第7章 §2 2.1 古典概型的概率计算公式(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．(多选)下列试验不是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币首次掷出正面为止 解析　A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是． 答案　ABD 2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是(　　) A.　 　 B．　 　　 C.　 　 D． 解析　设所取的数中b＞a为事件A，如果把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个，事件A包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝＝. 答案　D 3．(2025·陕西宝鸡高一下期末)从甲、乙、丙、丁4名同学中任选3名同学，参加卫生健康宣传志愿服务，则甲被选中的概率为(　　) A. B． C. D． 解析　从甲、乙、丙、丁4名同学中任选3名同学，样本空间Ω＝{(甲乙丙)，(甲丙丁)，(甲乙丁)，(乙丙丁)}，共有4个样本点．设事件A＝“甲被选中”，则A＝{(甲乙丙)，(甲丙丁)，(甲乙丁)}，有3个样本点，故P(A)＝. 答案　D 4．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________． 解析　设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：AD，BD，CD，共3个，故P＝＝. 答案　 5．古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为________． 解析　试验所含的样本点为(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，水)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)，共10个．“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”之外的都不相克，共有5个，故抽取到的两种物质不相克的概率为＝. 答案　 6．为加强大学生实践、创新能力，促进高等教育教学改革，某教育主管部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛． (1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； (2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率． 解析　根据题意可知其样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，共6个样本点． (1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，事件A包含的样本点有：(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，共2个，所以P(A)＝＝.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为. (2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B，事件B包含的样本点有：(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)共4个，所以P(B)＝＝.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为. [关键能力·综合提升] 7．若3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　) A.　　 B． C.　 　 D． 解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，所求概率为. 答案　C 8．(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(　　) A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16 C．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16 解析　记4件产品分别为1,2,3，a，其中a表示次品．A选项，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,3)，(2，a)，(3，a)}，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝＝，A正确；B选项，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)}，共12种样本点，B错误；C选项，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为，C正确；D选项，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)}，共16种样本点，D正确．故选ACD. 答案　ACD 9．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________． 解析　设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则试验的样本空间Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，则样本空间的总数15个．两球颜色为一白一黑的样本空间有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．∴其概率为＝. 答案　 10．(2025·湖南长沙市一中高一检测)某班6名同学的数学、语文成绩(满分为150分)对应如下表： 数学成绩 122 105 113 127 130 135 语文成绩 116 121 127 135 130 140 规定成绩不低于120分的为优秀． (1)现从这6名同学中抽2人，问这2人的数学成绩都为优秀的概率是多少？ (2)从这6名同学中抽3人，求恰有1人两科成绩均为优秀的概率． 解析　(1)记事件M＝“这2人的数学成绩都为优秀”，由表可知这6人中有4人的数学成绩为优秀，设数学成绩优秀的4名同学分别为1,2,3,4，数学成绩不优秀的2名同学分别为a，b，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2,4)，(2，a)，(2，b)，(3,4)，(3，a)，(3，b)，(4，a)，(4，b)，(a，b)}，共有15个样本点，M＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共有6个样本点，所以P(M)＝＝. (2)由表知两科成绩均为优秀的有3人，设这3名同学分别为5,6,7，两科成绩不都优秀的3名同学分别为A，B，C. 记事件N＝“抽取的3人中，恰有1人两科成绩均为优秀”， 则样本空间Ω2＝{(5,6,7)，(5,6，A)，(5,6，B)，(5,6，C)，(5,7，A)，(5,7，B)，(5,7，C)，(6,7，A)，(6,7，B)，(6,7，C)，(5，A，B)，(5，A，C)，(5，B，C)，(6，A，B)，(6，A，C)，(6，B，C)，(7，A，B)，(7，A，C)，(7，B，C)，(A，B，C)}，共有20个样本点，N＝{(5，A，B)，(5，A，C)，(5，B，C)，(6，A，B)，(6，A，C)，(6，B，C)，(7，A，B)，(7，A，C)，(7，B，C)}，共有9个样本点，所以P(N)＝. [核心价值·探索创新] 11．某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次． (1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率； (2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？ 解析　(1)3个红球分别记为1,2,3,1个黑球记为a,1个黄球记为b. 从袋中依次不放回地取出2个球，样本空间 Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1，a)，(2，a)，(3，a)，(1，b)，(2，b)，(3，b)，(a，b)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b，a)}，共有20个样本点， 事件“取出的球中有黄球”包含的样本点为(1，b)，(2，b)，(3，b)，(a，b)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b，a)，共8个， 所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为＝. (2)从袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(3，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)，(a，b)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b，a)，(b，b)}，共有25个样本点， 事件“取出的2个球中没有红球”包含的样本点为(a，a)，(a，b)，(b，a)，(b，b)，共4个， 所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为<20%， 所以这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性不会超过20%. 学科网（北京）股份有限公司 $$