第一章 空间向量与立体几何（暑假预习举一反三单元自测·基础篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何单元自测基础篇，涵盖单选8题（40分）、多选3题（18分）、填空3题（15分）、解答5题（77分），选题源自多地期末及模拟题，覆盖向量运算、立体几何证明等核心知识，可精准检测学生空间观念与推理能力，适配暑假单元巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量坐标运算、基底判断、点面距离|基础题为主，如向量共线求参数，检测数学眼光| |多选|3/18|空间向量性质、线面关系判断|融合概念辨析，如零向量性质，培养推理意识| |填空|3/15|三点共线、向量模计算、向量分解|聚焦核心技能，如向量分解（四面体中点问题）| |解答|5/77|向量表达式化简、线面垂直证明、线面角计算|综合性强，如正方体中证明与线面角（19题），体现数学语言表达|

第一章 空间向量与立体几何（单元自测·基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·山东济南·期末）已知向量，若，则（   ） A．-10 B．-4 C．4 D．10 【答案】B 【解题思路】利用空间向量平行的坐标运算求解即可. 【解答过程】因为向量，， 则，解得：. 故选：B. 2．（5分）（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】. 故选：B. 3．（5分）（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【解答过程】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 4．（5分）（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【解答过程】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·广东湛江·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【解答过程】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 6．（5分）（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 7．（5分）（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【解答过程】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 故选：C． 8．（5分）（24-25高二上·山东济宁·阶段检测）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，得出直线方向向量，利用线面角公式计算即可得. 【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 则，，, 设平面的法向量为， 则，设，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， . 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【解题思路】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【解答过程】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据空间向量的坐标运算可求即可判断A，再判断，的位置关系即可判断B，根据线性运算得到，再由垂直的坐标表示判断C；由夹角公式即可判断D． 【解答过程】由，，得，A正确； 假设，则，显然无解，所以与不平行，B错误； 因为，所以，则，C正确； 因为，所以，D正确． 故选：ACD． 11．（6分）（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BCD 【解题思路】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知，，三点共线，则__________. 【答案】 【解题思路】利用点的坐标可得对应向量的坐标，根据向量共线的坐标表示即可求解. 【解答过程】依题意，，， 因为，，三点共线，即， 所以，所以，，解得， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·江西南昌·期末）已知向量，求_________． 【答案】 【解题思路】利用空间向量夹角坐标公式计算即可. 【解答过程】由题意得，， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    【答案】 【解题思路】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【解答过程】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式. (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【解答过程】（1） （2）； （3）. 16．（15分）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知，. (1)求的值； (2)若，求k的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先计算的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解； （2）根据向量坐标的线性运算计算和，利用即可求解. 【解答过程】（1）由题意有：， 所以； （2）由（1）有，所以， ， 因为， 所以， 所以. 17．（15分）（25-26高二上·全国·课堂例题）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 【答案】(1)， ； (2) 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【解答过程】（1）， . （2）由题意可知，，， ， 所以． 所以 =. 18．（17分）（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【解答过程】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. （2）设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 19．（17分）（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）如图，四边形是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，计算，，利用向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【解答过程】（1）因为四边形为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以，所以，即. （2）设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何（单元自测·基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·山东济南·期末）已知向量，若，则（   ） A．-10 B．-4 C．4 D．10 2．（5分）（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（5分）（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·广东湛江·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·山东济宁·阶段检测）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 10．（6分）（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知，，三点共线，则__________. 13．（5分）（25-26高二上·江西南昌·期末）已知向量，求_________． 14．（5分）（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式. (1)； (2)； (3)． 16．（15分）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知，. (1)求的值； (2)若，求k的值. 17．（15分）（25-26高二上·全国·课堂例题）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 18．（17分）（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 19．（17分）（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）如图，四边形是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $