15.2 画轴对称的图形 第2课时 用坐标表示轴对称 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“用坐标表示轴对称”核心知识，涵盖点关于x轴（横不变纵相反）和y轴（纵不变横相反）对称的坐标规律，以及“找-求-描-连”四步法画对称图形。通过老北京城中轴线情境导入，衔接上一课时“三步法”画轴对称图形，从几何直观过渡到代数表达，搭建学习支架。 本资料以核心素养为导向，通过“画图-观察-猜想-验证-归纳”探究过程培养推理能力，结合老北京城情境渗透几何直观，综合题用割补法和鞋带公式提升应用意识。讲练结合、探究归纳的方法帮助学生掌握规律，为教师提供清晰教学脉络，助力学生发展数形结合能力和数学思维。

教案：15.2 画轴对称的图形 第2课时 用坐标表示轴对称 课题 15.2 画轴对称的图形 第2课时 用坐标表示轴对称 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十五章 教学方法 讲练结合、启发引导、探究归纳、动手操作 教学用具 多媒体课件、直尺、坐标纸、方格纸 教材分析 本节课是人教版八年级上册第十五章"轴对称"中"画轴对称的图形"的第2课时。学生在第1课时已经掌握了画轴对称图形的基本方法——三步法（找特殊点→画对称点→依次连接），理解了"对称轴垂直平分对称点连线"这一核心性质。本节课在此基础上，将轴对称与平面直角坐标系相结合，从"数"的角度研究轴对称——探索点关于坐标轴对称的坐标变化规律，并利用规律在坐标系中画轴对称图形。这是从"几何直观"到"代数表达"的升华，也是后续学习函数图像对称性的重要基础。同时，本节课蕴含了"数形结合"的数学思想，是培养学生几何直观和推理能力的重要载体。 学情分析 八年级学生已经学习了平面直角坐标系，掌握了用坐标表示点的位置，也具备了画轴对称图形的基本操作能力。但学生可能存在以下困难：第一，关于x轴和关于y轴对称的坐标变化规律容易混淆，需要借助图形直观帮助学生区分；第二，"互为相反数"的概念在具体坐标值中的运用还不够熟练，尤其是负数的相反数（如-2的相反数是2）容易出错；第三，利用坐标规律在坐标系中作轴对称图形时，学生可能不习惯用坐标值来确定对称点的位置，仍倾向于用尺规作图的方法。教学中需要通过探究活动，让学生经历"画图→观察→猜想→验证→归纳"的完整过程，深刻理解坐标变化规律。 一、核心素养目标 1. 几何直观 通过在平面直角坐标系中描点、画对称点、观察坐标变化的过程，直观感受点关于坐标轴对称时坐标的变化规律。能借助坐标系这一"数形结合"的工具，将图形的对称关系转化为坐标的变化关系，发展用"数"的眼光观察"形"的能力。 2. 空间观念 能根据坐标变化规律，在脑海中想象并确定一个图形关于坐标轴对称后的位置和形状。能理解"用坐标表示轴对称"的实质——将几何图形的对称变换转化为点的坐标变化，逐步建立"形→数→形"的思维模式。 3. 推理能力 经历"画图→观察→猜想→验证→归纳"的探究过程，从具体点的坐标变化中发现一般规律，并用数学语言准确表达。能运用归纳出的规律解决新的问题，体会从特殊到一般、再从一般到特殊的数学推理方法。 4. 应用意识 能运用坐标变化规律解决实际问题中的轴对称作图，如补全对称图形、在坐标系中画出对称图形。能利用坐标规律简化作图过程，体会数学知识在实际应用中的价值。能结合面积计算，综合运用坐标规律解决复杂问题。 二、教学重难点 教学重点 1. 掌握点(x,y)关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即对称点为(x,-y)。 2. 掌握点(x,y)关于y轴对称的点的坐标变化规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即对称点为(-x,y)。 3. 能利用坐标变化规律，在平面直角坐标系中画出简单图形（三角形、四边形等）关于坐标轴的对称图形。 教学难点 1. 关于x轴和关于y轴对称的坐标变化规律的区分——学生容易将"横坐标不变"与"纵坐标不变"混淆，需要通过图形直观和反复练习加以区分巩固。 2. 多次轴对称变换的坐标变化——一个图形先关于y轴对称再关于x轴对称，坐标如何变化？学生需要理解每次变换都是独立的坐标变化，可以逐步计算。 3. 在综合题中灵活运用坐标规律解决面积计算问题——需要将坐标规律与三角形面积公式（或割补法）相结合，计算步骤较多，对学生的综合能力要求较高。 三、教学过程 环节一：情境导入（3分钟） 【教师活动】同学们，上一节课我们学习了用尺规作图的方法画轴对称的图形，掌握了"三步法"——找特殊点、画对称点、依次连接。今天，我们把轴对称放到平面直角坐标系中来研究，看看点和图形在坐标系中关于坐标轴对称时，坐标会发生怎样的变化。 【教师活动】（展示课件——老北京城示意图）大家看，这是一张老北京城的示意图。西直门和东直门分别位于中轴线的两侧，它们关于中轴线对称。在平面直角坐标系中，如果以中轴线为y轴，那么西直门和东直门的坐标有什么关系呢？ 【学生活动】我观察发现，西直门和东直门关于中轴线（y轴）对称，如果西直门在y轴左侧，东直门就在y轴右侧，它们到y轴的距离相等。所以它们的纵坐标应该相同，横坐标应该互为相反数。 【教师活动】大家的直觉很准确！今天我们就来系统地研究——在平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，以及如何利用这些规律画轴对称的图形。这就是本节课的学习内容：15.2 画轴对称的图形 第2课时 用坐标表示轴对称。 【知识点】情境导入：老北京城示意图 背景：老北京城中轴线——西直门和东直门关于中轴线对称。 问题：在平面直角坐标系中，以中轴线为y轴，西直门和东直门的坐标有什么关系？ 猜想：关于y轴对称的两个点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。 引出课题：15.2 画轴对称的图形 第2课时 用坐标表示轴对称。 学习目标： 1. 掌握点关于坐标轴对称的坐标变化规律。 2. 能利用规律在坐标系中画出轴对称图形。 【设计意图】以老北京城中轴线为情境，将抽象的坐标系知识与真实的历史文化相结合，激发学生的学习兴趣。通过"西直门和东直门关于中轴线对称"这一具体问题，引导学生从几何直观出发，初步猜想关于y轴对称的坐标规律，为后续的探究活动做好铺垫。同时，明确本节课的学习目标，让学生带着目标进入学习。 【过渡语】刚才我们从老北京城示意图中猜想了关于y轴对称的坐标规律，这个猜想对吗？还有其他情况吗？让我们通过系统的探究来验证。 环节二：探究新知（15分钟） 一、探究关于坐标轴对称的点的坐标规律 【教师活动】（展示课件）请同学们在平面直角坐标系中描出以下各点：A(2,3)，B(-4,2)，C(3,-4)，D(-1,-1)，E(4,0)，F(0,-3)。然后分别画出每个点关于x轴和关于y轴的对称点，观察对称点的坐标，看看有什么规律。 【教师活动】请大家先描出这6个点，再分别画出它们关于x轴的对称点，将对称点的坐标填入表格中。 【学生活动】我先在坐标系中描出A(2,3)，然后画A关于x轴的对称点——过A作x轴的垂线，在x轴的另一侧截取等距，得到对称点A1。A1的坐标是(2,-3)。我发现A和A1的横坐标相同（都是2），纵坐标互为相反数（3和-3）。 【教师活动】观察得很仔细！请继续完成其余5个点关于x轴的对称点，看看是否都有同样的规律。 【学生活动】我把6个点关于x轴的对称点都画出来了，填入表格后发现：所有点关于x轴对称时，横坐标都不变，纵坐标都变为原来的相反数。比如B(-4,2)关于x轴的对称点是(-4,-2)，C(3,-4)关于x轴的对称点是(3,4)，都符合这个规律。 【教师活动】非常好！通过这个探究，我们发现了关于x轴对称的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数。那么关于y轴对称呢？请同学们用同样的方法探究。 【学生活动】我画了这6个点关于y轴的对称点，发现规律是：纵坐标不变，横坐标互为相反数。比如A(2,3)关于y轴的对称点是(-2,3)，B(-4,2)关于y轴的对称点是(4,2)，C(3,-4)关于y轴的对称点是(-3,-4)。 【教师活动】总结得非常准确！现在请大家把两个规律用数学语言概括出来。 【学生活动】点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)——横坐标不变，纵坐标变为相反数。点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)——纵坐标不变，横坐标变为相反数。 【教师活动】完全正确！这就是本节课的核心规律。请同学们注意两个规律的区分：关于x轴对称，"x"不变，y变；关于y轴对称，"y"不变，x变。可以这样记忆：关于谁对称，谁就不变，另一个变相反数。 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标变化规律 一、关于x轴对称： 点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)。 规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数。 记忆口诀：关于x轴对称，x不变，y变相反。 二、关于y轴对称： 点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y)。 规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数。 记忆口诀：关于y轴对称，y不变，x变相反。 三、关于原点对称（拓展）： 点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y)。 规律：横坐标、纵坐标都互为相反数。 记忆技巧：关于谁对称，谁就不变，另一个变相反数。 【知识要点】关于坐标轴对称的坐标规律——"谁对称谁不变"关于x轴对称：点(x,y) → (x,-y) 横坐标x不变，纵坐标y变为相反数。 几何解释：对称轴是x轴（水平线），上下对称，横坐标不受影响。关于y轴对称：点(x,y) → (-x,y) 纵坐标y不变，横坐标x变为相反数。 几何解释：对称轴是y轴（竖直线），左右对称，纵坐标不受影响。核心口诀：关于谁对称，谁就不变，另一个变相反数。 【易错防范】横纵坐标变化别搞混易错1：关于x轴对称，把纵坐标不变、横坐标变。 纠正：x轴对称是上下翻折，横坐标（水平位置）不变，纵坐标（竖直位置）相反。易错2：关于y轴对称，把横坐标不变、纵坐标变。 纠正：y轴对称是左右翻折，纵坐标（竖直位置）不变，横坐标（水平位置）相反。易错3：互为相反数时，负数的相反数是正数，正数的相反数是负数。 例如：纵坐标-3的相反数是3，不要写成-3。 再如：横坐标-4的相反数是4，不要写成-4。易错4：点(0,0)在坐标轴上，关于x轴和y轴的对称点都是(0,0)本身。 0的相反数还是0，所以(0,0)关于坐标轴的对称点都是它自己。 【设计意图】通过让学生动手描点、画对称点、观察坐标变化、猜想规律、验证猜想、归纳结论的完整探究过程，培养学生的探究能力和归纳推理能力。从具体的6个点出发，每个点关于x轴和y轴分别画出对称点，通过表格对比，让学生自主发现规律。这一过程体现了"从特殊到一般"的数学思想方法。同时，通过"谁对称谁不变"的记忆口诀帮助学生快速准确地区分两个规律。 【过渡语】坐标规律掌握了，我们来做两道针对训练，检验一下。 环节三：例题精讲（10分钟） 一、针对训练1 —— 教材P75练习第1题 【教师活动】（展示课件）教材P75练习第1题：分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。 【教师活动】题目中的6个点是：A(-2,0)，B(2,-3)，C(-4,-2)，D(-3,2)，E(0,-1)，F(2,3)。请同学们先独立完成，注意区分关于x轴和关于y轴两种情况的规律。 【学生活动】我按照规律来求：关于x轴对称——横坐标不变，纵坐标变相反数；关于y轴对称——纵坐标不变，横坐标变相反数。 【学生活动】A(-2,0)：关于x轴对称是(-2,0)，关于y轴对称是(2,0)。B(2,-3)：关于x轴对称是(2,3)，关于y轴对称是(-2,-3)。C(-4,-2)：关于x轴对称是(-4,2)，关于y轴对称是(4,-2)。D(-3,2)：关于x轴对称是(-3,-2)，关于y轴对称是(3,2)。E(0,-1)：关于x轴对称是(0,1)，关于y轴对称是(0,-1)。F(2,3)：关于x轴对称是(2,-3)，关于y轴对称是(-2,3)。 【教师活动】非常正确！请同学们注意特殊点：A(-2,0)在x轴上，关于x轴的对称点就是它自己；E(0,-1)在y轴上，关于y轴的对称点也是它自己。这是因为坐标轴上的点，在对应的坐标轴上对称时，对称点就是自身。 【答案】答案：A(-2,0)关于x轴→(-2,0)，关于y轴→(2,0)；B(2,-3)关于x轴→(2,3)，关于y轴→(-2,-3)；C(-4,-2)关于x轴→(-4,2)，关于y轴→(4,-2)；D(-3,2)关于x轴→(-3,-2)，关于y轴→(3,2)；E(0,-1)关于x轴→(0,1)，关于y轴→(0,-1)；F(2,3)关于x轴→(2,-3)，关于y轴→(-2,3)。 【知识点】针对训练1 解题要点 题目：教材P75练习第1题——写出6个点关于x轴和y轴对称的坐标。 方法：直接运用坐标变化规律。 关于x轴：(x,y) → (x,-y)，横坐标不变，纵坐标变相反数。 关于y轴：(x,y) → (-x,y)，纵坐标不变，横坐标变相反数。 特殊点： (1) 点在x轴上（纵坐标为0）：关于x轴的对称点是自身。 (2) 点在y轴上（横坐标为0）：关于y轴的对称点是自身。 注意：互为相反数——正变负，负变正，0的相反数是0。 【设计意图】针对训练1直接考查坐标变化规律的运用，题型基础，帮助学生巩固新学的规律。6个点涵盖了不同象限和坐标轴上的点，让学生全面练习。特别关注了坐标轴上的特殊点，帮助学生理解"0的相反数还是0"这一特殊情况。 【过渡语】接下来看一道需要逆向思考的题目——已知对称点和对称轴，求原点的坐标。 二、针对训练2 —— 教材P75练习第2题 【教师活动】（展示课件）教材P75练习第2题：如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1,-2)，写出点B的坐标。 【教师活动】这道题与第1题相反——不是已知原坐标求对称点，而是已知对称图形和对称轴，求对应点的坐标。请同学们思考：△ABO关于x轴对称，A和B是什么关系？ 【学生活动】△ABO关于x轴对称，说明A和B是一对对称点，它们关于x轴对称。对称轴是x轴，所以A和B的横坐标相同，纵坐标互为相反数。既然A的坐标是(1,-2)，那么B的横坐标也是1，纵坐标是-2的相反数即2，所以B的坐标是(1,2)。 【教师活动】分析得非常到位！这道题的关键是判断出A和B是一对对称点，然后运用关于x轴对称的坐标规律——横坐标不变，纵坐标互为相反数。从A(1,-2)出发，横坐标1不变，纵坐标-2变为相反数2，得到B(1,2)。 【答案】答案：B(1,2)。解析：因为△ABO关于x轴对称，所以A与B关于x轴对称。由关于x轴对称的规律可知，横坐标相同，纵坐标互为相反数。A(1,-2)，所以B(1,2)。 【知识点】针对训练2 解题要点 题目：教材P75练习第2题——△ABO关于x轴对称，A(1,-2)，求B坐标。 分析： (1) △ABO关于x轴对称 → A和B是一对对称点。 (2) 对称轴是x轴 → 横坐标相同，纵坐标互为相反数。 (3) A(1,-2) → 横坐标1不变，纵坐标-2变2 → B(1,2)。 关键：先判断对称关系，再运用规律。 逆向思维：已知对称图形和对称轴，求对应点坐标。 【设计意图】针对训练2考查逆向思维——已知对称图形和对称轴，求对应点坐标。这道题要求学生先判断图形中的对称关系（A和B是对称点），再运用坐标规律求解。通过逆向思维训练，帮助学生更深刻地理解坐标变化规律，而不是机械记忆。 【过渡语】基础训练完成了，接下来我们看教材中的例题——四边形关于坐标轴的对称变换。 三、例2 —— 四边形ABCD先关于y轴对称，再关于x轴对称 【教师活动】（展示课件）例2：如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1)，B(-2,1)，C(-2,5)，D(-5,4)。 【教师活动】问题(1)：画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1，并写出各顶点坐标。 【教师活动】请同学们运用关于y轴对称的坐标规律——纵坐标不变，横坐标互为相反数，直接求出A1、B1、C1、D1的坐标，然后在坐标系中描点、连线。 【学生活动】关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数：A(-5,1)→A1(5,1)；B(-2,1)→B1(2,1)；C(-2,5)→C1(2,5)；D(-5,4)→D1(5,4)。然后我在坐标系中描出这四个点，依次连接，得到四边形A1B1C1D1。 【教师活动】正确！注意直接用坐标规律求对称点，比用尺规作图快得多，而且坐标值精确。这就是用坐标表示轴对称的优势——"数"与"形"的结合。 【教师活动】问题(2)：再画出四边形A1B1C1D1关于x轴对称的四边形A2B2C2D2，并写出各顶点坐标。 【教师活动】这次是关于x轴对称，请同学们运用关于x轴对称的坐标规律——横坐标不变，纵坐标互为相反数，从A1B1C1D1的坐标出发，求出A2B2C2D2的坐标。 【学生活动】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数：A1(5,1)→A2(5,-1)；B1(2,1)→B2(2,-1)；C1(2,5)→C2(2,-5)；D1(5,4)→D2(5,-4)。描点、连线后得到四边形A2B2C2D2。 【教师活动】做得很好！请同学们观察：四边形ABCD经过两次轴对称变换（先关于y轴，再关于x轴），得到的四边形A2B2C2D2与原来的四边形ABCD的坐标有什么关系？ 【学生活动】我比较了A(-5,1)和A2(5,-1)，发现横坐标和纵坐标都变成了相反数。也就是说，先关于y轴对称再关于x轴对称，相当于关于原点对称！ 【教师活动】这个发现非常重要！先关于y轴对称（横坐标变相反数），再关于x轴对称（纵坐标变相反数），最终横坐标和纵坐标都变为了相反数，即(x,y)→(-x,y)→(-x,-y)，这正好是关于原点对称的坐标变化规律。 【知识点】例2 解题要点 题目：四边形ABCD顶点A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4)。 (1) 关于y轴对称得四边形A1B1C1D1： A1(5,1), B1(2,1), C1(2,5), D1(5,4) 规律：纵坐标不变，横坐标变相反数。 (2) 关于x轴对称得四边形A2B2C2D2： A2(5,-1), B2(2,-1), C2(2,-5), D2(5,-4) 规律：横坐标不变，纵坐标变相反数。 观察发现：先关于y轴对称再关于x轴对称 → 横纵坐标都变相反数 → 相当于关于原点对称。 即 (x,y) → (-x,y) → (-x,-y)。 结论：两次轴对称变换可以复合，最终效果是坐标按照变换顺序逐步变化。 【规律总结】多次轴对称变换的坐标变化一次变换： 关于x轴：(x,y) → (x,-y) 关于y轴：(x,y) → (-x,y)两次变换： 先x轴后y轴：(x,y) → (x,-y) → (-x,-y)（关于原点对称） 先y轴后x轴：(x,y) → (-x,y) → (-x,-y)（关于原点对称） 注意：顺序不同，中间结果不同，但最终结果相同。多次变换：每次变换独立应用对应的坐标变化规律，逐步计算即可。 【设计意图】例2是本节课的核心例题，通过四边形ABCD的两次轴对称变换，既巩固了坐标变化规律，又引导学生发现"两次轴对称变换的复合效果"。从"关于y轴对称"到"再关于x轴对称"，学生经历两次坐标变化，最终发现"关于原点对称"的规律。这一过程体现了数学的探究性和发现性，也训练了学生处理多次变换的思维能力。 【过渡语】从例2的作图中，我们可以归纳出在坐标系中画轴对称图形的一般方法。 四、归纳：在坐标系中画轴对称图形的一般方法——四步法 【教师活动】（展示课件）结合前面的探究和例2，请同学们归纳：在平面直角坐标系中，画一个图形关于坐标轴的对称图形，一般有哪几步？ 【学生活动】我归纳出四步：第一步"找"——找出原图形各顶点的坐标；第二步"求"——根据坐标规律求出对称点的坐标；第三步"描"——在坐标系中描出各对称点；第四步"连"——依次连接各对称点，得到对称图形。可以简记为"找→求→描→连"。 【教师活动】归纳得非常精炼！与第1课时的三步法（找→画→连）相比，这里的"画"变成了"求"和"描"两步——先用坐标规律求出对称点的坐标，再在坐标系中描点。因为有了坐标这个"数"的工具，我们不需要再用尺规作垂线、截取等距了，直接用坐标值就能精确定位对称点。这就是"用坐标表示轴对称"的优越性。 【学生活动】我明白了！第1课时用尺规作图（作垂线→截取等距），第2课时用坐标规律（直接计算坐标→描点），后者更精确、更快捷。 【知识点】在坐标系中画轴对称图形的四步法（找→求→描→连） 第一步（找）：找出原图形各顶点的坐标。 例如：四边形ABCD各顶点坐标。 第二步（求）：根据坐标变化规律求出各对称点的坐标。 关于x轴：(x,y) → (x,-y) 关于y轴：(x,y) → (-x,y) 直接用规律计算，无需尺规作图。 第三步（描）：在坐标系中描出各对称点。 根据坐标值精确定位。 第四步（连）：依次连接各对称点，得到对称图形。 连接顺序必须与原图形一致。 与第1课时三步法的对比： 第1课时：找→画（作垂线+截取等距）→连 第2课时：找→求（用坐标规律）→描→连 优势：坐标法更精确、更快捷，体现了"数形结合"的思想。 【方法归纳】四步法与三步法的对比三步法（第1课时——尺规作图）： 找特殊点 → 画对称点（作垂线+截取等距） → 依次连接。 适用于：已知图形和任意对称轴（不限于坐标轴）。四步法（第2课时——坐标法）： 找顶点坐标 → 求对称点坐标（用坐标规律） → 描点 → 依次连接。 适用于：已知图形和坐标轴（x轴或y轴）。本质联系：都是"找特殊点→确定对称点→连接"的思路。核心区别：如何确定对称点——尺规作图 vs 坐标计算。坐标法的优势：精确、快捷，数形结合。 【设计意图】四步法（找→求→描→连）的归纳使本节课的知识体系更加完整。通过与第1课时的三步法进行对比，帮助学生理解两种方法的联系与区别——核心思路一致，只是确定对称点的方式不同。四步法体现了"数形结合"思想——用"数"（坐标）来精确描述"形"（对称图形）的位置。 【过渡语】四步法掌握了，我们来完成教材P75练习第3题，巩固练习。 五、针对训练3 —— 教材P75练习第3题 【教师活动】（展示课件）教材P75练习第3题：如图，△ABC的顶点坐标分别为A(-4,1)，B(-1,-1)，C(-3,2)。分别画出△ABC关于x轴和关于y轴对称的图形，并写出各对称图形的顶点坐标。 【教师活动】请同学们用四步法完成这道题。先找顶点坐标（已知），再求对称点坐标，然后描点，最后连线。关于x轴和关于y轴两种对称分别完成。 【学生活动】关于x轴对称：A(-4,1)→A1(-4,-1)，B(-1,-1)→B1(-1,1)，C(-3,2)→C1(-3,-2)。然后描点A1、B1、C1，依次连接得到△A1B1C1。 【学生活动】关于y轴对称：A(-4,1)→A2(4,1)，B(-1,-1)→B2(1,-1)，C(-3,2)→C2(3,2)。然后描点A2、B2、C2，依次连接得到△A2B2C2。 【教师活动】完成得很好！请同学们注意对比：同一个三角形关于x轴和关于y轴对称，得到的对称图形位置不同、坐标也不同。关于x轴对称，三角形"上下翻转"；关于y轴对称，三角形"左右翻转"。 【答案】答案：关于x轴对称：A1(-4,-1)，B1(-1,1)，C1(-3,-2)；关于y轴对称：A2(4,1)，B2(1,-1)，C2(3,2)。 【知识点】针对训练3 解题要点 题目：教材P75练习第3题——△ABC关于x轴和y轴对称。 已知：A(-4,1), B(-1,-1), C(-3,2)。 关于x轴对称（横坐标不变，纵坐标变相反数）： A1(-4,-1), B1(-1,1), C1(-3,-2)。 图形上下翻转。 关于y轴对称（纵坐标不变，横坐标变相反数）： A2(4,1), B2(1,-1), C2(3,2)。 图形左右翻转。 方法：四步法——找顶点坐标→求对称点坐标→描点→连线。 【设计意图】针对训练3将四步法应用到三角形关于两个坐标轴的对称作图中，让学生在同一道题中练习两种对称规律。通过对比"关于x轴对称"和"关于y轴对称"两种结果，帮助学生清晰区分两种坐标变化规律的差异，加深理解。 【过渡语】教材的练习都完成了，接下来我们进入课堂练习环节，通过4道随堂演练来巩固和提升。 环节四：课堂练习（14分钟） 一、随堂演练1 —— 选择题 【教师活动】（展示课件）随堂演练1：点P(3,1)关于x轴对称的点的坐标是（ ） 【教师活动】A. (3,-1) B. (-3,1) C. (-3,-1) D. (1,3) 【教师活动】这道选择题直接考查关于x轴对称的坐标规律，请同学们快速作答。 【学生活动】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数。P(3,1)的横坐标3不变，纵坐标1变为-1，所以对称点是(3,-1)，选A。 【教师活动】正确！注意B选项(-3,1)是关于y轴对称的坐标，C选项(-3,-1)是关于原点对称的坐标，D选项(1,3)是错误答案。请同学们区分清楚。 【答案】答案：A. (3,-1)。解析：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数。P(3,1)→(3,-1)。 【知识点】随堂演练1 解题要点 题目：P(3,1)关于x轴对称的点的坐标。 分析：关于x轴对称 → 横坐标不变，纵坐标变相反数。 P(3,1) → (3,-1)，选A。 干扰项分析： B(-3,1)：关于y轴对称的坐标。 C(-3,-1)：关于原点对称的坐标。 D(1,3)：横纵坐标交换，错误。 关键：准确区分关于x轴、关于y轴、关于原点对称的坐标变化规律。 【设计意图】随堂演练1是一道基础选择题，考查关于x轴对称的坐标规律。通过设置干扰项（关于y轴对称、关于原点对称的坐标），帮助学生区分三种不同的坐标变化，加深对规律的理解和记忆。 【过渡语】接下来看一道与生活实际结合的问题——灯笼的平移与对称。 二、随堂演练2 —— 灯笼平移问题 【教师活动】（展示课件）随堂演练2：四盏灯笼的位置如图所示. 已知 A，B，C，D 的坐标分别是(–1，6)，(1，6)，(2，6)，(3.5，6)，平移 y 轴右侧的一盏灯笼，使得 y 轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ） A.将 B 向左平移 4.5 个单位长度 B.将 C 向左平移 4 个单位长度 C.将 D 向左平移 5.5 个单位长度 D.将 C 向左平移 3.5 个单位长度 【教师活动】这道题结合了平移和轴对称两种变换，请同学们注意：平移改变的是坐标值（加或减），轴对称改变的是坐标的符号。两种变换需要按顺序依次处理。 【学生活动】我先观察图中灯笼关键点的坐标，然后按照题目要求：先向右平移——所有点的横坐标加上平移的单位数，纵坐标不变；再关于y轴对称——纵坐标不变，横坐标变为相反数。两步变换完成后，得到最终坐标。选择C项。 【教师活动】思路完全正确！处理复合变换的方法是：按照变换顺序，一步一步应用对应的坐标变化规律。先处理平移，再处理对称，不能跳步。 【学生活动】我按照顺序计算，先平移再对称，得出了最终坐标。然后在坐标系中描点、连线，验证了变换后的灯笼图案。 【教师活动】做得很好！请同学们注意：如果变换顺序改变（先对称再平移），最终结果可能不同。所以一定要严格按照题目要求的顺序进行变换。 【答案】答案：根据图中坐标信息，先向右平移（横坐标加平移量），再关于y轴对称（横坐标变相反数，纵坐标不变），得到最终坐标。具体坐标值以图中标注为准。 【知识点】随堂演练2 解题要点 题目：灯笼图案——先平移，再关于y轴对称。 方法： (1) 先处理平移：横坐标加平移单位数，纵坐标不变。 (2) 再处理对称：关于y轴 → 纵坐标不变，横坐标变相反数。 关键： (1) 按照题目要求的变换顺序依次处理，不可跳步。 (2) 每次变换独立应用对应的坐标变化规律。 (3) 变换顺序改变，最终结果可能不同。 注意：平移和轴对称的复合，是典型的"图形变换"综合题。 【知识要点】复合变换的处理方法平移+对称的复合变换： 步骤1：先处理平移——横坐标±平移量，纵坐标±平移量。 步骤2：再处理对称——应用对应的坐标轴对称规律。一般原则： (1) 严格按照题目要求的变换顺序，一步一步处理。 (2) 每次变换都有对应的坐标变化公式，直接套用。 (3) 变换顺序不同，最终结果可能不同（平移和对称一般不交换）。常见复合变换： 平移+关于x轴对称、平移+关于y轴对称、 关于x轴+关于y轴（≈关于原点对称）等。 【设计意图】随堂演练2将轴对称与平移相结合，考查学生的综合变换能力。通过灯笼图案这一生活化的情境，增加题目的趣味性。同时，训练学生处理复合变换的方法——按顺序逐步应用坐标变化规律，培养严谨的数学思维。 【过渡语】接下来是一道求参数的问题——已知关于y轴对称的两个点，求m和n的值。 三、随堂演练3 —— 求参数m,n 【教师活动】（展示课件）随堂演练3：已知点A(m+1,5)与点B(3,n)关于y轴对称，求m和n的值。 【教师活动】这道题需要利用关于y轴对称的坐标规律，建立方程求解。请同学们先写出关于y轴对称时坐标满足什么关系。 【学生活动】关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数。所以A和B的纵坐标相等：5=n；横坐标互为相反数：m+1=-3。解这两个方程：n=5，m+1=-3即m=-4。 【教师活动】完全正确！这道题的关键是：把关于y轴对称的坐标规律转化为方程。两个条件：纵坐标相等 → n=5；横坐标互为相反数 → m+1=-3 → m=-4。 【学生活动】我验证一下：m=-4时，A(-4+1,5)=A(-3,5)；B(3,5)。A(-3,5)和B(3,5)的横坐标-3和3互为相反数，纵坐标都是5，确实关于y轴对称。答案正确！ 【教师活动】验证是很好的习惯！通过验证可以确保答案正确。这道题提醒我们：坐标规律不仅可以用于求对称点，还可以用于求参数，是一种非常重要的应用。 【答案】答案：m=-4，n=5。解析：关于y轴对称，纵坐标相同 → n=5；横坐标互为相反数 → m+1=-3 → m=-4。验证：A(-3,5)与B(3,5)关于y轴对称，正确。 【知识点】随堂演练3 解题要点 题目：A(m+1,5)与B(3,n)关于y轴对称，求m,n。 分析： 关于y轴对称的条件： (1) 纵坐标相同：5 = n → n = 5。 (2) 横坐标互为相反数：m+1 = -3 → m = -4。 方法：将坐标规律转化为方程，解方程求参数。 验证：将m=-4,n=5代入，A(-3,5),B(3,5)，确实关于y轴对称。 关键：坐标规律的双向应用——不仅"已知坐标求对称点"，还能"已知对称关系求参数"。 【易错防范】求参数时注意符号易错1：横坐标互为相反数的方程列错。 正确：m+1 = -3（不是 m+1 = 3）。 原因：互为相反数意味着两个数相加等于0。易错2：解方程时移项符号出错。 m+1=-3 → m=-3-1=-4（不是 m=-3+1=-2）。易错3：忘记验证答案。 求完参数后，代入原坐标，检查是否确实关于y轴对称。 验证步骤虽然简单，但能有效避免计算错误。 【设计意图】随堂演练3考查坐标规律在求参数中的应用，体现了"由形到数、由数到方程"的数学思维过程。通过将几何条件（关于y轴对称）转化为代数方程，培养学生的方程思想和转化能力。同时，验证步骤的强调培养了学生良好的解题习惯。 【过渡语】最后一道随堂演练是综合题，考查坐标规律、画图、面积计算的综合运用。 四、随堂演练4 —— 综合题（求对称点坐标、画图、求面积） 【教师活动】（展示课件）随堂演练4：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,-2)，B(1,-4)，C(5,-5)。 【教师活动】(1) 画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出各顶点坐标。 【学生活动】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数：A(3,-2)→A1(3,2)；B(1,-4)→B1(1,4)；C(5,-5)→C1(5,5)。然后描点A1、B1、C1，依次连接得到△A1B1C1。 【教师活动】正确。关于x轴对称，"x"不变，y变。注意A(3,-2)的纵坐标-2变为相反数2，得到A1(3,2)。B和C同理。 【教师活动】(2) 画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出各顶点坐标。 【学生活动】关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数：A(3,-2)→A2(-3,-2)；B(1,-4)→B2(-1,-4)；C(5,-5)→C2(-5,-5)。描点、连线得到△A2B2C2。 【教师活动】很好。关于y轴对称，"y"不变，x变。注意区分两种对称的坐标变化。 【教师活动】(3) 求△ABC的面积。 【教师活动】这道题要求计算△ABC的面积。在坐标系中求三角形面积，常用的方法是割补法——用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积。请同学们思考如何"割补"。 【学生活动】我构造一个矩形，使△ABC的顶点都在矩形的边上或内部。观察三个顶点的坐标：A(3,-2)，B(1,-4)，C(5,-5)。横坐标范围是1到5，宽为4；纵坐标范围是-5到-2，高为3。我以(1,-5)和(5,-2)为对角顶点构造一个矩形，面积为4×3=12。 【学生活动】 然后计算三个直角三角形的面积：以AB为斜边的直角三角形，两条直角边分别为2和2，面积为×2×2=2；以BC为斜边的直角三角形，两条直角边分别为4和1，面积为×4×1=2；以CA为斜边的直角三角形，两条直角边分别为2和3，面积为×2×3=3。 【学生活动】△ABC的面积=矩形面积-三个直角三角形面积=12-2-2-3=5。所以△ABC的面积是5平方单位。 【教师活动】计算过程非常完整！用割补法求坐标系中三角形的面积，关键步骤是：确定矩形→计算矩形面积→计算周围直角三角形面积→相减得到三角形面积。 【教师活动】 另外，我们也可以直接用坐标公式（鞋带公式）来验证：面积=×|x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x₃(y₁-y₂)|=×|3(-4-(-5))+1(-5-(-2))+5(-2-(-4))|=×|3×1+1×(-3)+5×2|=×|3-3+10|=×10=5。结果一致！ 【答案】答案：(1) A1(3,2), B1(1,4), C1(5,5)；(2) A2(-3,-2), B2(-1,-4), C2(-5,-5)；(3) △ABC的面积为5平方单位。 【解答】 面积计算详解（割补法）：构造矩形，对角顶点为(1,-5)和(5,-2)，矩形面积=4×3=12。三个直角三角形面积：S₁=×2×2=2，S₂=×4×1=2，S₃=×2×3=3。△ABC面积=12-2-2-3=5。或用鞋带公式：S=×|3(-4+5)+1(-5+2)+5(-2+4)|=×|3×1+1×(-3)+5×2|=×|3-3+10|=×10=5。 【知识点】随堂演练4 解题要点 题目：△ABC，A(3,-2), B(1,-4), C(5,-5)。 (1) 关于x轴对称的△A1B1C1： A1(3,2), B1(1,4), C1(5,5)。 规律：横坐标不变，纵坐标变相反数。 (2) 关于y轴对称的△A2B2C2： A2(-3,-2), B2(-1,-4), C2(-5,-5)。 规律：纵坐标不变，横坐标变相反数。 (3) 求△ABC面积（割补法）： 步骤1：构造矩形——横坐标范围1~5，纵坐标范围-5~-2。 矩形面积 = 4 × 3 = 12。 步骤2：计算三个直角三角形面积。 S1 = S2 = S3 = 步骤3：△ABC面积 = 12 - 2 - 2 - 3 = 5。 验证（鞋带公式）： S = = = 结论：△ABC面积为5平方单位。 【方法归纳】坐标系中求三角形面积的两种方法 方法一：割补法（推荐） (1) 构造矩形，使三角形三个顶点在矩形边上或内部。 (2) 矩形面积 = 长 × 宽。 (3) 三角形面积 = 矩形面积 - 周围直角三角形面积之和。 优点：直观，不易出错，适合初学者。 方法二：鞋带公式（坐标公式） S = 优点：计算快捷，适合任意三角形。 注意：取绝对值，保证面积为正。 选择建议： 简单三角形（顶点坐标整齐）→ 割补法。 复杂三角形（顶点坐标不整齐）→ 鞋带公式。 两种方法互相验证，确保计算无误。 【设计意图】随堂演练4是一道综合题，涵盖了三方面的考查：坐标规律的运用（求对称点坐标）、坐标系中画图（描点连线）、面积计算（割补法或鞋带公式）。通过这道题，学生将本节课的坐标规律知识与坐标系中的面积计算相结合，体现了知识的综合运用。面积计算部分详细展示了两种方法（割补法和鞋带公式），帮助学生建立多样化解题策略。 【过渡语】四道随堂演练覆盖了本节课的核心知识和常见题型。现在让我们来回顾和总结。 环节五：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了用坐标表示轴对称。请同学们从以下几个方面回顾本节课的收获。 【学生活动】我掌握了关于坐标轴对称的点的坐标变化规律：点(x,y)关于x轴的对称点是(x,-y)——横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点是(-x,y)——纵坐标不变，横坐标互为相反数。记忆口诀：关于谁对称，谁就不变，另一个变相反数。 【学生活动】我学会了在坐标系中画轴对称图形的四步法——找（找顶点坐标）、求（用规律求对称点坐标）、描（描点）、连（依次连接）。与第1课时的三步法相比，坐标法更精确、更快捷。 【学生活动】我理解了多次轴对称变换的坐标变化——每次变换独立应用对应的坐标规律，逐步计算。先关于y轴再关于x轴对称，相当于关于原点对称，即(x,y)→(-x,-y)。 【学生活动】我学会了用坐标规律解决实际问题——求参数、处理平移与对称的复合变换、在坐标系中计算三角形面积（割补法），综合运用了坐标知识和几何知识。 【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课的核心是"数形结合"——用坐标（数）来精确描述轴对称（形）的变化规律。课后请同学们完成以下作业： 1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。 【知识点】课堂小结：15.2 画轴对称的图形 第2课时 用坐标表示轴对称 一、关于坐标轴对称的坐标变化规律： 关于x轴：点(x,y) → (x,-y)，横坐标不变，纵坐标变相反数。 关于y轴：点(x,y) → (-x,y)，纵坐标不变，横坐标变相反数。 记忆口诀：关于谁对称，谁就不变，另一个变相反数。 二、四步法（找→求→描→连）： 第一步：找出原图形各顶点的坐标。 第二步：根据坐标规律求出对称点的坐标。 第三步：在坐标系中描出各对称点。 第四步：依次连接各对称点，得到对称图形。 三、多次轴对称变换： 每次变换独立应用对应的坐标规律，逐步计算。 先关于y轴再关于x轴 → (x,y)→(-x,y)→(-x,-y) → 关于原点对称。 四、常见题型与应用： 题型1：直接求对称点坐标（已知规律，直接套用）。 题型2：已知对称关系求参数（规律转化为方程）。 题型3：复合变换（平移+对称，按顺序处理）。 题型4：综合题（对称+画图+面积计算）。 五、核心思想——数形结合： 用"数"（坐标）精确描述"形"（对称图形）的位置和变化。 将几何问题代数化，体现了数学的统一性和工具性。 【设计意图】课堂小结采用学生自主回顾的方式，从坐标规律、四步法、多次变换、常见题型、核心思想五个方面全面梳理本节课的知识体系。每个学生从不同角度分享收获，既巩固了知识，又培养了归纳总结能力。同时，强调"数形结合"这一核心思想，帮助学生从更高的视角理解本节课的学习价值。 四、板书设计 15.2 画轴对称的图形 第2课时 用坐标表示轴对称 一、关于坐标轴对称的坐标变化规律 关于x轴：点(x,y) → (x,-y) 横坐标不变，纵坐标变相反数。 关于y轴：点(x,y) → (-x,y) 纵坐标不变，横坐标变相反数。 口诀：关于谁对称，谁就不变，另一个变相反数。 二、四步法——坐标系中画轴对称图形 三、例2——四边形ABCD的两次对称变换 第一步（找）：找顶点坐标。 第二步（求）：用规律求对称点坐标。 第三步（描）：在坐标系中描点。 第四步（连）：依次连接各对称点。 口诀：找→求→描→连。 A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4) 关于y轴：A1(5,1),B1(2,1),C1(2,5),D1(5,4) 关于x轴：A2(5,-1),B2(2,-1),C2(2,-5),D2(5,-4) 两次变换：先y轴后x轴 → 关于原点对称 (x,y)→(-x,y)→(-x,-y) 四、常见题型 五、随堂演练4——综合题（面积计算） 题型1：求对称点坐标。 题型2：已知对称关系求参数。 题型3：复合变换（平移+对称）。 题型4：对称+画图+面积计算。 A(3,-2),B(1,-4),C(5,-5) 关于x轴：A1(3,2),B1(1,4),C1(5,5) 关于y轴：A2(-3,-2),B2(-1,-4),C2(-5,-5) 面积（割补法）： 矩形面积=4×3=12 三个直角三角形面积=2+2+3=7 △ABC面积=12-7=5 六、课后作业 教材课后习题 练习册本课时习题 五、教学反思 1. 情境导入环节，以老北京城中轴线（西直门和东直门关于中轴线对称）为切入点，是否能有效激发学生的学习兴趣？学生是否能从这一情境中自然地联想到"关于y轴对称的坐标关系"？从"老北京城示意图"到"坐标系中的对称规律"的过渡是否自然流畅？导入时间是否控制在3分钟内？ 2. 探究新知环节，学生通过"描点→画对称点→观察坐标→猜想规律→验证→归纳"的完整探究过程，是否真正经历了从特殊到一般的数学发现的完整过程？6个点的选取（涵盖不同象限和坐标轴上的点）是否充分？学生是否能自主发现"关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数"和"关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数"两条规律？ 3. "关于谁对称，谁就不变，另一个变相反数"这一记忆口诀是否有效帮助学生区分了关于x轴和关于y轴对称的坐标变化规律？学生在练习中是否还会出现将横坐标和纵坐标变化搞混的情况？如果出现混淆，教师应如何通过图形直观（上下翻折 vs 左右翻折）来帮助学生纠正？ 4. 例2的教学中，四边形ABCD先关于y轴对称再关于x轴对称的两次变换，学生是否能逐步完成每一步的坐标计算？学生是否能自主发现"两次轴对称变换的复合效果——关于原点对称"这一规律？教师在引导学生发现这一规律时，是否给予了足够的思考时间，而不是直接告知？ 5. 四步法（找→求→描→连）的归纳是否清晰明了？与第1课时的三步法（找→画→连）的对比是否帮助学生理解了两种方法的联系与区别？学生是否体会到了"坐标法"比"尺规作图法"更精确、更快捷的优势？ 6. 针对训练1（教材P75练习第1题）的6个点是否全面覆盖了不同象限和坐标轴上的点？学生在处理坐标轴上的点（如A(-2,0)在x轴上，E(0,-1)在y轴上）时，是否理解"对称点就是自身"这一特殊情况？针对训练2（逆向求坐标）是否帮助学生建立了坐标规律的双向应用意识？ 7. 随堂演练2（灯笼平移+对称）涉及复合变换，学生是否能按照题目要求的顺序（先平移再对称）逐步处理？变换顺序的概念是否被学生充分理解？教师在讲解时是否需要强调"变换顺序改变，结果可能不同"？ 8. 随堂演练3（求参数m,n）将坐标规律转化为方程，学生是否能顺利完成这一转化？解方程时是否有学生出现符号错误（如m+1=-3误解为m=-2）？教师是否及时强调了"互为相反数"的含义和移项法则？ 9. 随堂演练4（综合题——求对称点坐标、画图、求面积）是本节课的综合高潮，学生是否能独立完成全部三个小问？面积计算部分，学生是倾向于使用割补法还是鞋带公式？两种方法是否都得到了充分展示？割补法的三个直角三角形面积计算是否有学生出错？教师是否对面积计算过程进行了详细的板书演示？ 10. 本节课的教学脉络是否清晰：情境导入（老北京城示意图）→ 探究新知（坐标规律探究→例2→四步法归纳）→ 例题精讲（针对训练1-3）→ 课堂练习（随堂演练1-4）→ 课堂小结。各个环节的时间分配是否合理（3+15+10+14+3=45分钟）？板书设计是否清晰地呈现了本节课的核心知识结构？"数形结合"这一核心思想是否贯穿始终？ 11. 本节课作为"画轴对称的图形"的第2课时，学生是否真正理解了"用坐标表示轴对称"的意义和方法？是否能独立运用坐标规律解决坐标系中的轴对称作图问题？本节课的学习是否为后续学习"函数图像的对称性"（如一次函数、二次函数图像的对称）奠定了坚实的基础？学生是否体会到了"数形结合"思想在数学学习中的重要性？ 学科网（北京）股份有限公司 $