第七章 概率与统计的综合问题 同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 本同步练聚焦概率与统计综合问题，通过基础单选、提升多选填空、综合解答题三层设计，实现从单一概念到实际应用的知识进阶，培养数学推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（6题单选）|古典概型、独立事件等单一概念|以春游、射击等情境题巩固基础公式，如题1用古典概型计算两班不同天出游概率| |提升层（3多选+3填空）|互斥对立事件、条件概率等综合概念|多选强化概念辨析（如题8互斥与对立事件判断），填空训练独立重复试验（题10）、全概率公式（题11）计算| |综合层（2解答题）|分层抽样与概率、分步计数与条件概率|结合实际问题（如工厂调查、抽题顺序），综合应用统计与概率知识，培养数据观念与逻辑推理|

培优课　概率与统计的综合问题 1. 春暖花开，某学校组织学生春游，每个班级可以在周一到周六任选一天出游，则甲、乙两班不在同一天出游的概率为（　　） A.  B.  C.  D.  2. 现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  3. 一批零件共10件，其中8件合格品，2件次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取到合格品的概率为第二次取到合格品的概率为，则（　　） A.  B.  C.  D.  4.某射击运动员射击一次命中目标的概率为p，且每次射击结果相互独立，已知他连续射击三次，至少有一次命中的概率为，则p＝（　　） A.　 B. C.　 D. 5.4×100米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（　　） A.p1p2p3 B.1－p1p2p3 C.（1－p1）（1－p2）（1－p3） D.1－（1－p1）（1－p2）（1－p3） 6. 中国书法源远流长，是中国汉字特有的一种传统艺术．中国书法的五种主要书体为篆书体、隶书体、楷书体、行书体、草书体．现有甲、乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选一种进行研习，且相互独立，则甲不选隶书体且乙不选草书体的概率为（　　） A.  B.  C.  D.  7.（多选）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（　　） A.2个球都是红球的概率为 B.2个球不都是红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率为 8.（多选） 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（　　） A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件 D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 9.（多选）一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为，，，三人独立解答，则下列说法正确的是（　　） A.只有一人解出试题的概率为 B.至少有两人解出试题的概率为 C.三人都没有解出试题的概率为 D.该试题被解出的概率为 10. 种植某种树苗，成活率为，现种植这种树苗4棵，则恰好成活3棵的概率为　　　　. 11. 某届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为　　　　. 12. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为 　　　　. 13.为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层随机抽样的方法从A，B，C三个区抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C三个区分别有18，27，18个工厂. （1）求从A，B，C区分别抽取的工厂个数； （2）若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率. 14. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率． 培优课　概率与统计的综合问题 1.A　甲乙两班出游共有种情况，甲乙两班同一天出游共有六种情况，所以甲乙两班不在同一天出游的概率为. 故答案为：A. 2.C　设“从乙箱中取出白球”，“从甲箱中取出白球”，则，，则由全概率公式可得，故选：C． 3.A　第一次就取到合格品的概率；第二次取到合格品说明第一次取到的是次品，则，所以．故答案为：A. 4.A　因为射击一次命中目标的概率为p，所以射击一次未命中目标的概率为1－p，又每次射击结果相互独立，所以三次都未命中的概率为（1－p）3.因为“连续射击三次，至少有一次命中”的对立事件为“三次都未命中”，所以“连续射击三次，至少有一次命中”的概率为1－（1－p）3＝，解得p＝. 5.C　由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：1－p1，1－p2，1－p3，则该组合不失误的概率为：（1－p1）（1－p2）（1－p3）.故选C. 6.D　设“甲选隶书体”为事件A，“乙选草书体”为事件B，则，甲、乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选一种进行研习，且相互独立，则甲不选隶书体且乙不选草书体的概率为：．故选：D． 7.ACD　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P（A1）＝，P（A2）＝，且A1，A2相互独立.2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；2个球中至少有1个红球的概率为1－P（）P（）＝1－×＝，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确.故选A、C、D. 8.BD　对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中 ”，所以不是对立事件，A不符合题意；对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B符合题意；对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C不符合题意；对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D符合题意；故答案为：BD. 9.AC　根据题意知三人解出试题是相互独立的，事件“只有一人解出试题”包含“A解出试题而其余两人没有解出试题”“B解出试题而其余两人没有解出试题”“C解出试题而其余两人没有解出试题”，三个事件互斥，所以P（只有一人解出试题）＝×（1－）×（1－）＋（1－）××（1－）＋（1－）×（1－）×＝，所以A正确；同样，可以得出P（只有两人解出试题）＝（1－）××＋×（1－）×＋××（1－）＝，P（三人都解出试题）＝××＝，事件“至少有两人解出试题”包含“只有两人解出试题”“三人都解出试题”，这两个事件互斥，所以P（至少有两人解出试题）＝＋＝，所以B不正确；P（三人都没有解出试题）＝（1－）×（1－）×（1－）＝，所以C正确；事件“该试题被解出”的对立事件是“三人都没有解出试题”，所以P（该试题被解出）＝1－＝，所以D不正确. 10. 　解析：根据独立重复试验的概率计算公式，可得恰好成活3棵的概率为。故答案为：. 11.　解析：运动员甲第二天去A餐厅用餐包含以下两种情况，①第一天去A餐厅，则概率为，②第一天去B餐厅，则概率为，∴运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为．故答案为：0.75． 12.　解析：甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，设甲、乙、丙三人荣获一等奖分别记为事件，，，即，这三人中仅有两人获得一等奖为事件，，， 事件，，相互独立，，这三人中仅有两人获得一等奖的概率为． 13.解：（1）工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区抽取的工厂个数分别为2，3，2. （2）设A1，A2为在A区抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区抽得的3个工厂，C1，C2为在C区抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能出现的样本点有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A1，C2），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（A2，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（C1，C2），共有21个. 随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区（记为事件X）的样本点有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A1，C2），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（A2，C2），共有11个. 所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P（X）＝. 14.解：（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，则，． （2）由（Ⅰ）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $