6.4.2分层随机抽样的均值与方差 6.4.3百分位数 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕分层随机抽样的均值与方差、百分位数，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一概念到实际应用的知识进阶，培养数学抽象、数据意识与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（如百分位数计算、分层均值公式）|以选择填空为主，直接考查公式应用（如第1题百分位数计算、第3题满意度平均分）| |能力提升|知识点综合（如结合图表分析分位数、统计量比较）|引入图表信息（如第5题频数折线图、第6题射击成绩条形图）| |综合应用|实际情境应用（如阶梯电价、网购金额、教师年龄统计）|设置生活情境问题（如第12题阶梯电价分位数范围、第16题教师年龄均值方差计算）|

4.2　分层随机抽样的均值与方差 4.3　百分位数 1.已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的75%分位数为（　　） A.9　 B.12 C.17.5　 D.21 2.用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为（　　） A.　 B.1 C.　 D.2 3.某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满意度，采取分层随机抽样方式对中央公园小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9.若用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分，则其值为（　　） A.8.4　　　　　　　　　 B.8.5 C.8.6　 D.8.7 4.期中考试后，班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均数为N，那么＝（　　） A.　 B.1 C.　 D.2 5.（多选）某校高一（1）班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.没有人的成绩在30～40分这组内 B.50%分位数位于60～70分这组内 C.25%分位数位于40～50分这组内 D.75%分位数位于70～80分这组内 6.（多选）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（　　） A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的80%分位数等于乙的成绩的80%分位数 D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 7.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　　　　分. 8.某校的男生、女生人数之比为2∶3，按照男女比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本，样本中男生和女生每天运动时间的平均数分别为100 min和80 min，则估计该校全体学生每天运动时间的平均数为　　　　min. 9.为调查高一年级学生期中考试数学成绩的情况，从（1）班抽取了12名学生的成绩，他们的平均分为91分，方差为3，从（2）班抽取了8名学生的成绩，他们的平均分为89分，方差为5，则合在一起后的样本均值为　　　　，样本方差为　　　　. 10.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图： 分别求甲、乙两厂样本轮胎宽度的10%分位数与90%分位数. 11.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位某地市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的75%分位数是（　　） A.7　 B.7.5 C.8　 D.8.5 12.某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下： 分位数 50%分位数 70%分位数 80%分位数 90%分位数 用电量/（kW·h） 160 176 215 230 如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量/（kW·h）范围为（　　） A.（160，176]　 B.（176，215] C.（176，230]　 D.（230，＋∞） 13.（多选）某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩，6名男生的成绩分别为86分，94分，88分，92分，90分，90分，4名女生的成绩分别为90分，93分，93分，88分，则下列说法正确的是（　　） A.这种抽样方法是分层随机抽样 B.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 C.这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差 D.被抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04 14.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）： 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型（单位：辆） 100 150 z 售价（单位：万元） 12 16 18 标准型（单位：辆） 300 450 600 售价（单位：万元） 16 18 20 按类型用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，其中z的值由于表格污损而不可知，则该汽车厂在该月生产的所有轿车的平均售价为　　　　万元. 15.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2023年11月11日的网购金额，所得数据如下表： 网购金额（单位：千元） 人数 频率 [0，1） 16 0.08 [1，2） 24 0.12 [2，3） x p [3，4） y q [4，5） 16 0.08 [5，6] 14 0.07 合计 200 1.00 已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2. （1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）； （2）估计网购金额的25%分位数（结果保留3位有效数字）. 16.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差. 4.2　分层随机抽样的均值与方差 4.3　百分位数 1.C　8×0.75＝6，故该组数据的75%分位数为第6个数和第7个数的平均数＝17.5.故选C. 2.B　设两组数据的权重分别为w1，w2，由w1×8＋w2×12＝10，又w1＋w2＝1，可解得w1＝w2＝，所以这两组数据的权重比值为1. 3.C　估计小区业主对户型结构满意度的平均分为＝×8＋×9＝8.6，故选C. 4.B　平均数是用所有数据的和除以数据的总个数而得到的.设40位同学的成绩为xi（i＝1，2，…，40），则M＝，N＝＝M，故＝1. 5.ABC　由题图知没有人的成绩在30～40分这组内，故A正确；由40×50%＝20，取第20，21项数据的平均数，所以50%分位数位于60～70分这组内，故B正确；由40×25%＝10，取第10，11项数据的平均数，所以25%分位数位于40～50分这组内，故C正确；由40×75%＝30，取第30，31项数据的平均数，所以75%分位数位于60～70分这组内，故D不正确.故选A、B、C. 6.BC　由题图可得，＝＝6，＝＝6，A项错误；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，B项正确；甲的成绩的80%分位数为＝7.5，乙的成绩的80%分位数为＝7.5，所以二者相等，所以C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项不正确. 7.85　解析：由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是＝85（分）. 8.88　解析：由题意，不妨设男生人数为2x，女生人数为3x，估计该校全体学生每天运动时间的平均数为＝88（min）. 9.90.2　4.76　解析：样本均值＝＝90.2，样本方差s2＝＝4.76. 10.解：甲厂轮胎宽度的数据从小到大排列，得193，193，194，194，195，195，196，196，197，197.又10×10%＝1，10×90%＝9， 所以10%分位数为第1项与第2项数据的平均数，即193 mm；90%分位数为第9项与第10项数据的平均数，即197 mm. 乙厂轮胎宽度的数据从小到大排列，得193，193，194，194，195，196，196，196，196，197， 所以10%分位数为193 mm，90%分位数为196.5 mm. 11.C　由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为75%×10＝7.5，所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.故选C. 12.C　∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量/（kW·h）范围为（176，230].故选C. 13.ACD　因为该班有30名男生和20名女生且抽取的男生和女生的比为3∶2，所以这种抽样方法是分层随机抽样，A正确；抽取的6名男生成绩的平均数＝＝90（分），抽取的4名女生成绩的平均数＝＝91（分），虽然＜，但并不一定能说明该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，B不一定正确；这6名男生成绩的方差＝×[（86－90）2＋（94－90）2＋（88－90）2＋（92－90）2＋（90－90）2＋（90－90）2]＝，这4名女生成绩的方差＝×[（90－91）2＋（93－91）2＋（93－91）2＋（88－91）2]＝，因为＞，所以C正确； 被抽取的10名学生成绩的平均数＝×90＋×91＝90.4（分），被抽取的10名学生成绩的方差s2＝×［＋（90－90.4）2］＋×［＋（91－90.4）2］＝6.04，D正确.故选A、C、D. 14.17.85　解析：由已知＝，解得z＝400，所以该汽车厂在该月生产的汽车总数为100＋300＋150＋450＋400＋600＝2 000（辆），该汽车厂在该月生产的所有轿车的平均售价为＝×12＋×16＋×16＋×18＋×18＋×20＝17.85（万元）. 15.解：（1）根据题意有 解得所以p＝0.4，q＝0.25. 补全频率分布直方图如图所示. （2）由（1）可知，网购金额不高于2千元的频率为0.08＋0.12＝0.2， 网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6， 所以网购金额的25%分位数在[2，3）内， 则网购金额的25%分位数为2＋×1≈2.13（千元）. 16.解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为 ＝＝45（岁）， 年龄的方差为＝×[3×（58－45）2＋5×（40－45）2＋2×（38－45）2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为 ＝×38＋×45≈39.2（岁）， 该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是 s2＝×[2＋（38－39.2）2]＋×[73＋（45－39.2）2]＝20.64. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $