2.3.2　两点间的距离公式同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕“两点间的距离公式”，分“基础巩固”“更上层楼”“探究发现”三层，从公式直接应用到综合拓展，适配新授课知识巩固与能力提升，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|公式直接应用、几何意义、对称与最值基础|单选、填空、解答题结合，如坐标求距离（1-3题）、对称点计算（5题）| |更上层楼|公式灵活应用（反射、最短路径）|情境化问题，如光线反射路程（11题）、x轴上最短距离和（12题）| |探究发现|代数问题几何化、定理证明|华罗庚名言引入，如距离和最小值（15题）、中线定理证明（16题）|

2.3.2　两点间的距离公式课时作业(二十一) 1．若A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．3 D．2 2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 3．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A．2 B．3 C. D. 4．【多选题】对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)间的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)间的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)间的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)间的距离 5．若点P(3，4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1 C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2 6．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 7．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)之间的距离为13，则Q点的坐标为________． 8．已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)，则△ABC的形状为________；△ABC的面积为________． 9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值． 10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 11．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程是(　　) A．5 B．2 C．5 D．10 12．已知A(1，4)，B(8，3)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值的点P的坐标是(　　) A．(4，0) B．(5，0) C．(－5，0) D．(－4，0) 13．在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为________． 14．已知x轴上一点P，若它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则点P的坐标为________． 15．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A．2 B．5 C．4 D．8 16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(二十一) 1．若A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．3 D．2 答案　D 2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 答案　B 3．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　C 4．【多选题】对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)间的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)间的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)间的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)间的距离 答案　BCD 5．若点P(3，4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1 C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2 答案　D 6．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 7．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)之间的距离为13，则Q点的坐标为________． 答案　(10，0)或(0，0) 8．已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)，则△ABC的形状为________；△ABC的面积为________． 答案　直角三角形　5 解析　因为|AB|＝＝＝2，|AC|＝＝，|BC|＝＝＝5，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．所以S△ABC＝|AB|·|AC|＝5. 9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值． 解析　由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝，则B，故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝，解得a＝±2. 10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 解析　设B(x，6－2x)， ∵|AB|＝5， ∴＝5， 化为x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5. ∴B(1，4)或B(5，－4)． ∴直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0. 11．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程是(　　) A．5 B．2 C．5 D．10 答案　C 12．已知A(1，4)，B(8，3)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值的点P的坐标是(　　) A．(4，0) B．(5，0) C．(－5，0) D．(－4，0) 答案　B 解析　∵A(1，4)关于x轴的对称点为A′(1，－4)，连接A′B，∴A′B所在的直线方程为y＝x－5，令y＝0，得x＝5，∴P(5，0)． 13．在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为________． 答案　10 解析　易得直线l与直线m垂直，点P(0，1)，Q(－3，0)，连接PQ，则|PQ|＝.当点M与点P重合时，|MP|2＋|MQ|2＝0＋|PQ|2＝10.当点M与Q重合时，|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＋0＝10.当点M不与点P，Q重合时，因为MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10. 14．已知x轴上一点P，若它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则点P的坐标为________． 答案　 15．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A．2 B．5 C．4 D．8 答案　B 解析　∵f(x)＝＋＝＋，∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和．设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′的坐标为(－2，－4)．连接MA，MB，MA′，A′B，要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|＝|MA′|＋|MB|≥|A′B|＝ ＝5，当M，A′，B三点共线时取等号，即f(x)＝＋的最小值为5.故选B. 16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 证明　 如图所示，以点D为坐标原点，AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0)． 因为|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $