2.3.3 点到直线的距离公式同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三层递进设计，实现从公式直接应用到综合问题解决再到创新情境探究的知识巩固路径，培养数学运算、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点到直线距离公式直接应用|含选择、填空、解答题，如点到定直线距离计算（题1）、距离范围求解（题2），夯实运算能力| |更上层楼|参数直线距离与综合应用|涉及含参直线（题11）、新概念“有向距离”应用（题14），提升逻辑推理与问题转化能力| |探究发现|拓展概念与情境探究|通过“有向距离命题判断”（题15）、“相关直线”实际情境（题16），发展创新意识与数学建模能力|

2.3.3　点到直线的距离公式课时作业(二十二) 1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3　　　　　　　　　　 B. C．1 D. 答案　B 解析　点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝，选B. 2．若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是(　　) A．(0，10) B．[0，10] C．[－5，5] D．(－5，5) 答案　B 解析　由题意得≤3，得0≤a≤10. 3．已知直线l的一个方向向量为n＝(1，－2)，且经过点P(1，0)，则原点O到l的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据直线l的方向向量为n＝(1，－2)，可得直线l的斜率k＝－2，结合直线l经过点(1，0)，可得l的方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0，所以原点O到l的距离d＝＝. 4．【多选题】已知直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为(　　) A．x＝1 B．2x－y－1＝0 C．x－y－1＝0 D．2x－3y－1＝0 答案　AC 解析　当l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，符合题意． 当l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. ∵点A，B到l的距离相等， ∴＝， 整理得|1－3k|＝|3k－5|，解得k＝1， ∴l的方程为x－y－1＝0， 综上，l的方程为x＝1或x－y－1＝0.故选AC. 5．已知l：3x＋4y＋6＝0，P(m，n)为l上一动点，则(m＋1)2＋n2的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为(m＋1)2＋n2＝[]2，所以(m＋1)2＋n2的最小值即为P(m，n)与(－1，0)的距离的平方的最小值，即为点(－1，0)到直线l的距离d的平方，又d＝＝，所以(m＋1)2＋n2的最小值为＝. 6．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　B 解析　方法一：设满足条件的点的坐标为(a，b)． 由题意可知 解得或 故满足条件的点有两个． 方法二：到两坐标轴距离相等的点必在直线y＝x与y＝－x上，这两条直线均与7x＋3y－21＝0相交．故选B. 7．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________． 答案　4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0 解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0， 则＝2，即|C－7|＝10， 解得C＝－3或C＝17， 故所求的直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 8．已知5x＋12y＝60，则的最小值是________． 答案　 解析　表示直线5x＋12y＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x＋12y＝60的垂线段的长最小，故最小值为d＝＝. 9．已知△ABC三个顶点的坐标为A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S. 解析　由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.由两点间的距离公式得|BC|＝＝2， 设点A到BC的距离为d，即为BC边上的高， d＝＝， 所以S＝|BC|·d＝×2×＝4. 10．某直线过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到该直线的距离为2，求该直线的方程． 解析　方法一：由 得∴l1，l2的交点为(1，2)． 由题意可知该直线的斜率一定存在，∴可设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， ∵P(0，4)到该直线的距离为2， ∴2＝，解得k＝0或k＝. ∴所求直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0. 方法二(利用直线系)：设经过l1，l2交点的直线方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0①. 由题意得＝2， 化简得5λ2－8λ－36＝0， 解得λ＝－2或λ＝. 代入①，得所求直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0. 11．对于任意实数k，直线(k＋2)x－(1＋k)y－2＝0与点Q(－2，－2)的距离为d，则d的取值范围是(　　) A．[0，4] B．(0，4] C. D. 答案　B 解析　将直线(k＋2)x－(1＋k)y－2＝0转化为k(x－y)＋2x－y－2＝0，由x－y＝0及2x－y－2＝0可得x＝2且y＝2，则直线恒过P(2，2)，连接PQ，则PQ：y＝x，当直线与PQ垂直时，d取最大值，为＝4，因为直线不过点Q(－2，－2)，所以d＞0，故d的取值范围是(0，4]． 12．已知直线l1：x＋y＋C＝0与直线l2：Ax＋By＋C＝0交于(1，1)，则原点到直线l2距离的最大值为(　　) A．2 B. C. D．1 答案　B 解析　将(1，1)代入直线l1的方程可得1＋1＋C＝0，解得C＝－2，所以l2的方程为Ax＋By－2＝0，将(1，1)代入直线l2的方程可得A＝2－B，则原点到直线l2的距离d＝＝＝＝，当B＝1时，dmax＝＝. 13．在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　B 解析　由题可知所求直线显然不与x轴垂直， ∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0. ∴＝1，＝2，两式联立， 解得b＝3，k＝0或b＝，k＝－. 故所求直线共有两条． 14．已知直线l：ax＋by＋c＝0和点P(x0，y0)，点P到直线l的有向距离d(P，l)用如下方法规定：若b≠0，d(P，l)＝，若b＝0，d(P，l)＝. (1)已知直线l1：3x－4y＋12＝0，直线l2：2x＋3＝0，求原点O到直线l1，l2的有向距离d(O，l1)，d(O，l2)； (2)已知点A(2，1)和点B(3，－1)，是否存在过点A的直线l3，使得d(B，l3)＝2？如果存在，求出所有这样的直线l3，如果不存在，说明理由． 解析　(1)由直线l1：3x－4y＋12＝0，直线l2：2x＋3＝0， 根据点到直线的有向距离公式可得d(O，l1)＝＝－，d(O，l2)＝＝. (2)当直线l3的斜率不存在时，直线l3的方程为x－2＝0， 此时d(B，l3)＝＝1≠2，舍去； 当直线l3的斜率存在时，设直线l3的方程为y－1＝k(x－2)，因为d(B，l3)＝2>0，所以b>0，则l3的方程可化为－kx＋y－1＋2k＝0， 则d(B，l3)＝＝2， 化简可得3k2－4k＝0，解得k＝0或， 所以直线l3的方程为y－1＝0或4x－3y－5＝0. 15．【多选题】定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题，其中是假命题的是(　　) A．若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1d2<0，则直线P1P2与直线l相交 答案　ABC 解析　设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则d1＝，d2＝.若d1＝d2＝0，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0，则点P1, P2都在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，故A、B、C均为假命题．当d1d2<0时，则·＜0，即(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0，所以P1，P2在直线l的两侧，则直线P1P2与直线l相交，故D为真命题． 16．【多选题】已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线是点M的“相关直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0 答案　BC 解析　点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”；点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”；点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，故D中的直线不是点M的“相关直线”．故选BC. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3　点到直线的距离公式课时作业(二十二) 1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3　　　　　　　　　　 B. C．1 D. 2．若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是(　　) A．(0，10) B．[0，10] C．[－5，5] D．(－5，5) 3．已知直线l的一个方向向量为n＝(1，－2)，且经过点P(1，0)，则原点O到l的距离为(　　) A. B. C. D. 4．【多选题】已知直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为(　　) A．x＝1 B．2x－y－1＝0 C．x－y－1＝0 D．2x－3y－1＝0 5．已知l：3x＋4y＋6＝0，P(m，n)为l上一动点，则(m＋1)2＋n2的最小值为(　　) A. B. C. D. 6．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 7．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________． 8．已知5x＋12y＝60，则的最小值是________． 9．已知△ABC三个顶点的坐标为A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S. 10．某直线过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到该直线的距离为2，求该直线的方程． 11．对于任意实数k，直线(k＋2)x－(1＋k)y－2＝0与点Q(－2，－2)的距离为d，则d的取值范围是(　　) A．[0，4] B．(0，4] C. D. 12．已知直线l1：x＋y＋C＝0与直线l2：Ax＋By＋C＝0交于(1，1)，则原点到直线l2距离的最大值为(　　) A．2 B. C. D．1 13．在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 14．已知直线l：ax＋by＋c＝0和点P(x0，y0)，点P到直线l的有向距离d(P，l)用如下方法规定：若b≠0，d(P，l)＝，若b＝0，d(P，l)＝. (1)已知直线l1：3x－4y＋12＝0，直线l2：2x＋3＝0，求原点O到直线l1，l2的有向距离d(O，l1)，d(O，l2)； (2)已知点A(2，1)和点B(3，－1)，是否存在过点A的直线l3，使得d(B，l3)＝2？如果存在，求出所有这样的直线l3，如果不存在，说明理由． 15．【多选题】定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题，其中是假命题的是(　　) A．若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1d2<0，则直线P1P2与直线l相交 16．【多选题】已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线是点M的“相关直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $