3.2.2 公式法-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，系统梳理求根公式推导、根的判别式及解题步骤。通过配方法解具体方程导入，逐步过渡到一般形式ax²+bx+c=0的推导，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以推理意识为核心，通过公式推导过程培养学生逻辑思维，分步骤例题解析强化运算能力，易错点总结提升模型意识。如例5规范解题步骤、嘉嘉同学错误辨析实例，助力学生掌握通用解法，教师可依托系统资源提升教学效率。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月20日 3.2.2 公式法 第3章 一元二次方程 湘教版九年级上册数学3.2.2 公式法 练习题 一、核心知识点梳理 公式法是解一元二次方程的通用万能解法，由配方法推导得出，适用于所有有实数根的一元二次方程，是本章核心重点内容。1. 求根公式推导：对于一元二次方程一般形式$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，通过配方法逐步变形，可推导出求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(a eq0,b^2-4ac\geq0)$$。2. 根的判别式：记$$\Delta=b^2-4ac$$，用于判断方程实数根的情况。当$$\Delta>0$$时，方程有两个不相等的实数根；当$$\Delta=0$$时，方程有两个相等的实数根；当$$\Delta<0$$时，方程无实数根。3. 公式法解题步骤：第一步，将方程化为一般形式，确定$$a、b、c$$的值；第二步，计算判别式$$\Delta$$，判断根的情况；第三步，若$$\Delta\geq0$$，代入求根公式计算未知数的值；第四步，化简根式，整理得出方程的根。 二、基础巩固练习题 选择题（每题5分，共30分） 1. 一元二次方程$$x^2-3x+2=0$$的判别式$$\Delta$$的值为（） A. 1 B. -1 C. 17 D. -17 2. 方程$$2x^2+5x+2=0$$中，$$a、b、c$$的值分别是（） A. 2、5、2 B. 2、-5、2 C. 2、5、-2 D. -2、5、2 3. 下列一元二次方程中，无实数根的是（） A. $$x^2-2x+1=0$$ B. $$x^2+x+1=0$$ C. $$x^2-4x=0$$ D. $$x^2+3x-2=0$$ 4. 若方程$$x^2-mx+4=0$$有两个相等的实数根，则$$m$$的值为（） A. 4 B. -4 C. ±4 D. ±2 5. 用公式法解方程$$3x^2-2x-1=0$$，代入公式正确的是（） A. $$x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{6}$$ B. $$x=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{6}$$ C. $$x=\frac{2\pm\sqrt{4-12}}{6}$$ D. $$x=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6}$$ 6. 方程$$x^2+2x-3=0$$的实数根个数为（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 填空题（每题6分，共30分） 1. 一元二次方程求根公式为________，使用前提是________。 2. 方程$$x^2-6x+9=0$$的判别式$$\Delta=$$________，方程根的情况是________。 3. 已知方程$$2x^2-3x+k=0$$有两个不相等实数根，则$$k$$的取值范围是________。 4. 用公式法解方程$$x^2-x-1=0$$，得到的根为________。 5. 若方程$$ax^2+4x+1=0$$有实数根，则$$a$$的取值范围是________。 解答题（共40分） 1.（12分）先判断下列方程根的情况，再简要说明依据： （1）$$2x^2+3x-1=0$$ （2）$$x^2-2x+2=0$$ （3）$$4x^2-4x+1=0$$ 2.（14分）用公式法解下列一元二次方程： （1）$$x^2-5x+6=0$$ （2）$$2x^2+x-1=0$$ 3.（14分）用公式法解含无理根的一元二次方程： （1）$$x^2-2x-2=0$$ （2）$$3x^2-2x-2=0$$ 三、参考答案与详细解析 选择题解析 1. A 解析：$$\Delta=(-3)^2-4\times1\times2=9-8=1$$。 2. A 解析：方程为一般形式，直接得$$a=2，b=5，c=2$$。 3. B 解析：B选项$$\Delta=1-4=-3<0$$，无实数根，其余方程判别式均大于0。 4. C 解析：两个相等实数根则$$\Delta=0$$，即$$m^2-16=0$$，解得$$m=\pm4$$。 5. A 解析：$$a=3，b=-2，c=-1$$，代入公式得$$x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{6}$$。 6. C 解析：$$\Delta=4+12=16>0$$，方程有两个不相等实数根。 填空题答案 1. $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$；$$a eq0$$且$$b^2-4ac\geq0$$ 2. 0；有两个相等的实数根 3. $$k<\frac{9}{8}$$ 4. $$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}，x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$ 5. $$a\leq4$$且$$a eq0$$ 解答题解析 1. （1）$$\Delta=9+8=17>0$$，有两个不相等实数根；（2）$$\Delta=4-8=-4<0$$，无实数根；（3）$$\Delta=16-16=0$$，有两个相等实数根。 2. （1）$$a=1，b=-5，c=6$$，$$\Delta=25-24=1$$，解得$$x_1=2，x_2=3$$；（2）$$a=2，b=1，c=-1$$，$$\Delta=1+8=9$$，解得$$x_1=\frac{1}{2}，x_2=-1$$。 3. （1）$$a=1，b=-2，c=-2$$，$$\Delta=4+8=12$$，解得$$x_1=1+\sqrt{3}，x_2=1-\sqrt{3}$$；（2）$$a=3，b=-2，c=-2$$，$$\Delta=4+24=28$$，解得$$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{3}，x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$$。 四、易错点总结 1. 符号错误：确定$$a、b、c$$的值时，忽略系数正负，尤其是一次项、常数项为负数的情况；2. 忘记先化一般形式，直接代入公式计算，导致取值错误；3. 判别式计算失误，混淆$$b^2$$与$$4ac$$的符号，出现正负颠倒；4. 忽略$$a eq0$$的前提，含参数方程解题时遗漏二次项系数不为0的条件；5. 根式化简不彻底，最终结果未化为最简二次根式，答题不规范。公式法通用性强、步骤固定，熟练掌握判别式的应用和公式代入规范，可解决所有一元二次方程实数根求解问题，是中考必考重点题型。 1、用配方法解方程： 2、你能用配方法解方程： 吗？ 1、求根公式的推导 [探究]怎样用配方法解方程：ax2+bx+c=0(a≠0)吗? 1.化1:把二次项系数化为1; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 2.移项:把常数项移到方程的右边; 1、求根公式的推导 一元二次方程 （a≠0） 在b2－4ac≥0时，它的根为： (b2－4ac≥0) 结论 我们通常把这个式子叫作一元二次方程 的求根公式。 （a≠0） 由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与系数a，b，c之间的一个关系。 运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 知识点1 一元二次方程的求根公式 1. 如果一元二次方程 能用求根公式求解，那 么必须满足的条件是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 5 2. 在用求根公式解一元二次方程的根时，代入 ，，得到 ，则求解的一元二次方程 是( ) A A. B. C. D. 3. 解一元二次方程 可得方程的根为 ,则 ____. 返回 中考考法 6 2、运用公式法解一元二次方程 例5 用公式法解下列方程： 1.变形:化已知方程为一般形式； 3.计算: b2－4ac的值； 4.代入:把有关数值 代入公式计算； 5.定根:写出原方程的根。 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数； 知识点2 用公式法解一元二次方程 4. 利用公式法解一元二次方程 可得两根为 ，，且，则 的值应在( ) D A. 0和1之间 B. 和0之间 C. 和之间 D. 和 之间 5. 已知代数式与代数式 的值互为相反数， 则 _ ____________. 或 返回 中考考法 8 6. 用公式法解下列方程： （1） ； 【解】因为，, ,所以 .所以 ，即， . 中考考法 9 （2） ; ,整理得 . 因为,,,所以 , 所以原方程无实数根. 中考考法 10 （3） ； 因为,， ,所以 .所以 ,即, . 中考考法 11 （4） . 化简,得.所以,, . 所以 . 所以,即, . 返回 中考考法 12 7. 嘉嘉同学解一元二次方程 的过程 如下． 解：，，， ，② ，③ .④ （1）嘉嘉解方程的方法是________,他的求解过程从第____ 步开始出现错误； 公式法 ② 中考考法 13 （2）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【解】，，， ， ， 所以 ， 所以， ． 返回 中考考法 14 $