15.2 画轴对称的图形 第2课时 用坐标表示轴对称 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学学案聚焦“用坐标表示轴对称”核心知识点，通过复习轴对称图形性质引入，梳理点(x,y)关于x轴(y轴)对称的坐标规律，以“找、求、描、连”四步法为学习支架，帮助学生从点的对称过渡到图形的轴对称变换。 资料亮点在于结合实例与分层练习，培养学生抽象能力（符号意识）和几何直观，通过坐标规律推导与图形绘制，发展推理意识与应用意识，习题从基础计算到综合作图，有效提升用数学语言表达空间形式的能力。

学案：15.2 画轴对称的图形 第2课时 用坐标表示轴对称 人教版八年级上册 第十五章 轴对称 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 能利用坐标变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于坐标轴对称的图形，体会数形结合的思想。 2. 通过总结轴对称变换引起的点的坐标变化规律，培养观察、归纳的能力，掌握点(x, y)关于x轴和y轴对称的点的坐标规律。 二、知识梳理 1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 项目 内容 点(x, y)关于x轴对称 对称点的坐标为 (x, −y) 规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数。 点(x, y)关于y轴对称 对称点的坐标为 (−x, y) 规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数。 2. 在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤（四步法） 步骤 说明 找 在平面直角坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点），写出它们的坐标。 求 利用关于坐标轴对称的点的坐标规律，求出这些特殊点的对称点的坐标。 描 根据所求坐标，在平面直角坐标系中描出各对称点。 连 按原图形的顺序依次连接这些对称点，即得所求的轴对称图形。 3. 例2参考——四边形ABCD关于坐标轴对称的顶点坐标 顶点 关于y轴对称的顶点（取−x） 关于x轴对称的顶点（取−y） A(−5, 1) A′(5, 1) A″(−5, −1) B(−2, 1) B′(2, 1) B″(−2, −1) C(−2, 5) C′(2, 5) C″(−2, −5) D(−5, 4) D′(5, 4) D″(−5, −4) 三、课堂练习 练习1（教材P75练习 第1题） 分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标： (2, 6), (−1, −2), (−1, 3), (4, −2), (−1, 0) 解： 关于x轴对称的点的坐标：       关于y轴对称的点的坐标：       练习2（教材P75练习 第2题） 如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1, −2)，写出点B的坐标。             练习3（例2） 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(−5, 1)，B(−2, 1)，C(−2, 5)，D(−5, 4)，画出与四边形ABCD关于y轴对称的图形。                 练习4（教材P75练习 第3题） 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形。 △ABC三个顶点的坐标分别为：A(−4, 1)，B(−1, −1)，C(−3, 2)                       练习5（随堂演练1） 在平面直角坐标系中，点P(3, 1)关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. (3, 1) B. (3, −1) C. (−3, 1) D. (−3, −1)       练习6（随堂演练2） 四盏灯笼的位置如图所示。已知A，B，C，D的坐标分别是(−1, 6)，(1, 6)，(2, 6)，(3.5, 6)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ） A. 将B向左平移4.5个单位长度 B. 将C向左平移4个单位长度 C. 将D向左平移5.5个单位长度 D. 将C向左平移3.5个单位长度         练习7（随堂演练3） 平面直角坐标系内的点A(m+1, 5)与点B(3, n)关于y轴对称，则m = ____，n = ____。           练习8（随堂演练4 综合题） 如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(3, −2)，B(1, −4)，C(5, −5)。已知△ABC关于x轴对称的图形为△A₁B₁C₁，点A，B，C的对称点分别为A₁，B₁，C₁。 (1) 请直接写出△A₁B₁C₁三个顶点的坐标；     (2) 画出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁；                 (3) 求△A₁B₁C₁的面积。             四、参考答案 练习1 答案 解：分别写出各点关于x轴和y轴对称的点的坐标： 关于x轴对称（横坐标不变，纵坐标取相反数）： (2, 6) → (2, −6); (−1, −2) → (−1, 2); (−1, 3) → (−1, −3); (4, −2) → (4, 2); (−1, 0) → (−1, 0) 关于y轴对称（纵坐标不变，横坐标取相反数）： (2, 6) → (−2, 6); (−1, −2) → (1, −2); (−1, 3) → (1, 3); (4, −2) → (−4, −2); (−1, 0) → (1, 0) 解析：点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, −y)，关于y轴对称的点的坐标为(−x, y)。注意：位于坐标轴上的点，其对称点仍在坐标轴上。(−1, 0)在x轴上，关于x轴对称的点为其自身。 练习2 答案 解：△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1, −2)。 根据关于x轴对称的点的坐标规律：点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, −y)， 所以点A(1, −2)关于x轴对称的点B的坐标为(1, 2)。 答：B(1, 2)。 练习3 答案 解：四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(−5, 1)，B(−2, 1)，C(−2, 5)，D(−5, 4)。 根据点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(−x, y)，'求出各顶点关于y轴的对称点： A′(5, 1), B′(2, 1), C′(2, 5), D′(5, 4) 依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，即得与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A′B′C′D′。 同理，若要求关于x轴对称的图形，则各顶点关于x轴的对称点为： A″(−5, −1), B″(−2, −1), C″(−2, −5), D″(−5, −4) 依次连接即得关于x轴对称的四边形A″B″C″D″。 练习4 答案 解：△ABC三个顶点的坐标分别为A(−4, 1)，B(−1, −1)，C(−3, 2)。 (1) 关于x轴对称（横坐标不变，纵坐标取相反数）： A₁(−4, −1), B₁(−1, 1), C₁(−3, −2) 在坐标系中描出A₁，B₁，C₁，依次连接A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁，即得△A₁B₁C₁。 (2) 关于y轴对称（纵坐标不变，横坐标取相反数）： A₂(4, 1), B₂(1, −1), C₂(3, 2) 在坐标系中描出A₂，B₂，C₂，依次连接A₂B₂，B₂C₂，C₂A₂，即得△A₂B₂C₂。 解析：画轴对称图形的关键是求出各顶点的对称点坐标，然后描点、连线。 练习5 答案 答案：B 解析：点P(3, 1)关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数，得(3, −1)。 故选B。 练习6 答案 答案：C 解析：要使y轴两侧的灯笼对称，需要将y轴右侧的一盏灯笼平移到与左侧某盏灯笼关于y轴对称的位置。 A(−1, 6)关于y轴对称的点的坐标为(1, 6)，即B的当前位置，所以B已经与A关于y轴对称。 现在需要另选一盏灯笼平移。观察选项： 将D(3.5, 6)向左平移5.5个单位长度，得(−2, 6)，此时若将C(2, 6)保持不动，则C(2, 6)与(−2, 6)不关于y轴对称。 实际上，需要将D(3.5, 6)向左平移5.5个单位长度到(−2, 6)，使得在y轴左侧有一个灯笼与C(2, 6)关于y轴对称。即C(2, 6)关于y轴的对称点为(−2, 6)，D平移后恰好到达该位置。 将D向左平移5.5个单位长度：3.5 − 5.5 = −2，坐标为(−2, 6)，与C(2, 6)关于y轴对称。 故选C。 练习7 答案 答案：m = −4, n = 5 解析：点A(m+1, 5)与点B(3, n)关于y轴对称。 根据关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。 所以： 纵坐标：5 = n，即 n = 5。 横坐标：m + 1 = −3，即 m = −4。 经检验：当m = −4，n = 5时，A(−3, 5)与B(3, 5)关于y轴对称，正确。 练习8 答案 解：△ABC的三个顶点坐标为A(3, −2)，B(1, −4)，C(5, −5)。 (1) △ABC关于x轴对称，各顶点纵坐标取相反数，横坐标不变： A₁(3, 2), B₁(1, 4), C₁(5, 5) (2) 在坐标系中描出A₁(3, 2)，B₁(1, 4)，C₁(5, 5)，依次连接A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁，即得△A₁B₁C₁。 (3) 求△A₁B₁C₁的面积。 方法一（割补法）：用矩形面积减去三个直角三角形的面积。 包围△A₁B₁C₁的最小矩形顶点为(1, 2)和(5, 5)， 矩形面积 = (5 − 1) × (5 − 2) = 4 × 3 = 12。 三个直角三角形的面积： （左下角以A₁、B₁为斜边的直角三角形） （右下角以B₁、C₁为斜边的直角三角形） （上方以A₁、C₁为斜边的直角三角形） △A₁B₁C₁的面积 = 12 − 2 − 2 − 3 = 5 方法二（坐标公式法）：利用三角形面积的行列式公式。 答：△A₁B₁C₁的面积为5。 学科网（北京）股份有限公司 $