15.3.2 等边三角形同步练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 A分点训练 知识点一 等边三角形的性质 1.等边△ABC的两条角平分线BD 和CE 交于点I,则∠BIC等于 ( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 2.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点 E 在线段AD 上,∠EBC=45°,则∠ACE等于 ( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 3.如图,已知△ABC是等边三角形,点 B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度. 4.如图，△ABC为等边三角形，D为AB 上任意一点，连接CD. (1)在CD左下方,以BD为一边作等边△BDE.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)连接AE,求证:CD=AE. 知识点二 等边三角形的判定 5.下列条件能判定三角形为等边三角形的有 （ ） ①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.有一个外角是120°，另两个外角相等的三角形是( ) A.不等边三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不能确定 7.设a、b、c是三角形的三边长，且 bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中正确的个数是 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A、B两点之间的距离是 cm. 9.如图,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,AB 平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为 E. (1)求证:AD=AE. (2)若 BE∥AC,试判断△ABC 的形状,并说明理由. B运用积累 10.如图,△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且 PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°,②AD∥BC,③PC⊥AB,④四边形ABCD 是轴对称图形.其中正确的个数为 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图，过边长为1 的等边△ABC 的边AB 上一点P,作 PE⊥AC 于 E,Q 为 BC 延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC 边于D,则DE 的长为( ) A. B. C. D.不能确定 12.如图,在等边△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，作 BO、CO的垂直平分线分别交 BC于点E 和点 F.小明说:“E、F是BC 的三等分点.”你同意他的说法吗?请说明理由. 13.已知△ABC是等边三角形，点 D、E分别在AC、BC上,且CD=BE. (1)求证:△ABE≌△BCD; (2)求∠AFB 的度数. C综合探究 14.点 P 为等边△ABC 的边 AB 上一点,点 Q 为BC 延长线上一点,且 PA=CQ,连接PQ交AC边于点D. (1)求证:PD=DQ. (2)如图2,过点 P作PE⊥AC于E,若AB=6,求DE的长. 第2课时 含 30°角的直角三角形的性质 A分点训练 知识点 含 30°角的直角三角形的性质 1.如图，是屋架设计图的一部分，立柱 BC 垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则立柱BC的长度为 ( ) A.4m B.8m C.10m D.16m 2.如图,在 Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB 于点M,过点M作MN∥BC交AC 于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( ) A.4 B.6 C.4 D.8 3.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB 交BC 于点 E,BE=4,求AC的长. 4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF 为AB 的垂直平分线,EF 交BC 于F,交 AB 于E,求证： B运用积累 5.如图是某超市一层到二层滚梯示意图.其中AB、CD 分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12m，则乘滚梯从点 B 到点C 上升的高度h 约为 m. 6.如图,已知∠BAC=30°,AD平分∠BAC,DE⊥AC于点E,DH⊥AB于点H,DF∥AC,交AB于点F.若DF=10 cm,求DE 的长. 7.如图,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,B、D分别在射线AN、AM上. (1)在图1中,当∠ABC=∠ADC=90°时,求证:AD+AB=AC. (2)若把(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,其他条件不变,如图2所示，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 第1课时 等边三角形的性质与判定 1. C 2. A 3.15 4.解:(1)如图: (2)∵AB=BC,∠CBD=∠ABE = 60°, BD = BE,∴△BCD≌△BAE(SAS),∴CD=AE. 5. B 6. C 7. B 8.18 9.(1)证明:∵AB=AC,点 D是 BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.∵AE⊥BE,∴∠E=90°=∠ADB.∵AB 平分∠DAE,∴∠DAB =∠EAB. ∴AD=AE. (2)解:△ABC是等边三角形.理由:∵BE∥AC,∴∠EAC=90°.∵AB=AC,点D是 BC的中点,∴∠BAD=∠CAD,∴∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°,∴∠BAC=2∠BAD=60°,∴△ABC是等边三角形. 10. D 11. B 12.解:同意.理由:连接OE、OF,可得BE=OE,CF=OF,△OEF 是等边三角形,从而 BE=EF=FC. 13.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠C= ∠ABE = 60°. 在 △ABE 和 △BCD 中, (2)解:∵△ABE≌△BCD,∴∠BAE=∠CBD.∵∠AFD=∠ABF+∠BAE,∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°,∴∠AFB=180°-60°=120°. 14.(1)证明:如图1所示,过点 P作PF∥BC交AC 于点F.∵△ABC是等边三角形,∴△APF也是等边三角形,∴∠APF=∠BCA=60°,AP=PF=AF=CQ,∴∠DFP =∠DCQ,∠FDP =∠CDQ. 在△PDF和△QDC中 ≌△QDC(AAS),∴PD=DQ; (2)解:如图2所示,过点 P 作 PF∥BC交 AC于点F.由(1)知△PDF≌△QDC,∴FD=CD.∵△APF是等边三角形且 PE⊥AC,∴AE=EF,∴EF+FD= 第2课时 含 30°角的直角三角形的性质 1. A 2. B 3.解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE=4,∴∠BAE=∠B=15°,∴∠AEC=∠BAE+∠B=15°+15°= 4.证明:连接AF.∵EF为AB 的垂直平分线,∴BF=AF,∠B=∠BAF.∵AB=AC,∠BAC= 120°,∴∠B=∠C=30°,∠AFC=2∠B=60°,∴∠CAF= 5.6 6.解:∵∠BAC=30°,AD平分∠BAC,∴∠BAG=∠CAG=15°.∵DF∥AC,∴∠FDA=∠CAG=15°,∴∠DFH=30°.又1 AD平分∠BAC,DE⊥AC,DH⊥AB,∴DE=DH=5cm . 7.(1)证明:∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,∴∠DAC=∠BAC= 60°.∵∠ABC= ∠ADC = 90°,∴ 在 Rt△ACD 中,∠DCA=30°,Rt△ACB 中,∠BCA=30°,∴AC=2AD,AC=2AB,∴AD+AB=AC. (2)解:结论AD+AB=AC成立.理由如下:在AN上截取AE=AC,连接CE.∵∠BAC=60°,∴△CAE为等边三角形,∴AC=CE,∠AEC=60°.∵∠DAC=60°,∴∠DAC=∠AEC.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠EBC=180°,∴∠ADC=∠EBC,∴△ADC≌△EBC,∴DC=BC,DA=BE,∴AD+AB=AB+BE=AE,∴AD+AB=AC. 学科网（北京）股份有限公司 $