘车体验感指数与发车时间间隔 之间的函数关系式 为 ，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时， 居民乘车体验感最好？ 5 [答案] 由,结合（1）可得 . ①当时, , 当且仅当 时等号成立； ②当时, , 当时, 取得最大值150. 由①②可知,当发车时间间隔为6分钟时,居民乘车体验感最好. 6 2.受神舟十三号“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料， 他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度， 克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭 的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中 为发动机的喷射速度， 和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量， 被称为火箭的质量比. （1）某单级火箭的初始质量为，发动机的喷射速度为，发动机熄火时的质量为 ， 求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）； 【解】 ,,,, 该单级 火箭的最大理想速度为 . 7 （2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10,如果某单级火箭的发动机的喷射速 度为，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度 ，并说明理由. （参考数据：，无理数 ） [答案] ,, , , 该单级火箭的最大理想速度不能超过第一宇 宙速度 . 8 §3 §3 数学建模活动的主要过程 刷能力 9 建议用时：30分钟 1.［上海奉贤区2025高一期末］某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元 万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案： ①奖金（万元）随投资收益 （万元）的增加而增加； ②奖金不超过9万元； ③奖金不超过投资收益的 . （1）请你再写出一条奖励方案④； 【解】④出勤率越高、考核分越高,奖金越高（答案不唯一）. 10 （2）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数 模型的 三个基本要求； [答案] 公司对奖励函数模型的基本要求是：当 时, 是增函数；恒成立； 恒成立. 11 （3）现有奖励函数模型符合公司要求，求整数 的取值范围. [答案] 对于函数模型 , 对于①,函数是 上的增函数； 对于②,对任意,,则,即 ,解得 ； 对于③,对任意, , 当时,在 上单调递减, 当,即时,,因此 , 而,则,又 , 所以整数的取值范围是 . 12 2.［2018年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段］ D题 投篮的最佳出手点 影响投篮命中率的因素不仅仅有出手角度、球感、出手速度，还有出手点的选择.规范的投篮 动作包含两膝微屈、重心落在两脚掌上、下肢蹬地发力、身体随之向前上方伸展、同时抬肘向投 篮方向小臂推而伸出、手腕下压、手指弹射，这样能够将脚趾力量完全连贯到手指，这种下肢、 手臂、手腕、手指头都充分用到力量的投篮，看起来很柔顺、优美，具有艺术性，命中率高.但是 身材相对矮小的组织后卫，如果采用这种规范的投篮动作，势必出手时间较长，给防守者以充分 的时间做准备，被盖帽的可能性增大.反之，如果出手点较低，可以缩短从开始发力到篮球出手的 时间，防止被盖帽，但是手臂、手腕以及手指头的力量可能没有被完全使上，必然使得篮球旋转 不够，篮球飞行轨迹偏移较大，另外碰到篮筐、篮板后的反弹进球概率也大大降低.某 球队的 技术顾问希望你的团队能帮助他们提高组织后卫在高强度防守下的投篮命中率. 第一阶段问题： 13 （1）假定该后卫的身高是，垂直弹跳，助跑弹跳，跳起摸高达到 ， 请建立数学模型，为该后卫推荐一个最佳的出手点. （2）如果要选择打板进球（利用篮板进球可以选择一些比较特殊的出手角度，往往能够骗过防 守球员，使得投篮者获得更多的出手时间），上面一问中的最佳出手点模型该如何做出调整？ [答案] 无标准答案,可以借助网络等资源查询相关资料,得到解决问题的思路. $$