6.4.1样本的数字特征课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

该高中数学课件聚焦样本数字特征，系统讲解集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（极差、方差、标准差）参数，通过“藏宝图”情境导入引出数据特征意义，衔接统计图表知识，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点是结合实例落实新课标核心素养，如射击、竞赛成绩案例培养数据分析能力，方差计算过程强化数学运算，通性通法总结助学生形成数学思维。学生能提升知识应用能力，教师可获得系统教学支持。

4.1　样本的数字特征 新课程标准解读 核心素养 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数 （平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的 统计含义 数据分析 2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数 （标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统 计含义 数学运算、数 据分析 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　藏宝图只能够标出宝藏所在的具体位置及路线，但真正探索宝藏 的秘密还有很多工作要做，同样杂乱无章的数据仅用统计图表来分析 显然是不全面的，不同的数字特征往往具有不同的意义和作用. 【问题】　（1）你知道平均数、中位数、众数所代表的含义吗？ （2）用哪些数字特征可以反映总体的离散程度？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　平均数、中位数、众数 1. 平均数：平均数是指一组数据的 ⁠. 2. 中位数：将一组数据按 的顺序排列后，“中间”的那 个数据. 3. 众数：一组数据中出现次数 的数据. 4. 平均数、中位数、众数都刻画了一组数据（样本）的“ ⁠” 位置，通常称它们为数据的 参数. 平均值　 从小到大　 最多　 中心　 集中趋势　 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 在统计中， 是最常用的量.如数据中个别数据特别大或 特别小时，用 会更合理. 提醒　众数、中位数、平均数的比较 平均数　 中位数　 名称 优点 缺点 众 数 ①体现了样本数据的最大集中 点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很 少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特 征 目录 数学·必修第一册（BSD） 名 称 优点 缺点 中 位 数 ①不受少数几个极端数据（即排 序靠前或靠后的数据）的影响； ②容易计算，便于利用中间数据 的信息 对极端值不敏感 平 均 数 代表性较好，是反映数据集中趋 势的量.一般情况下，可以反映 出更多的关于样本数据的信息 任何一个数据的改变都会引 起平均数的改变.数据越“离 群”，对平均数的影响越大 目录 数学·必修第一册（BSD） 【想一想】 1. 中位数一定是样本数据中的一个数吗？ 提示：不一定.一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据， 处于中间位置的数据就是中位数；如果有偶数个数据，则中间两个 数据的平均数才是中位数. 2. 一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？ 提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯 一一个. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　极差、方差和标准差 1. 极差：数据中 和 的差. 2. 方差：方差刻画的是数据偏离 的离散程度. 3. 标准差：方差的算术平方根 s ＝ ＝ ，称之为标准差. 最大值　 最小值　 平均数　 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　（1）标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大 小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越 小，数据的离散程度越小；方差和标准差的取值范围是[0，＋ ∞）；（2）标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有 波动幅度和离散性；（3）标准差的大小不会超过极差. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）众数是一组数据中出现次数最多的数. （　√　） （2）一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小 于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不受 极端值的影响. （　√　） （3）数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小. （　√　） √ √ √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格， 则这组数据的众数和中位数分别是（　　） 环数 5 6 7 8 9 10 人数 1 2 7 6 3 1 A. 7，7 B. 8，7.5 C. 7，7.5 D. 8，6 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7； 中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第 10个数是7，第11个数是8，所以中位数是 ＝7.5. 目录 数学·必修第一册（BSD）   解析：依题意知，运动员在5场比赛中的分数依次为8，9，10， 13，15，其平均数为 ＝11.由方差公式得 s2＝ [（8－ 11）2＋（9－11）2＋（10－11）2＋（13－11）2＋（15－11）2]＝ （9＋4＋1＋4＋16）＝6.8. s ＝ ＝ . 11　 6.8　 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 样本数字特征的计算 【例1】　（多选）某篮球俱乐部甲、乙两名球员练习罚球，每人练 习10组，每组罚球20个，命中个数为： 甲：20，19，17，18，18，16，17，15，20，20 乙：18，19，13，18，19，20，20，20，17，16 则下面结论中正确的是（　　） A. 甲的极差比乙的极差小 B. 甲的中位数与乙的中位数相等 C. 甲的平均数与乙的平均数相等 D. 甲的方差是2.8 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　甲的最大值为20，最小值为15，则极差为5，乙的最大 值为20，最小值为13，则极差为7，所以A正确；甲的中位数为 ＝18，乙的中位数为 ＝18.5，所以B不正确；甲的平均数为 ＝ （20＋19＋17＋18＋18＋16＋17＋15＋20＋20）＝18，乙的平均 数为 ＝ （18＋19＋13＋18＋19＋20＋20＋20＋17＋16）＝18， 所以C正确；甲的方差为 [（20－18）2＋（19－18）2＋…＋（20－ 18）2]＝ ×28＝2.8，故D正确. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先 将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的 定义计算. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 计算标准差的步骤 （1）算出样本数据的平均数 ； （2）算出每个样本数据与样本平均数的差 xi － （ i ＝1，2，…， n ）； （3）算出（ xi － ）2（ i ＝1，2，…， n ）； （4）算出（ xi － ）2（ i ＝1，2，…， n ）这 n 个数的平均数，即 样本方差 s2； （5）算出方差 s2的算术平方根，即为样本标准差 s . 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. （多选）对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，下列结论 中正确的是（　　） A. 这组数据的众数是3 B. 这组数据的众数与中位数相等 C. 这组数据的中位数与平均数相等 D. 这组数据的平均数与众数相等 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　在这11个数中，3出现了6次，频率最高，故众数是3； 将这个11个数按从小到大顺序排列得2，2，3，3，3，3，3，3， 6，6，10，中间数据是3，故中位数是3；平均数 ＝ ＝4，故A、B正确. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若数据 x1， x2， x3，…， xn 的平均数为 ＝5，方差 s2＝2，则数据3 x1＋1，3 x2＋1，3 x3＋1，…，3 xn ＋1的平均数和方差分别为（　） A. 5，2 B. 16，2 C. 16，18 D. 16，9 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　法一　∵ x1， x2， x3，…， xn 的平均数为5， ∴ ＝5， ∴ ＋1＝3×5＋1＝16.∵ x1， x2， x3，…， xn 的 方差为2，∴3 x1＋1，3 x2＋1，3 x3＋1，…，3 xn ＋1的方差是32×2 ＝18. 法二　观察新数据与原数据的关系，可知新数据的平均数为3 ＋1＝ 3×5＋1＝16，新方差为32 s2＝32×2＝18. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 众数、中位数、平均数与频率分布直方图相结合 【例2】　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学 生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）求这次测试数学成绩的众数； 解：由题图知众数为 ＝75（分）. （2）求这次测试数学成绩的中位数. 解：由题图知，设中位数为 x ，由于前三个矩形面积之和为 0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于 第四个矩形内，得0.1＝0.03（ x －70），所以 x ≈73.3.故这次 测试数学成绩的中位数为73.3分. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变设问）若本例的条件不变，求数学成绩的平均数. 解：由题图知这次数学成绩的平均数为 ×0.005×10＋ ×0.015×10＋ ×0.02×10＋ ×0.03×10＋ ×0.025×10＋ ×0.005×10＝72（分）. 2. （变设问）若本例条件不变，求80分以下的学生人数. 解：[40，80）分的频率为（0.005＋0.015＋0.020＋0.030）×10 ＝0.7，所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系 （1）众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的 底边中点的横坐标； （2）中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此， 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 相等，由此可估计中位数的值； （3）平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分 布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐 标之和. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成 五组绘制成如图所示的频率分布直方图，求： 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）高一参赛学生成绩的众数、中位数； 解：用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众 数的近似值，得众数为65.又∵第一个小矩形的面积为0.3，设 第二个小矩形底边的一部分长为 x ，则 x ×0.04＝0.2，得 x ＝ 5，∴中位数为60＋5＝65. （2）高一参赛学生的平均成绩. 解：依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋ 85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67分. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 样本的数字特征的应用 【例3】　如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况（击中靶 中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的 环数），每人射击了6次. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来； 解：甲、乙两人的射击成绩统计如下表： 环数 6 7 8 9 10 甲命中次数 0 0 2 2 2 乙命中次数 0 1 0 3 2 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）请用学过的统计知识对甲、乙两人这次的射击情况进行比较. 解： ＝ ×（8×2＋9×2＋10×2）＝9（环）， ＝ ×（7×1＋9×3＋10×2）＝9（环）， ＝ ×[（8－9）2×2＋（9－9）2×2＋（10－9）2×2]＝ ， ＝ ×[（7－9）2＋（9－9）2×3＋（10－9）2×2]＝1， 因为 ＝ ， ＜ ，所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的 发挥比乙稳定. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 利用样本数字特征进行决策时的两个关注点 （1）平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受 极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受 几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客 观反映总体特征； （2）当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值； 反之，说明数据中存在许多较小的极端值. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表： 分数/分 50 60 70 80 90 100 人 数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优 谁劣，并说明理由. 解：①甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比 较看，甲组成绩好些. 目录 数学·必修第一册（BSD） ② ＝ （50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋ 100×6）＝ ×4 000＝80， ＝ （50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋ 100×12）＝ ×4 000＝80. 目录 数学·必修第一册（BSD） ＝ [2×（50－80）2＋5×（60－80）2＋10×（70－ 80）2＋13×（80－80）2＋14×（90－80）2＋6×（100－80）2]＝ 172， ＝ [4×（50－80）2＋4×（60－80）2＋16×（70－ 80）2＋2×（80－80）2＋12×（90－80）2＋12×（100－80）2]＝ 256. ∵ ＝ ， ＜ ，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些. 目录 数学·必修第一册（BSD） ③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80 分以上（包括80分）的有33人，乙组成绩在80分以上（包括80分）的 有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好. ④从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于 等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组 得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩 较好. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人， 90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成 绩的平均数、众数、中位数分别是（　　） A. 85，85，85 B. 87，85，86 C. 87，85，85 D. 87，85，90 解析：　从小到大列出所有数学成绩的数值：75，80，85，85， 85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得 平均数为87.故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知一组数据 x1， x2， x3， x4， x5的平均数是2，方差是 ，那么另 一组数据3 x1－2，3 x2－2，3 x3－2，3 x4－2，3 x5－2的平均数和方 差分别为（　　） B. 2，1 D. 4，3 解析：　由题意得数据 x1， x2， x3， x4， x5的平均数 ＝2，方差 s2＝ ，所以数据3 x1－2，3 x2－2，3 x3－2，3 x4－2，3 x5－2的平均 数为 ＝3 －2＝3×2－2＝4，方差为s'2＝9 s2＝9× ＝3. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估 计众数与中位数分别是（　　） A. 12.5，12.5 B. 12.5，13 C. 13，12.5 D. 13，13 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐 标.∵中间的一个矩形最高，10与15的平均数是12.5，∴众数是 12.5.中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 纵轴的直线与横轴交点的横坐标.∵第一个矩形的面积是0.2，第三 个矩形的面积是1－（0.04＋0.10）×5＝0.3，∴中位数线将第二 个矩形分成3∶2两部分，∴中位数是13.故选B. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. （多选）下列对一组数据的分析，说法正确的是（　　） A. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B. 数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C. 数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D. 数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小， 数据越集中.方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方 差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数 据越不稳定.方差、标准差较小的数据波动较小，稳定程度较高.平 均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否.故选 A、C、D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $