15.3.2 等边三角形 第1课时 教案 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该教案聚焦等边三角形的定义、性质及判定，课堂导入通过复习三角形按边分类及等腰三角形性质，以“等边三角形是特殊等腰三角形”为支架，衔接旧知与新知，引导学生初步推导其性质。 以问题链驱动探究，如“等腰三角形性质是否适用于等边三角形”等问题培养推理意识，例题设计从基础到综合，如构造全等证明角相等提升逻辑思维，实践作业结合生活实例发展几何直观与应用意识，助力学生用数学眼光观察世界，为教师提供结构化教学思路。

第十五章 轴对称 15.3.2《等边三角形》 第1课时   一、教材分析 教材等边三角形的内容，是在等腰三角形基础上的延伸，通过探究等腰三角形性质在等边三角形中的应用，得出等边三角形“三个角都相等且均为60°”“三个角相等的三角形是等边三角形”“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”等性质与判定方法，既巩固了等腰三角形的知识，又完善了特殊三角形的知识体系，同时为后续学习直角三角形中30°角的性质奠定基础，体现了从一般到特殊的研究思路. 基于以上分析，本节课的教学重点是：掌握等边三角形的定义、性质及判定方法.   二、教学目标 1.掌握等边三角形的定义、性质及判定方法. 2.提升运用等边三角形知识解决实际问题的能力，并会识别与转化复杂图形中等边三角形. 3.通过证明等边三角形的性质和判定定理，提升逻辑推理和演绎证明的能力. 4.感受等边三角形的对称美与实用性，激发几何学习兴趣，培养严谨的思维习惯.   三、教学重难点 重点：掌握等边三角形的定义、性质及判定方法. 难点: 提升运用等边三角形知识解决实际问题的能力，并会识别与转化复杂图形中等边三角形.   四、教学过程 · 复习回顾 问题1：三角形按边分，可分为哪几类？ 三边都不相等的三角形、底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形； 等边三角形是底与腰相等的一种特殊的等腰三角形 问题2： 对于等腰三角形的性质，等边三角形也适用吗?等腰三角形的性质有哪些？ 答：等腰三角形性质：边：两腰相等；角：等角对等边；对称性：轴对称图形、三线合一. 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么它具有等腰三角形的所有性质. 师生活动：教师提出问题，加以引导，自然而然地引入本节的课题，学生先独立思考，再举手回答问题． 设计意图：从学生熟悉的等腰三角形出发，得到等边三角形部分性质，引出后面等边三角形性质的推导. · 探究新知 活动一：探究等边三角形的性质 问题3：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论? 师生活动：老师提出问题，学生思考并回答问题.教师鼓励学生将思考过程用语言进行描述. 答： 边：由定义可得等边三角形三边相等. 几何语言：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC. 角：对于等边三角形ABC，∵AB=AC，∴∠B=∠C 同理可得：∠A=∠B，∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C ∵∠A+∠B+∠C =180° ，∴∠A=∠B=∠C =60° 所以等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 几何语言：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C =60°. 总结：等边三角形的性质 1.等边三角形的三边相等. 2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°. 3.等边三角形每条边上的中线、高及顶角平分线重合. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 设计意图：引导学生深入理解等边三角形与等腰三角形的关系，强化对等边三角形性质的认识. 活动二：探究等边三角形的判定 问题4：一个三角形满足什么条件才是等边三角形? 师生活动：教师提出问题，学生分析如何结合等边三角形定义与等腰三角形性质得到等边三角形的判定定理，教师对关键步骤进行强调. 答：根据定义得到，等边三角形的判定方法1：三条边相等的三角形是等边三角形. 几何语言：∵AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形. 问题5：三个角都相等的三角形是等边三角形吗?为什么? ∵∠A=∠B， ∴CA=CB（等角对等边） 同理可得 AB=AC. ∴AB=AC=BC，符合等边三角形定义， ∴△ABC是等边三角形. 由此得到，等边三角形的判定方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言：∵∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形. 问题6：怎么判断一个等腰三角形是等边三角形?如果知道任意一个内角为60°，能判断出这个等腰三角形是等边三角形吗? 答：①当等腰三角形的底角为60°时： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60° 求证：△ABC是等边三角形 证明：∵AB=AC，∠B=60°， ∴∠C=∠B=60° ∴∠A=180°-∠B-∠C=60°， ∴∠A=∠B=∠C=60°. ∴△ABC是等边三角形. ②当等腰三角形的顶角为60°时： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60° 求证：△ABC是等边三角形 证明：∵AB=AC，∠A=60°， ∴∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°， ∴∠A=∠B=∠C=60° ∴△ABC是等边三角形. 由此得到，等边三角形的判定方法3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言： ∵AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°或∠C=60°) ∴△ABC是等边三角形. 总结：等边三角形的判定方法： 1.三边都相等的三角形是等边三角形； 2.三个角都相等的三角形是等边三角形； 3.有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 设计意图：通过主动提问，引导学生思考，加深学生对等边三角形性质的理解，并加强学生对等边三角形判定定理的记忆. · 应用新知 【经典例题】 师生活动:学生独立思考，然后教师指定学生回答，然后组织其他的学生进行点评. 例1 如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形. 分析：利用平行我们可以找到角与角的关系，再结合等边三角形的性质与判定解决此题. 解：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A=∠B=∠C. ∵ DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴∠A=∠ADE=∠AED. ∴△ADE是等边三角形. 例2 如图，在等边三角形ABC中，点D在BC边上，且∠BAD=15°，求∠ADB的度数. 分析：利用等边三角形的性质和三角形内角和定理，即可解决此题. 解：∵△ABC是等边三角形， ∴ ∠B=60°. 又∵∠BAD=15°， ∴∠ADB=180-60-15=105. 例3 如图，△ABC是等边三角形，D是AC边上一点，延长BC至E，使CE=AD，连接DB、DE，求证：∠DBC=∠EDC. 分析：可通过构造全等三角形（如过D作DF//AB交BC于F），再利用等边三角形三边相等，三个角均为60°的性质即可证明. 证明：如图，过D作DF//AB交BC于F. 则∠DFC=∠ABC=60°，∠CDF=∠A=60°， ∵∠ACB=60°，∴△CDF是等边三角形， ∴DF=DC=CF. 又∵CA=CB，∴CA-CD=CB-CF， 即BF=AD，又∵CE=AD，∴BF=CE. ∵∠DFC=DCF，∴∠DFB=DCE， 在△DBF和△DEC中 ∴△DBF≌△DEC， ∴∠DBF=∠EDC. 设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力，教师规范写出解答过程，给学生一个良好的示范过程. · 课堂练习 【教材练习】 1.画出等边三角形的三条对称轴. 你能发现什么？ 师生活动：老师提出问题，学生思考并回答问题.教师鼓励学生将思考过程用语言进行描述. 解：作每条边的垂直平分线即为等边三角形的三条对称轴，如图所示. 发现：①三条对称轴交于同一点； ②对称轴平分顶角； ③对称轴将等边三角形分割成6个全等的直角三角形. 2.如图，在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？证明你的结论． 解：图中与BD相等的线段有AE、BE、ED、AF、FC、FD、DC，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，AB=BC. 又∵∠BDE=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BD=DE=BE. 同理可得△CDF是等边三角形， ∴CD=DF=CF. ∵AB=BC，BD=BE， ∴AE=DC， 同理可得BD=AF. 又∵△ABC是等边三角形，AD是BC上的高， ∴D是BC的中点， ∴BD=DC， ∴BD=AE=BE=ED=AF=FC=FD=DC. 设计意图：通过对教材例题的练习，学生们能对教材有更深刻的理解，也能更熟练的运用本节课所学解决有关等边三角形的问题. 【限时训练】 1. 如图，等边三角形ABC中，M是AB中点，N是AC中点，求证：BM=CN. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC. ∵M是AB中点，N是AC中点， ∴BM=AB，CN=AC, ∴BM=CN. 2.下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（ ） . A.2∠A=∠B+∠C，AB=BC B.∠A=∠B=60° C.AB=BC，∠B=60° D.AB=BC 分析：A选项，∠A+∠B+∠C=3∠A=180°，所以∠A=60°，所以△ABC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形；B选项，易得△ABC三个角都是60°，则△ABC为等边三角形；C选项，易得△ABC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形；D选项，只能判定△ABC是等腰三角形，无法判定为等边三角形.故选D. 答：D. 3.如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接AD、BE. 求证：AD=BE. 答：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD. ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE ∴∠BCE=∠ACD， 在△BCE和△ACD中 ∴△BCE≌△ACD， ∴BE=AD. 4.如图，△ABC是等边三角形，延长BC到D，使CD=AB，点E是AC中点，连接DE并延长交AB于点F. (1)求∠EFA的度数； (2)求证：DE=2EF. 答：解：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC=AB，∠A=∠ACB=60°， ∵CD=AB，E是AC中点， ∴CE=AC=CD， ∴△CED是等腰三角形. 又∵∠ACB=60°，∴∠ACD=120°， ∴∠CED=(180°-120°)÷2=30° ∴∠AEF=∠CED=30° ∴∠EFA=180°-60°-30°=90°. (2)取ED中点G，连接CG. ∵△CED是等腰三角形，由等腰三角形 三线合一可知：CG是△CED在ED边上的高， 即∠CGE=90° ∴∠EFA=∠CGE ∴在△AFE和△CGE中 ∴△AFE≌△CGE，∴EF=EG. 又∵G是ED中点，∴DE=2EG ∴DE=2EF. 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对等边三角形的性质运用能力，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.等边三角形具有哪些性质？ 3.如何判定一个三角形是等边三角形？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 实践作业 任务：在校园、家庭或社区中寻找自然或人造的等边三角形（如蜂巢的局部、交通标志、装饰图案等），用照片+文字形式记录. 要求：至少找到5个实例，说明其“等边”特征（可简单测量边长或角度）；分析该物体用等边三角形的原因（如稳定性、美观性、节省材料等）. 学科网（北京）股份有限公司 $