第一章 空间向量与立体几何单元练习-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何基础巩固卷，精选近三年好题真题，覆盖单元核心知识，适配高二单元复习，助力基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|法向量、四点共面、数量积运算|结合阶段检测真题，考查空间观念与抽象能力| |多选|3/18|空间直角坐标系对称、正方体动点问题|设置开放性选项，培养推理意识与批判性思维| |填空|3/15|向量共面、点面距离|融入课后作业素材，强化数学语言表达| |解答|5/77|线面垂直证明、二面角计算|综合正方体、四棱锥模型，贴合高考命题趋势，提升数学思维与应用能力|

第一章 空间向量与立体几何（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】将“”与“”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“”时，由于可能在平面内，所以无法推出“”. 当“”时，“”. 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题. 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知点，，，分别位于四面体的四个侧面内，点是空间任意一点，则“”是“，，，四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据空间向量共面定理，结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】充分性：因为，且， 由空间向量共面定理可知，，，，四点共面，所以充分性成立， 必要性：若，，，四点共面，， 则， 其中，，只是其中的一种情况，，，也可以是其他和为1的取值， 所以必要性不成立， 综上所述，“”是“，，，四点共面”的充分不必要条件， 故选：A． 3．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案. 【详解】由，，，得，， 设是平面的一个法向量，则即, 取，则，故，则与共线的向量也是法向量， 经验证，只有C正确.. 故选：C． 4．（课时1.1.2空间向量及其运算（02）空间向量的数量积运算-2025-2026学年高二数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019选择性必修第一册））下列各命题中，不正确的命题的个数为（    ） ①；②； ③；④. A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】①根据向量模的计算公式判断；②根据向量数乘运算的结合律判断；③利用向量的分配律运算判断；④利用向量共线判断. 【详解】①是向量模的计算公式，命题正确； ②是向量数乘运算的结合律，命题正确； ③，命题正确； ④与向量共线，与向量共线，命题不正确. 故选：D. 5．（25-26高二上·重庆渝北·阶段检测）在平行六面体，设，，，分别是，，的中点，则（          ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算和数乘运算分别利用表示出，加和即可得到结果. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查利用基底表示向量的问题，涉及到向量的加法运算和数乘运算，属于基础题. 6．（25-26高二上·安徽滁州·期末）在直三棱柱中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，，，若点为的中点，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可以建立空间直角坐标系，用向量求解. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系，则 ,,, ，, 设平面的法向量为，由可取得一个法向量 设直线与平面所成的角为 则 故直线与平面所成的角为 故选: A. 7．（25-26高二上·四川遂宁·期末）如图，已知正方形的边长为 ，分别是 的中点，⊥平面 ，且，则点 到平面的距离为 A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】试题分析：以C为原点CD为x轴CB为y轴CG为z轴建立空间坐标系，所以平面的一个法向量为 考点：空间向量法求点到面的距离 点评：空间向量求解立体几何题目关键是建立合适的坐标系找到相关点的坐标 8．（25-26高一下·湖北·阶段检测）在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】以D原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值即可算出. 【详解】如图， 以D原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 由得，，即， 所以，， 设面的法向量为：，则 取， 取面的法向量为：， 设二面角为， 由得，，则， 所以， 故选：C. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·四川·阶段检测）在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4) B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3) C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5) D．两点间的距离为3 【答案】BCD 【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A，B，C；结合两点间距离公式可求D. 【详解】点关于x轴的对称点的坐标为，故A错误； 点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确； 关于原点的对称的点的坐标为，故C正确； 两点间的距离为，故D正确. 故选：BCD 10．（2026·福建·一模）如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（    ） A．存在点M，使得平面 B．存在点M，使得∥平面 C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为 D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设， 设平面的法向量为， ， 则有， 假设存在点M，使得平面，所以有， 所以有，因此假设不成立，因此选项A不正确； 假设存在点M，使得∥平面， 所以有，所以假设成立，因此选项B正确； 假设存在点M，使得直线与平面所成的角为，， 所以有， 解得，，所以假设不成立，故选项C正确； 假设存在点M，使得平面与平面所成的锐角为， 设平面、平面的法向量分别为、， 显然， 则有， 当时，有 ， 所以有（舍去），或，假设成立，选项D正确， 故选：BCD 11．（25-26高二下·福建厦门·期末）如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（    ） A．存在点P，使得 B．的最小值为有 C．面积的最小值为 D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 【答案】ACD 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 写出各点坐标，其中点坐标，可设（），即可得出. 对于A选项，要使，即，得到关于的方程，解方程即可； 对于B选项，将和沿展开，连接，的最小值即的长度，利用锐角三角函数和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可得到； 对于C选项，设（），利用向量的夹角公式求得，由同角三角函数的平方关系得到，代入三角形面积公式：，结合二次函数的性质讨论最值即可； 对于D选项，利用等体积法得，即可求解. 【详解】由题意得，，即， 又在直三棱柱中，底面，平面，平面， ，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，，所以，，，，，，，则，， 设（），则，解得，，， 所以， 对于A选项，，， 要使，即，解得， 当，即在中点时，，故A选项正确； 对于B选项，如图所示，将和沿展开，如图所示， 连接交于点，可知，当点与点重合时取得最小值， 由题意得，，，，，， 所以，，，， 则， 在中，由余弦定理得， ，则， 所以的最小值为，故B选项错误； 对于C选项，，，设（）， 则，即， 所以， 则， 因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确； 对于D选项， ，故D选项正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的动点的相关线段的位置关系、线段长度、面积和体积的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理及转化思想的应用. 解答本题关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决空间的中的相关问题，同时对于转化思想的应用，利用两点之间线段最短求距离的最值，本题中B选项， 将和沿展开，利用两点之间的线段最短，，求解即可. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二·全国·课后作业）平面内有A、B、C、D、E五点，其中任意三点不共线，O为空间中一点，若满足，，则______． 【答案】/ 【分析】根据空间内四点共面满足的关系式列式，求出即可. 【详解】因为四点共面，且，故，同理，两式相减可得，故，故. 故答案为： 13．（25-26高二上·吉林·期末）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则______. 【答案】 【分析】根据向量运算求得，进而求得. 【详解】 所以， 所以. 故答案为： 14．（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为1的正方体中， （1）点到直线的距离等于____________； （2）直线到平面的距离等于____________． 【答案】 . 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法可得点到直线的距离，利用点到平面的距离公式可得点到平面的距离，进而可得直线到平面的距离. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以点A到直线的距离等于； 由题可知， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以点平面的距离为， 又，所以，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离等于直线到平面的距离为. 故答案为：；. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且．    (1)求向量的坐标； (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意可得，，，， 故，. （2）由（1）可知，， 所以，， ， 所以， 故与所成角的余弦值为. 17．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【详解】（1）略 （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，，， 所以，又，所以. 18．（25-26高一下·吉林延边·期末）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 【答案】(1)在中，因为，， 所以，， 所以，则，即， 又，，， 所以，所以， ，，面， 所以面， 又面，所以面面． (2) 【分析】（1）根据多面体的几何性质，利用余弦定理和勾股定理得出线线垂直关系，进而证明线面垂直，再利用面面垂直判定定理推出结论； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，进而求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为， 则，，，，， ，，， 设是平面的法向量， 则，取， 设，其中． 则， 连接，因平面，平面，平面平面， 故， 取与同向的单位向量， 设是平面的法向量， 则，取， 由平面平面，知，有，解得． 此时， 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 综上所述平面与平面的夹角余弦值为． 19．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高二上学期12月冬季联赛数学试题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，为侧棱上的点，且满足． (1)若，求证：三棱锥的外接球的球心在平面内； (2)记平面与平面的夹角为，若，求的值． 【答案】(1) 因为底面，平面， 所以， 因为底面为正方形，所以， 所以两两互相垂直 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则可得点，，，， 由，得，所以， 记的中点为，则为的外心，且点的坐标为， ， 当时，点的坐标为，则，所以， 所以，即为三棱锥的外接球的球心． 故三棱锥的外接球的球心在平面内． (2)或 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设边长为写出各点坐标，求出中点，验证到四点距离相等，证明为外接球球心且在底面平面内； （2）利用向量表示点坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用二面角余弦公式列方程，化简求解得到的值． 【详解】（1）略 （2）设为平面的一个法向量，则， 因为，， 所以， 取，则，，所以 设为平面PBC的一个法向量，则， 因为，， 所以， 取，则，，所以， 所以， 由题意得，即， 解得或． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知点，，，分别位于四面体的四个侧面内，点是空间任意一点，则“”是“，，，四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 4．（课时1.1.2空间向量及其运算（02）空间向量的数量积运算-2025-2026学年高二数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019选择性必修第一册））下列各命题中，不正确的命题的个数为（    ） ①；②； ③；④. A．0 B．3 C．2 D．1 5．（25-26高二上·重庆渝北·阶段检测）在平行六面体，设，，，分别是，，的中点，则（          ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽滁州·期末）在直三棱柱中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，，，若点为的中点，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·四川遂宁·期末）如图，已知正方形的边长为 ，分别是 的中点，⊥平面 ，且，则点 到平面的距离为 A． B． C． D．1 8．（25-26高一下·湖北·阶段检测）在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·四川·阶段检测）在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4) B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3) C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5) D．两点间的距离为3 10．（2026·福建·一模）如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（    ） A．存在点M，使得平面 B．存在点M，使得∥平面 C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为 D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为 11．（25-26高二下·福建厦门·期末）如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（    ） A．存在点P，使得 B．的最小值为有 C．面积的最小值为 D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二·全国·课后作业）平面内有A、B、C、D、E五点，其中任意三点不共线，O为空间中一点，若满足，，则______． 13．（25-26高二上·吉林·期末）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则______. 14．（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为1的正方体中， （1）点到直线的距离等于____________； （2）直线到平面的距离等于____________． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且．    (1)求向量的坐标； (2)求与所成角的余弦值． 17．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 18．（25-26高一下·吉林延边·期末）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 19．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高二上学期12月冬季联赛数学试题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，为侧棱上的点，且满足． (1)若，求证：三棱锥的外接球的球心在平面内； (2)记平面与平面的夹角为，若，求的值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $