第六章 4.1样本的数字特征 同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 聚焦样本数字特征，分层设计从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数据意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|中位数、平均数、方差等单一概念|选择1-2直接考查定义，填空7-9强化运算，夯实概念理解| |综合应用|图表分析、数据变换|选择3-6结合直方图/条形图，填空13-14综合方差计算，提升推理能力| |拓展提升|实际情境与高考应用|解答15-16关联射击成绩分析、新旧设备对比（2021全国乙卷题），发展应用意识|

§4　用样本估计总体的数字特征 4.1　样本的数字特征 1.某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96.则这组数据的中位数和平均数分别是（　　） A.91.5和91.5　 B.91.5和92 C.91和91.5　 D.92和92 2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　） A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差 C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数 3.如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为，，样本标准差分别为sA，sB，则（　　） A.＞，sA＞sB　　 B.＜，sA＞sB C.＞，sA＜sB　 D.＜，sA＜sB 4.已知样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是（　　） 5.（多选）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为6，方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说法正确的是（　　） A.这组新数据的平均数为6 B.这组新数据的平均数为9 C.这组新数据的方差为1 D.这组新数据的方差为4 6.（多选）为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.根据统计图的数据，下列结论正确的是（　　） A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次 B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次 C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320 D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为32 7.一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的平均数为　　　　. 8.2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间[10，20）的有10位，位于区间[20，30）的有20位，位于区间[30，40）的有25位，位于区间[40，50]的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为　　　　. 9.小明5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为　　　　. 10.高一（3）班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分. （1）求这次测验全班平均分（精确到0.01）； （2）估计全班成绩在80分以下（含80分）的同学至少有多少人？ （3）分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？ 11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（　　） A.甲地：总体平均数为3，中位数为4 B.乙地：总体平均数为1，总体方差大于0 C.丙地：中位数为2，众数为3 D.丁地：总体平均数为2，总体方差为3 12.（多选）共享经济的商业模式在全球范围迅速崛起，以Uber，Airbnb为代表的共享经济商业平台，以超乎想象的速度在影响和改变着人们的生活方式、商业的运行模式、组织管理模式，也给传统的领域带来了巨大冲击和压力.某共享汽车公司为了解大众家庭在汽车共享方面的支出情况，随机抽取了n个家庭进行调查，结果显示这些家庭的支出（单位：元）都在[10，50）内，并绘制了频率分布直方图如图所示，则以下说法正确的是（　　） A.若n＝200，则支出在[40，50）内的家庭有60个 B.调查的这些家庭的平均支出为33.8元 C.若支出在[30，50）内的家庭有67个，则调查的家庭共有100个 D.调查的这些家庭的支出的中位数约为31.35元 13.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1，那么当这组数据的方差最大时，被污损的两个数据分别是　　　　. 14.为普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则m，n，的大小关系为　　　　.（用“＜”连接） 15.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示. （1）请填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 乙 （2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（谁的成绩更稳定）； ②从平均数和中位数相结合看（谁的成绩好些）； ③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（谁的成绩好些）； ④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看（谁更有潜力）. 16.（2021·全国乙卷17题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和. （1）求，，，； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果－≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 4.1　样本的数字特征 1.A　∵这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，∴中位数是＝91.5，平均数＝＝91.5. 2.B　因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差.故选B. 3.B　∵样本A的数据均不大于10，样本B的数据均不小于10，∴＜.由题图可知样本A中数据波动程度较大，样本B中数据较稳定，∴sA＞sB.故选B. 4.D　选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D.也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大. 5.BD　由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，（x1－6）2＋（x2－6）2＋…＋（xn－6）2＝n， 则 ＝＝9， ＝＝4， 所以这组新数据的平均数为9，方差为4.故选B、D. 6.ABC　由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次.1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约为160.D是错误的. 7.4　解析：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷＝3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则＝3，解得x＝4，所以这组数据的平均数为＝×（1＋2＋2＋4＋5＋10）＝4. 8.35　解析：由于25＞20＞15＞10，故众数位于区间[30，40），所以众数的估计值为＝35. 9.4　解析：由题意可得x＋y＝20，（x－10）2＋（y－10）2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，｜t｜＝2，故｜x－y｜＝2｜t｜＝4. 10.解：（1）这次测验全班平均分＝（82×27＋80×21）≈81.13（分）. （2）因为男同学的中位数是75，所以至少有14人得分不超过75分. 又因为女同学的中位数是80，所以至少有11人得分不超过80分. 所以全班至少有25人得分在80分以下（含80分）. （3）男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大. 11.D　根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不能超过7人. 选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，选项C中也有可能存在大于7的数； 选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数； 选项D中，设连续10天，每天新增疑似病例分别为x1，x2，x3，…，x10，并设有一天超过7人，如第一天为8人，则s2＝[（8－2）2＋（x2－2）2＋…＋（x10－2）2]＞3，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人. 12.AC　根据频率分布直方图可得，支出在[40，50）内的频率为1－（0.01＋0.023＋0.037）×10＝0.3，则频数为200×0.3＝60，故选项A正确；调查的这些家庭的平均支出为15×0.01×10＋25×0.023×10＋35×0.037×10＋45×0.03×10＝33.7（元），故选项B错误；由图知[10，30）的频率为（0.023＋0.01）×10＝0.33，[30，50）的频率为1－0.33＝0.67，所以n＝＝100，故选项C正确；[10，30）的频率为（0.023＋0.01）×10＝0.33，可知中位数应该在[30，40）内，设中位数为x，则有0.01×10＋0.023×10＋（x－30）×0.037＝0.5，解得x≈34.59，故选项D错误. 13.19，1　解析：设这组数据的最后两个数分别是10＋x，y，则9＋10＋11＋（10＋x）＋y＝50，得x＋y＝10，所以s2＝[1＋0＋1＋x2＋（－x）2]＝＋x2，所以当x＝9时，s2最大，为，故被污损的两个数据分别是19，1. 14.n＜m＜　解析：由题图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数（分别为5，6）的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5； ＝（2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10）≈5.97.故n＜m＜. 15.解：（1）由题图可知，甲射靶命中的环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙射靶命中的环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1； 乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及9环以上次数为3. 如下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 （2）①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定； ②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些； ③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好； ④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未超过乙，故乙更有潜力. 16.解：（1）由表格中的数据易得： ＝＋10.0＝10.0， ＝＋10.0＝10.3， ＝×[（9.7－10.0）2＋2×（9.8－10.0）2＋（9.9－10.0）2＋2×（10.0－10.0）2＋（10.1－10.0）2＋2×（10.2－10.0）2＋（10.3－10.0）2]＝0.036， ＝×[（10.0－10.3）2＋3×（10.1－10.3）2＋（10.3－10.3）2＋2×（10.4－10.3）2＋2×（10.5－10.3）2＋（10.6－10.3）2]＝0.04. （2）由（1）中数据可得－＝10.3－10.0＝0.3，而2＝＝，显然有－＞2成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $