7.2.1古典概型的概率计算公式同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 聚焦古典概型，分层设计从概念辨析到综合应用，基础题夯实定义与计算，提升题融合跨知识点情境，适配新授课巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|古典概型定义与简单计算|题1判断古典概型特征，强化抽象能力；题2-4通过子集、套餐选择等情境巩固公式应用| |中档|情境化概率应用|题10结合夏令营学生选拨，需列举样本空间，培养推理意识与数据观念| |提升|跨知识点综合应用|题12融合素数概念，题13结合方程判别式，体现数学思维的逻辑性与应用意识|

2.1　古典概型的概率计算公式 1.下列是古典概型的是（　　） A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率 D.抛掷一枚不均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 2.从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b}的子集的概率是（　　） A.　　 B.　　　C.　　 D. 3.某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款，则三人恰好选择同一款套餐的概率为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 4.将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 5.（多选）下列关于各事件发生的概率判断正确的是（　　） A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为 B.四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为 D.已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为 6.（多选）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是（　　） A.a＋b＝7时的概率为 B.≥2时的概率为 C.ab＝6时的概率为 D.a＋b是6的倍数的概率是 7.甲、乙两人随意入住两间客房，则甲、乙两人各住一间房的概率是　　　　. 8.在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是　　　　. 9.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n的值为　　　　. 10.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）. （1）用表中字母列举出所有可能的结果； （2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率. 11.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为（　　） A.　 B. C.　 D. 12.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（　　） A.　 B. C.　 D. 13.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋（m＋n）x＋4＝0无实数根的概率是　　　　. 14.从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： （1）事件A＝“三个数字中不含1和5”； （2）事件B＝“三个数字中含1或5”. 15.某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查. （1）求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数； （2）若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率. 2.1　古典概型的概率计算公式 1.C　A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点不具有等可能性，故D不是. 2.C　集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中∅，{a}，{b}，{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为＝.故选C. 3.C　设两款优惠套餐分别为A，B，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款套餐，结果如图所示.可得三人恰好选择同款套餐的概率为＝. 4.B　在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3面是涂色的，故概率P＝. 5.ABC　对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共三种情况，其中，甲被选中的情况有两种，故甲被选中的概率为，故A正确；对于B，从四条线段中任取三条，有（1，3，5），（1，3，7），（1，5，7），（3，5，7）四种情况，而能构成三角形的只有（3，5，7）一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是，故B正确；对于C，树枝的树梢有6个，有2个树梢有食物，所以蚂蚁能获得食物的概率为＝，故C正确；对于D，因为A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以所求的概率是，故D错误.故选A、B、C. 6.CD　先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.满足a＋b＝7的情形有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），故P＝＝，故A错误；满足≥2的情形有（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），（6，3），故P＝＝，故B错；满足ab＝6的情形有（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），故P＝＝，故C正确；满足a＋b是6的倍数的情形有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，6），故a＋b是6的倍数的概率是，故D正确.故选C、D. 7.　解析：甲、乙两人入住两间客房有甲、乙两人同住一间房，甲、乙两人各住一间房共4种情况，其中甲、乙两人各住一间房的概率为P＝＝. 8.　解析：用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）共4种，故所求的概率为＝. 9.2　解析：由题意可知＝，解得n＝2. 10.解：（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛，则试验的样本空间Ω＝{（A，B），（A，C），（A，X），（A，Y），（A，Z），（B，C），（B，X），（B，Y），（B，Z），（C，X），（C，Y），（C，Z），（X，Y），（X，Z），（Y，Z）}，共15种可能的结果. （2）M＝{（A，Y），（A，Z），（B，X），（B，Z），（C，X），（C，Y）}，共6种可能的结果. 因此，事件M发生的概率P（M）＝＝. 11.C　所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或满足log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝. 12.B　不超过12的素数为：2，3，5，7，11，共5个，从中随机选取两个共有10个样本点：（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），其中和为奇数的为：（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），共4个样本点，所以和为奇数的概率为＝.故选B. 13.　解析：总的样本点个数为36.因为方程无实根，所以Δ＝（m＋n）2－16＜0.即m＋n＜4，其中有（1，1），（1，2），（2，1），共3个样本点.所以所求概率为＝. 14.解：这个试验样本空间Ω＝{（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}， 所以样本点总数n＝10. （1）因为事件A＝{（2，3，4）}， 所以事件A包含的样本点数m＝1， 所以P（A）＝＝. （2）因为事件B＝{（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}， 所以事件B包含的样本点数m'＝9， 所以P（B）＝＝. 15.解：（1）由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3，2，1. （2）在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3，2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6， 则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）}，即样本点的总数为15. 抽取的2名教师均为初级教师（记为事件B）的样本点为（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3个. 所以所求概率P（B）＝＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $