第一章 空间向量与立体几何同步练-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何同步练，以“基础巩固-能力提升-综合创新”分层设计，精选真题与情境题，构建从单一向量运算到动态立体几何问题的知识巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间向量坐标、法向量等单一知识点|如单选1正方体向量坐标，夯实概念理解| |能力|异面直线夹角、线面角等综合运算|如单选5三棱柱异面直线夹角，提升运算推理能力| |创新|翻折问题、动态最值等复杂情境|如解答19翻折三棱锥二面角，发展空间想象与创新意识|

第一章 空间向量与立体几何（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二·全国·课后作业）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{}为单位正交基底,则的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，应用空间向量加减的几何表示可得，即得的坐标. 【详解】 由，故. 故选：C 2．（25-26高二上·山西大同·阶段检测）若平面的一个法向量分别为，，则（    ） A． B．与相交但不垂直 C．或与重合 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，得出，进而得到或与重合. 【详解】由题意，向量平面的一个法向量分别为，， 可得，所以，所以或与重合. 故选：C. 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记点E为BC的中点，连接AE，OE，G是的重心，则，又，化简可得选项． 【详解】如图， 记点E为BC的中点，连接AE，OE， 所以， 又G是的重心，则， 所以. 因为， 所以 . 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）如图，在平行六面体中，点是棱的中点，连接、交于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析得出，将利用、加以表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式. 【详解】连接，如下图所示： ，所以，， 因为点为棱的中点，则， ， 因此，. 故选：B. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为基底表示出，利用向量夹角公式计算出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设，则构成空间的一个基底， ， ， . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题. 6．（25-26高二上·广东·阶段检测）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点的坐标，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则 所以平面的一个法向量为 因为平面，则 设，则，所以 解得，所以，即 故选:C. 7．（25-26高二上·山西运城·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离． 【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则， ，则，又，， ，直线交于点，， 以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，， ， 设与和都垂直， 则，取，则，， P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于． 故选：D． 8．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，已知正方体棱长为3，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（    ） A．21 B．22 C．23 D．13 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系,根据在内可设出点坐标，作,连接,可得，作，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得的范围. 【详解】根据题意,以D为原点建立空间直角坐标系如图所示： 作交于M,连接，则 作交于N，则即为点P到平面距离. 设,则 ∵点到平面距离等于线段的长 ∴ 由两点间距离公式可得，化简得,则解不等式可得 综上可得 则在中 所以（当时 取等） 故选:D 【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·江苏常州·期中）在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若G为的重心，则 C．若，，则 D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则 【答案】BC 【分析】作出三棱锥直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】   对于A ，由已知，即，则，故A错误； 对于B，由G为的重心，得，又，，，，即，故B正确； 对于C，若，，则，即，即，故C正确； 对于D， ，又，，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 10．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为线段的动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点G，使得平面EFG C．设直线FG与平面所成角为，则的最大值为 D．点F到直线EG距离的最小值为 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，根据平行得到，A正确，当时，平面EFG，B错误，计算的最小值为，C错误，计算投影最大为，计算得到D正确，得到答案. 【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，，. 对选项A：由正方体以及面面平行的性质可得，平面，线段上的G到面距离为， 故，. 则为定值，正确； 对选项B：若存在点G，使平面EFG，设， ，，，， 则. ，，，故， 又由，平面EFG，故平面EFG，存在点G满足要求，不正确； 对选项C：过F作，垂足为，则平面， 则即为所求线面角，当时，所求角最大，此时最小， ，，，错误； 对选项D：，， 故在方向上投影长度为， 当时，投影最大为，又， 所以点F到直线EG距离的最小值为，正确. 故选：AD 【点睛】关键点睛：本题考查了三棱锥的体积，线面垂直，线面夹角，点到直线的距离，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中建立空间直角坐标系，将空间中的关系转化为向量运算，是解题的关键. 11．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（　　） A． B．与平面所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．平面截正方体所得的截面周长为 【答案】BD 【分析】利用坐标法，对A，由向量数量积与垂直的关系即可判断；对B，由向量法求线面角；对C，由向量法求面面角；对D，分析得，则平面AEF截正方体所得的截面为四边形，即可根据几何关系求周长， 【详解】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ， 对A， ，，故与不垂直，A错； 对B，，设平面AEF的法向量为，则，令，则有， 设与平面AEF所成角为，则，B对； 对C，平面EFC的一个法向量为，则，∴二面角的余弦值为，C错； 对D，由，，可得，平面AEF截正方体所得的截面为四边形， 则有，故平面AEF截正方体所得的截面周长为，D对. 故选：BD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（1.1.1空间向量及其线性运算（同步练习）-【一堂好课】2025-2026学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册））如图，已知空间四边形，其对角线为、，是边的中点，是的重心，则用基向量，，表示向量的表达式为___________. 【答案】 【分析】由重心将中线分为2:1，及平面向量三角形法则，可得，在进一步使用三角形法则拆解，最后用基向量，，表示即可. 【详解】如图所示，连AG延长交BC于， 故答案为：. 13．（25-26高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解. 【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得： ， 即有：，所以：， 以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以：，，，， 因为：，且，， 设平面的一个法向量为：， 则：，令：，得：， 所以得：，解得：. 故答案为：. 14．（25-26高二上·浙江·期中）点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是______. 【答案】 【分析】根据三点共线定理可得点在线段上运动时，点Q的运动范围是以点为圆心，半径为2的圆面，再结合三角换元，正弦型函数的最值得出结果. 【详解】取底面的中心， 因为，所以点在平面上，且， 所以点在线段上， 由得， 所以由，得， 由，得，又平面， 所以平面. 因为Q是平面BC₁D上的动点，满足， 所以当在点时，点Q在点；当在点时，点Q在点为圆心，半径为2的圆上； 所以点在线段上运动时，点Q的运动范围是以点为圆心，半径为2的圆面， 以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设,，R， 过点作于点，，则点为的中点，所以,， ，,， ， 当时，取最小，为最小值， 因为，所以，设，R， ，当时，取最大值， 所以取最小值. 故答案为：.    【点睛】空间立体几何轨迹问题：先根据已知条件确定与待求点相关的平行、垂直等关系；可建立空间直角坐标系，表示动点的坐标以及相关点的坐标，然后代入点的坐标所满足的几何关系，整理化简可得出动点的轨迹方程，根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其它量. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出的坐标，结合模长的坐标运算可得答案； （2）根据向量夹角公式可得答案； （3）根据数量积为0可求答案. 【详解】（1）因为，所以； 所以. （2）因为，，所以， 因为，所以与的夹角为. （3）， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得. 16．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 17．（2026·河北沧州·二模）如图，四棱锥中，底面是梯形，，. (1)证明:平面平面； (2)若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明：因底面是梯形，，，则， 又，平面，则平面， 又平面，故平面平面. (2) 【分析】（1）由条件先证明，得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）根据条件建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，因，则， 由（1）得平面，平面，则， 又平面，则平面. 过点作的平行线，交于点，则，即两两垂直， 故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 因，由，可得， 则，. 设平面的法向量为， 因， 则，故可取， 因平面，故平面的法向量可取为， 则， 设平面与平面所成二面角的平面角为，则， 即平面与平面所成二面角的正弦值为. 【点睛】 18．（25-26高二下·河北·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点. (1)若点为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接，. 因为是棱的中点，所以且.        因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则.     因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）平行四边形可得线线平行，由线面平行的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦，再换元后求范围即可. 【详解】（1）略. （2）取的中点，连接，. 因为是边长为2的等边三角形，所以，，. 因为，，为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，则，. 又，所以，所以. 又因为，所以平面.     以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，.     设，其中， 则. 设平面的法向量，所以，         令，得. 设平面的法向量，所以， 令，得.         设平面与平面的夹角为，则 ，.         令，则. 令，当时，，当时，， 所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 19．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)如图，取的中点，连接、. 因为是正三角形，为中点，所以； 因为是等腰直角三角形，，为中点，所以. 又，平面，故平面. 因为平面，所以.    (2)①；② 【分析】（1）取 中点 ，由正三角形和等腰直角三角形的性质得 、，从而 平面 ，故 ； （2）① 由垂直关系得外接球球心为中点，用等体积法分别求到平面 的距离和到平面的距离，球心到平面的距离为后者的一半； ② 建立空间直角坐标系，由垂直关系确定坐标，分别求两平面法向量，用夹角公式得二面角余弦值. 【详解】（1）略. （2）①当 时，由 ，则 ， 取的中点 ，连接 . 故到四点的距离相等，故为三棱锥 外接球的球心， 因为，故 ， 设到平面 的距离为，到平面 的距离为， 由等体积法可得 而，由于 ，故. 所以， 从而，故到平面 的距离为.   ②由①知 ，且 . 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，设. 由，即，得；由，即，得 ； 又 ，故，所以. 平面中，， 其法向量满足，可取； 平面 中，， 其法向量满足，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为.    第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二·全国·课后作业）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{}为单位正交基底,则的坐标为(　　) A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西大同·阶段检测）若平面的一个法向量分别为，，则（    ） A． B．与相交但不垂直 C．或与重合 D． 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）如图，在平行六面体中，点是棱的中点，连接、交于点P，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东·阶段检测）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 7．（25-26高二上·山西运城·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 8．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，已知正方体棱长为3，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（    ） A．21 B．22 C．23 D．13 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·江苏常州·期中）在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若G为的重心，则 C．若，，则 D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则 10．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为线段的动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点G，使得平面EFG C．设直线FG与平面所成角为，则的最大值为 D．点F到直线EG距离的最小值为 11．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（　　） A． B．与平面所成角的正弦值为 C．二面角的余弦值为 D．平面截正方体所得的截面周长为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（1.1.1空间向量及其线性运算（同步练习）-【一堂好课】2025-2026学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册））如图，已知空间四边形，其对角线为、，是边的中点，是的重心，则用基向量，，表示向量的表达式为___________. 13．（25-26高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则______． 14．（25-26高二上·浙江·期中）点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是______. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 16．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 17．（2026·河北沧州·二模）如图，四棱锥中，底面是梯形，，. (1)证明:平面平面； (2)若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值. 18．（25-26高二下·河北·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点. (1)若点为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 19．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $