4用样本估计总体数字特征（10大题型）（题型专练）高一数学北师大版必修第一册

4用样本估计总体数字特征 题型一：众数 1．样本数据2，8，13，13，20的众数为（ ） A．2 B．8 C．13 D．20 2．样本数据2，8，14，14，20，下列说法正确的是（ ） A．极差为22 B．平均数为14 C．中位数为15 D．众数为14 3．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 题型二：平均数 1．已知一组数据的平均数为3，则（ ） A． B． C． D． 2．从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，26，25，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．26，25 B．26，24 C．23，24 D．23，23 3．某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（ ） A． B． C． D． 4．某校举办“迎七一”红歌比赛，五位评委给某参赛班级的评分分别为87，87，89，m，90，若这组数据的平均数为88，则这组数据的中位数为（ ） A．88 B．87 C．89 D．90 题型三：中位数 1．已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．甲命中个数的极差为29 B．乙命中个数的众数是21 C．甲的命中率比乙高 D．甲每组命中个数的中位数是25 2．中国共产党第二十次全国代表大会（简称“二十大”）是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会．在学习“二十大”重要会议精神后，某单位对甲、乙两个党支部的党员进行了学习考核，考核成绩（单位：分）整理如图，则下列关于甲、乙两个党支部的得分的说法正确的是（ ） A．甲党支部得分的极差较大 B．乙党支部得分的中位数较大 C．甲党支部得分的平均数较小 D．乙党支部得分的众数较小 3．青少年近视情况日益严重，为了解情况，现从某校抽取部分学生，用对数视力表检查视力情况，A组和B组数据结果用茎叶图记录（如图所示），其中茎表示个位数，叶表示十分位数．对于这两组数据，下列结论正确的是（ ） A．两组数据的中位数相等 B．两组数据的极差相等 C．两组数据的平均数相等 D．两组数据的众数相等 题型四：百分位数 1．样本数据1，1，2，3，5，6的分位数为（ ） A．1 B．2.5 C．2 D．3 2．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第60百分位数是（ ）． A．19 B．21 C．23 D．23.5 3．2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数（满分30分）分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A．极差为8 B．平均数为26 C．众数为26 D．分位数为27 题型五：方差 1．已知一组数据4，7，6，5，a的平均数为5，则这组数据的方差为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（ ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为 C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为 3．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（ ） A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数 4．已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 5．下列统计量中，都能度量样本的集中趋势的是（ ） A．样本的标准差与极差 B．样本的中位数与平均数 C．样本的极差与众数 D．样本的方差与平均数 题型六：频率分布直方图的平均数，中位数，众数比较 1．如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（ ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 2．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（ ） A．图（1）：平均数>中位数=众数 B．图（2）：众数>平均数 C．图（3）：众数<中位数<平均数 D．图（3）：众数<平均数<中位数 3．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 题型一：求解频率分布直方图的百分位数 1．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（ ） A． B．评分在的人数约为20 C．估计评分的下四分位数为65 D．估计评分的平均数为76.5 2．（多选）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为70% C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 3．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b. (1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数； (2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值． 4．在某次书展上随机抽取100名观众，调查他们每个月的阅读时长（单位：），得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，）. (1)若用分层抽样的方式从中随机抽取9人，则内应抽取多少人？ (2)估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）. (3)若阅读时长在前10%的观众被认定为“阅读王者”，通过频率分布直方图，估计阅读时长至少为多少小时，才能被认定为“阅读王者”. 题型一：数据变化的均值和方差 1．已知样本数据都为正数，其方差为，则样本数据的平均数为（ ） A．21 B．25 C．80 D．101 2．已知数据，，…，的平均数为，标准差为，则数据，，…，的平均数和标准差分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ） A． B． C． D． 4．若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为5，乙组样本数据，，…，的平均数为5，则下列说法不正确的是（ ） A．的值为 B．乙组样本数据的方差为45 C．两组样本数据的样本极差不同 D．两组样本数据的样本中位数一定相同 题型二：均值和方差的应用 1．甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于13的是（ ） A．甲：中位数为10，众数为12 B．乙：中位数为10，极差为3 C．丙：平均数为9，方差为 D．丁：平均数为9，极差为4 2．四名同学各投掷骰子次，记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定出现点数的是（ ） A．众数为，极差为 B．中位数为，极差为 C．平均数为，极差为 D．平均数为，众数为 3．已知样本容量为5的样本平均数为3，方差为，将数据9加入原样本得到样本容量为6的新样本，若新样本的平均数为，方差为，则（ ） A． B． C． D． 题型一：分层随机抽样的均值和方差 1．已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为________________，方差为_______________． 2．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的平均数为________________，方差为___________________． 3．某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为________________．提示：． 4．为完善学校体育教学模式，提高学生体育与健康素养，现对某校3000名高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生的调查结果.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于85分钟的学生称为“运动爱好者”. (1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生中“运动爱好者”的人数； (2)在抽取的100名学生中，随机选取了10名学生的每天平均运动时间（单位：分钟）：，已知这10个数的平均数，方差，若剔除其中的20和12两个数，求剩余8个数的平均数与方差. 5．据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映､预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图. (1)估计观看此电影的观众的年龄的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差. (3)证明：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4用样本估计总体数字特征 题型一：众数 1．样本数据2，8，13，13，20的众数为（ ） A．2 B．8 C．13 D．20 【答案】C 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】这组数据中出现次数最多的是13，所以众数是13. 故选：C. 2．样本数据2，8，14，14，20，下列说法正确的是（ ） A．极差为22 B．平均数为14 C．中位数为15 D．众数为14 【答案】D 【分析】根据极差，平均数，中位数，众数的定义即可判断． 【详解】对于A：极差为，故A错误； 对于B：平均数为，故B错误； 对于C：中位数为14，故C错误； 对于D：众数为14，故D正确. 故选：D． 3．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 【答案】A 【分析】按照众数与中位数这两个概念进行求解即可 【详解】从统计图中知，85分出现的次数最多，故众数是85； 把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数， 而，故中位数是； 故只有选项A正确； 故选：A． 题型二：平均数 1．已知一组数据的平均数为3，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均数的计算公式列出方程，求解即得. 【详解】因为数据的平均数为，可得，解得. 故选：A. 2．从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，26，25，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．26，25 B．26，24 C．23，24 D．23，23 【答案】C 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数. 【详解】原数据组由小到大排列为：23，23，23，24，25，25，26， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24． 故选：C． 3．某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平均数，对的取值进行分类讨论，求出这组数据的中位数，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】这组数据的平均数为， 除外，将剩余的个数据由小到大排列依次为，，，，，， 若，则这组数据的中位数为， 若，同理可知，这组数据的中位数也为， 因为这组数据的中位数和平均数相等，故，解得. 故选：B. 4．某校举办“迎七一”红歌比赛，五位评委给某参赛班级的评分分别为87，87，89，m，90，若这组数据的平均数为88，则这组数据的中位数为（ ） A．88 B．87 C．89 D．90 【答案】B 【分析】根据给定的平均数求出m，再利用中位数的定义计算作答. 【详解】依题意，，解得， 参赛班级所得分从小到大依次为：87，87，87，89，90， 所以这组数据的中位数为87. 故选：B. 题型三：中位数 1．已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．甲命中个数的极差为29 B．乙命中个数的众数是21 C．甲的命中率比乙高 D．甲每组命中个数的中位数是25 【答案】D 【分析】根据茎叶图及中位数、众数、极差的定义计算一一判定选项即可. 【详解】根据茎叶图可知甲命中最多37，最少8，即极差为29，故A正确； 显然乙命中个数的众数为21，出现两次，故B正确； 甲命中共214个，乙命中共169个，所以甲命中率高，故C正确； 甲命中的个数中位数为，故D错误. 故选：D 2．中国共产党第二十次全国代表大会（简称“二十大”）是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会．在学习“二十大”重要会议精神后，某单位对甲、乙两个党支部的党员进行了学习考核，考核成绩（单位：分）整理如图，则下列关于甲、乙两个党支部的得分的说法正确的是（ ） A．甲党支部得分的极差较大 B．乙党支部得分的中位数较大 C．甲党支部得分的平均数较小 D．乙党支部得分的众数较小 【答案】B 【分析】根据茎叶图分别计算两支部的极差、中位数、平均数以及众数，比较大小，可得答案. 【详解】由茎叶图可知甲党支部得分的极差为，乙党支部得分的极差为, 即乙党支部得分的极差较大，A错误； 将甲党支部得分从小到达排列为，中位数为82， 乙党支部得分从小到达排列为，中位数为，B正确； 甲党支部得分的平均数为， 乙党支部得分的平均数为，C错误； 甲党支部得分的众数为82，,乙党支部得分的众数为，D错误， 故选：B 3．青少年近视情况日益严重，为了解情况，现从某校抽取部分学生，用对数视力表检查视力情况，A组和B组数据结果用茎叶图记录（如图所示），其中茎表示个位数，叶表示十分位数．对于这两组数据，下列结论正确的是（ ） A．两组数据的中位数相等 B．两组数据的极差相等 C．两组数据的平均数相等 D．两组数据的众数相等 【答案】C 【分析】将两组数据从小到大排列，分别根据中位数、极差、平均数、众数的概念及求法，求解并判断即可． 【详解】A组数据按从小到大排列为：4.0，4.4，4.6，4.6，4.6，4.7，4.8，5.0，5.1，5.2， B组数据按从小到大排列为：4.2，4.4，4.4，4.5，4.8，4.8，4.8，4.9，5.0，5.2， 所以A组数据的中位数为＝4.65，B组数据的中位数为＝4.8， 故两组数据的中位数不相等，故A错误； A两组数据的极差为5.2－4.0＝1.2，B组数据的极差为5.2－4.2＝1.0，故两组数据的极差不相等，故B错误； A组数据的平均数为×(4.0＋4.4＋3×4.6＋4.7＋4.8＋5.0＋5.1＋5.2)＝4.7， B组数据的平均数为×(4.2＋2×4.4＋4.5＋3×4.8＋4.9＋5.0＋5.2)＝4.7， 故两组数据的平均数相等，故C正确； A组数据的众数为4.6，B组数据的众数为4.8，故两组数据的众数不相等，故D错误． 故选：C． 题型四：百分位数 1．样本数据1，1，2，3，5，6的分位数为（ ） A．1 B．2.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据百分位数定义计算求解. 【详解】因为，所以该组数据的分位数为2. 故选：C. 2．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第60百分位数是（ ）． A．19 B．21 C．23 D．23.5 【答案】B 【分析】根据第60百分位数定义计算即可. 【详解】数据按从小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个数， 因为， 所以第60百分位数是. 故选：B 3．2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数（满分30分）分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A．极差为8 B．平均数为26 C．众数为26 D．分位数为27 【答案】D 【分析】根据题意结合极差、平均数、众数以及百分位数的定义逐项分析判断即可. 【详解】因为数据为22，24，26，26，28，30， 可知极差为，众数为26，故A，C正确； 平均数为，故B正确； 又因为，所以分位数为第5位数，即为28，故D错误； 故选：D. 题型五：方差 1．已知一组数据4，7，6，5，a的平均数为5，则这组数据的方差为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先由平均数的计算公式可得，再由方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为4，7，6，5，a的平均数为5， 即，解得， 则方差为. 故选：A 2．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（ ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为 C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为 【答案】B 【分析】根据数据的数字特征直接计算得出. 【详解】由数据得，极差为6，众数为3，9，所以A正确，B错误. 数据的平均数,所以C正确. 数据的方差，所以D正确. 故选：B. 3．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（ ） A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C. 【详解】样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2， 去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变， 由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确. 故选：D. 4．已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】C 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 5．下列统计量中，都能度量样本的集中趋势的是（ ） A．样本的标准差与极差 B．样本的中位数与平均数 C．样本的极差与众数 D．样本的方差与平均数 【答案】B 【分析】利用度量集中趋势和离散程度数据区别，可判断选项. 【详解】根据书中知识可知：度量数据的集中趋势的是中位数，平均数，众数， 度量数据的离散程度的是方差，标准差，极差， 所以本题B是正确的， 故选:B. 题型六：频率分布直方图的平均数，中位数，众数比较 1．如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（ ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 【答案】B 【分析】利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可. 【详解】众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点， 所有矩形的面积之和为，显然前两个矩形的面积之和小于， 即众数＜中位数； 又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数， 所以众数＜中位数＜平均数. 故选：B. 2．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（ ） A．图（1）：平均数>中位数=众数 B．图（2）：众数>平均数 C．图（3）：众数<中位数<平均数 D．图（3）：众数<平均数<中位数 【答案】C 【分析】在频率分布直方图中，我们根据图形的形态特点来分析这三个统计量的大小关系。对于对称形态，平均数、中位数和众数大致相等；对于不规则形态，需根据图形具体分析；对于“右拖尾”形态，由于右侧有较大的极端值，会拉高平均数，从而使得众数、中位数和平均数有特定的大小关系。 【详解】A中应有平均数=中位数=众数； B中众数<平均数； C，D中，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数更接近“拖尾”的一边，所以平均数>中位数，而最高峰偏左，因此众数最小. 故选：C. 3．平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断. 【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则， 又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即， 所以. 故选：C. 题型一：求解频率分布直方图的百分位数 1．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（ ） A． B．评分在的人数约为20 C．估计评分的下四分位数为65 D．估计评分的平均数为76.5 【答案】C 【分析】利用频率和为1求出判断A；利用频率求出频数判断B；求出下四分位数判断C；求出评分的平均数判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，评分在的频率为，评分在的人数约为，B正确； 对于C，评分在的频率为，评分在的频率为， 则评分的下四分位数在内， 由，解得，C错误； 对于D，评分的平均数，D正确. 故选：C 2．（多选）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为70% C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 【答案】ABC 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，A项可由各矩形高度可判断；B项由频率计算可判断；C项分别求出平均数、中位数比较可判断；D项由极差定义可判断. 【详解】设组的频率为，则由各组频率之和为1可得 ，解得； ，，，，各组频率依次为：，，，，： 对于A，组频率最大，即成绩在上的人数最多，故A正确； 对于B，成绩低于70分的学生频率为，即不低于70分的学生频率为， 所以成绩不低于70分的学生所占比例为，故B正确； 对于C，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是， 由，故50名学生成绩的中位数为80， 所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确； 对于D，极差为数据中最大值与最小值的差，已知50名学生的成绩都在区间内，但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是50，故极差小于等于50， 但不一定等于50，故D错误. 故选：ABC. 3．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b. (1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数； (2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值． 【答案】(1)a=0.15.b=0.06，众数为4.5吨. (2)5.8 【分析】（1）由频率直方图的面积和为建立方程组.由此即可求出的值.再根据估计众数的定义即可求解； （2）分别求出前组.前组的频率和，估计出的范围.再根据范围建立方程，由此即可求解． 【详解】（1）由题意可得. 解得，. 由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数为吨. （2）因为前6组的频率和为， 前5组的频率和为. 所以，由，解得， 所以估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准． 4．在某次书展上随机抽取100名观众，调查他们每个月的阅读时长（单位：），得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，）. (1)若用分层抽样的方式从中随机抽取9人，则内应抽取多少人？ (2)估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）. (3)若阅读时长在前10%的观众被认定为“阅读王者”，通过频率分布直方图，估计阅读时长至少为多少小时，才能被认定为“阅读王者”. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）应用各组频率和为1计算求参数，再应用各段频率应用分层抽样计算人数； （2）应用频率分布直方图计算平均数即可； （3）应用百分位数定义计算求解. 【详解】（1）由，得. 因为阅读时长在区间，，，，内的频率分别为0.08，0.32，0.40，0.16，0.04， 所以阅读时长在区间，内的人数分别为32，40， 所以用分层抽样的方式从中随机抽取9人，内应抽取人. （2）设阅读时长的平均数为， 则， 即估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数为. （3）设阅读时长至少为，才能被认定为“阅读王者”. 因为，， 所以，解得， 所以估计阅读时长至少为，才能被认定为“阅读王者”. 题型一：数据变化的均值和方差 1．已知样本数据都为正数，其方差为，则样本数据的平均数为（ ） A．21 B．25 C．80 D．101 【答案】A 【分析】设样本数据的平均数为，由条件结合方差公式可求，再根据平均数的性质可求结论. 【详解】设平均数为， 因为 ， ， 所以，由，故. 则样本数据的平均数为. 故选：A. 2．已知数据，，…，的平均数为，标准差为，则数据，，…，的平均数和标准差分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平均数及方差的性质求出数据，，…，的平均数和方差，进而求出标准差. 【详解】数据，，…，的平均数为，标准差为，方差为， 根据平均数与方差的定义及结论可得， 数据，，…，的平均数和方差分别为，， 故数据，，…，的标准差为. 故选：. 3．若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方差的计算公式直接计算. 【详解】设数据，，，的平均数为， 则方差， 即； 则数据，，，的平均数为， 则方差 ， 故选：C. 4．若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为5，乙组样本数据，，…，的平均数为5，则下列说法不正确的是（ ） A．的值为 B．乙组样本数据的方差为45 C．两组样本数据的样本极差不同 D．两组样本数据的样本中位数一定相同 【答案】D 【分析】根据两组样本数据的平均数与方差的关系，可判定A、B正确，根据极差的概念，可判定C正确，根据中位数的计算方法，可得判定D正确. 【详解】由甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为，方差为， 乙组样本数据，，…，的平均数为5， 可得，即，解得，所以A正确； 设乙组样本数据的方差为，可得，所以B正确； 不妨设，则甲组数据的极差为， 乙组数据的极差为， 因为甲组数据各不相同，所以两组样本数据的极差不相等，所以C正确； 设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为， 若，可得，所以两组样本数据的中位数可能相同，所以D不正确. 故选：D. 题型二：均值和方差的应用 1．甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于13的是（ ） A．甲：中位数为10，众数为12 B．乙：中位数为10，极差为3 C．丙：平均数为9，方差为 D．丁：平均数为9，极差为4 【答案】B 【分析】根据各选项所给信息，逐一判断即可. 【详解】对于选项A，因为中位数为10，众数为12，所以这5个数从小到大排列后，第3个数是10，则第4个和第5个数都是12，所以这5个数都小于13；所以选项A错误. 对于选项B，因为中位数为10，极差为3，所以这5个数可以是10，10，10，11，13，则乙分析的数据中可以有大于或等于13的数；所以选项B正确. 对于选项C，因为平均数为9，方差为，由方差公式得：， 假设这5个数中出现大于或等于13的数，不妨设，则方差， 与方差为矛盾，所以假设错误，所以这5个数中没有大于或等于13的数；所以选项C错误. 对于选项D，假设这5个数中出现了大于或等于13的数，因为极差为4，所以最小的数需大于或等于9，此时这5个数的平均数一定会大于9，与平均数为9矛盾，所以这5个数都小于13，所以选项D错误. 故选:B． 2．四名同学各投掷骰子次，记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定出现点数的是（ ） A．众数为，极差为 B．中位数为，极差为 C．平均数为，极差为 D．平均数为，众数为 【答案】C 【分析】利用特例法可判断ABD选项；对于C选项，设个数据由小到大排序为、、、，利用平均数公式和极差的定义分析可得出结果. 【详解】对于A选项，数据、、、的众数为，极差为，但没有出现，A不满足要求； 对于B选项，数据、、、的中位数为，极差为，但没有出现，B不满足要求； 对于C选项，设个数据由小到大排序为、、、，则， 则， 若，则，由， 可得，不合乎题意，舍去； 所以，故，由，可得， 所以数据、、、或、、、合乎题意.C满足要求； 对于D选项，数据、、、的平均数为，众数为，但没有出现，D不满足要求. 故选：C. 3．已知样本容量为5的样本平均数为3，方差为，将数据9加入原样本得到样本容量为6的新样本，若新样本的平均数为，方差为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原样本为，，，，，根据平均数和方差的计算公式，可得，，再利用公式计算新样本的平均数和方差即可. 【详解】设原样本为，，，，， 则：， . 所以， . 故选：B 题型一：分层随机抽样的均值和方差 1．已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为、方差为，乙校高一学生成绩的平均数为、方差为，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的平均数为________________，方差为_______________． 【答案】 【分析】根据平均数与方差公式直接计算. 【详解】由已知可得平均数为， 方差为， 故答案为：，. 2．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的平均数为________________，方差为___________________． 【答案】45 【分析】根据平均数和方差的定义计算可得. 【详解】设甲组数据为，，，，，.设乙组数据为，，，，，. 根据题意得，得.——① . 所以， 即.——② 同理，得.——③ ， 所以， 即.——④ 所以将甲、乙两组数据混合成一组数据平均数为：. 方差为： . 故答案为：4；5. 3．某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为________________．提示：． 【答案】2 【分析】根据给定条件，求出该校高一学生每周平均锻炼时长，再利用方差公式计算出方差. 【详解】高一男生、女生锻炼时长平均数为，方差分别为， 则该校高一学生每周锻炼时长的平均数， 所以该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为. 故答案为：2 4．为完善学校体育教学模式，提高学生体育与健康素养，现对某校3000名高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生的调查结果.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于85分钟的学生称为“运动爱好者”. (1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生中“运动爱好者”的人数； (2)在抽取的100名学生中，随机选取了10名学生的每天平均运动时间（单位：分钟）：，已知这10个数的平均数，方差，若剔除其中的20和12两个数，求剩余8个数的平均数与方差. 【答案】(1)，600 (2)，方差为 【分析】（1）由所有矩形的面积之和为1求得，先根据图表求出“运动爱好者”的频率，再根据学生总人数估计“运动爱好者”人数； （2）由10个数的平均数得到10个数的和，利用剩余8个数平均数与这个和的关系求平均数；由10个数的方差得到10个数的平方和，利用剩余8个数的方差与这个平方和的关系求方差. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ，解得. 每天平均运动时间不低于85分钟的频率估计为0.0025×20+（100-85）×0.01=0.2， 故该校学生中“运动爱好者”的人数估计为3000×0.2=600. （2）， 剔除其中的20和12两个数， 剩余8个数的平均数. 因为 ， 则， 方差为. 5．据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映､预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图. (1)估计观看此电影的观众的年龄的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差. (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据评论分布直方图中均值与中位数的计算方式可求； （2）利用分层抽样的均值与方程计算公式可求； （3）根据方差的定义直接证明. 【详解】（1）由题意可得平均数 ； 又落在区间、、的概率分别为， 所以中位数落在区间， 中位数为； （2）平均值， 方差； （3）根据方差的定义，总样本方差为 由， 可得， 同理可得， 因此， . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $