1.3 空间向量及其运算的坐标表示课后同步练习-2026年新高二暑假预习数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《空间向量及其运算的坐标表示》同步练以分层递进为特色，通过基础运算、综合辨析、几何应用三级设计，实现从概念理解到问题解决的知识巩固，适配暑假自主学习与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|坐标运算、数量积等单一知识点|单选/填空聚焦概念辨析与基本运算，如坐标求解、数量积计算| |中档|共面条件、夹角余弦、投影向量等多知识点综合|多选强化逻辑推理与多解分析，如共线共面判断、投影向量求解| |综合|空间几何体体积、线面垂直证明、线线角范围等几何应用|解答题结合空间几何体考查建模与综合应用，如线面垂直证明及长度计算|

1.3 空间向量及其运算的坐标表示课后同步练习 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 7．（25-26高二上·河南开封·期末）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 8．（25-26高二上·福建莆田·期末）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量、、不能构成空间的一组基底 9．（25-26高二下·福建福州·期中）（多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 13．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 14．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 15．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上． (1)证明：平面； (2)若平面，求线段PM长度． 16．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示课后同步练习 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】已知，则. 2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，列出方程组求解即可． 【详解】因为共面，所以存在，使得， 即，解得， 所以． 4．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 5．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 6．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 7．（25-26高二上·河南开封·期末）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 【答案】AB 【分析】根据向量的加法的坐标运算，计算即可判断A；根据两向量平行的坐标关系，可判断B；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C；根据夹角为钝角，可得，且与不共线，根据数量积公式求解可判断D. 【详解】对于A，由， 则，即，解得，故正确； 对于B，若，显然与不共线， 若，与共线，则， 解得，故正确； 对于C，因为在上的投影向量为， 所以，即，解得或，故错误； 对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线， 则，解得，且，即， 所以，故错误， 故选：AB. 8．（25-26高二上·福建莆田·期末）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量、、不能构成空间的一组基底 【答案】BCD 【分析】利用空间向量的夹角公式可判断A选项；利用空间向量垂直的坐标关系可判断B选项；利用投影向量的概念可判断C选项；利用空间向量基底的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 又因为，所以，故向量与向量的夹角为，A错； 对于B选项，， 所以，故，B对； 对于C选项，向量在向量上的投影向量为，C对； 对于D选项，设，即， 所以，解得，故，即、、共面， 所以向量、、不能构成空间的一组基底，D对. 故选：BCD. 9．（25-26高二下·福建福州·期中）（多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】CD 【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念求解选项D. 【详解】对于选项A，，，故A错误； 对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误； 对于选项C，，由于共面且不共线， , 所以，是平面的一个法向量，故C正确； 对于选项D, , 在上的投影向量的模为,故D正确. 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 11．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 【答案】 【分析】先求出的值，再写出的坐标，进行计算即可. 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得， 又因为，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 13．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【答案】 【分析】利用等体积法计算得三棱锥的体积；建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求出点坐标，进而求出长度. 【详解】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. 14．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）首先求出向量，，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； 【详解】（1）因为、、，，， 所以，， 则． （2）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 15．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上． (1)证明：平面； (2)若平面，求线段PM长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先判断PA与AB的垂直关系，再根据面面垂直的性质定理，推出平面 （2）先建立空间直角坐标系，写出相关点和向量坐标，根据可由和线性表示，列出方程求解计算即可 【详解】（1）因为与都是等腰直角三角形，，， 所以， 中，， 故，即 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，如图所示 ， ，， 设，则， 因为平面，，所以可由和线性表示， 设，则，解得 所以， 所以 16．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过全等三角形得到结论； （2）利用，，求出，从而得到的运动轨迹是圆，通过空间向量法得到的方程及方程中的范围，利用数量积得到直线与直线所成角的余弦值，结合的范围得到所求余弦值的范围. 【详解】（1）证明：在平面上的投影为，点与点重合， 平面，平面，，. 四边形为菱形，，，. （2），. ， 是以为圆心，以3为半径的圆上的点， 以为原点，分别为轴，过作的平行线作为，如图所示， 设，则有，则， ，，，， ，，， 设直线与直线所成角为， 则， ，，，， ，故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $