25.2.1配方法（第2课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过情境问题对比可直接开方的方程，引导学生思考如何转化方程形式，以完全平方公式填空、操作尝试为支架，衔接直接开平方法，构建从已知到未知的知识脉络。 其亮点在于以问题驱动探究，通过“为什么加一次项系数一半的平方”培养推理意识，将方程转化为(x+n)²=p模型发展模型意识，典例涵盖不同系数方程，拓展题如求二次函数最值提升运算能力。小结系统归纳步骤，帮助学生构建知识体系，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

25.2.1 配方法 （第2课时） 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 2 理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程. 在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解． 知识关联 【情境问题】 根据方程x2+6x+9=5的求解思路，你能解一元二次方程x2+6x+4=0吗? 大家都知道，任何一个能变形为x2=p或(ax+b)2=c形式的一元二次方程，都可以用直接开平方法解。 助力教学 (authorId_373264932) - 用两个看似不同而实质相同的方程x2+6x+9=5和x2+6x+4=0对比求解,容易启发学生思考,激起学生深入探究的积极性,从而更好地体验配方法解方程的过程 探索新知 怎样解方程 x2＋6x＋4＝0？ 探究 解方程 (x＋3)2＝5 时，因为它的左边是含有 x 的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 那么，你能将方程 x2＋6x＋4＝0 转化为 (x＋m)2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解吗？ 转化 解方程：x2+6x+4=0. 2 合作探究 分析：要把方程x2+6x+4=0转化为像(x+3)2=5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式. x2+6x+4=0 a2 + 2ab + b2 =( a + b )2 x2 + 6x + = . 32 ( x + 3 )2 移项 x2+6x=−4 配方 x2+6x+9=−4+9 因式分解 (x+3)2=5 一次项系数一半的平方 解方程：(x+3)2=5. 2 合作探究 解：移项，得 x2+6x=−4， 配方，得 x2+6x+9=−4+9， (x+3)2=5， 由此可得 x+3=±， x1=−3+，x2=−3−. 降次 解方程：x2+6x+4=0. 像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 可以验证，−3±是方程x2+6x+4=0的两个根. 配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 【探究1】 完全平方式 【操作尝试】 问题：什么是完全平方公式? 根据完全平方式的特点完成下列填空. 探究与应用 思考:要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式,常数项该如何变化? （1）x2 - 18x + = ( x - )2 （2）x2 - x + = ( x - )2 （3）x2 + x + = ( x + )2 81 9 常数项是一次项系数一半的平方 助力教学 (authorId_373264932) - 学会利用完全平方式的知识填空,感受配方,为课题的学习做好铺垫. 【理解应用】 探究与应用 例1 填上适当的数，使下列等式成立 （1） x2+12 x+ = (x+6)2 （2）x2-6 x+ = (x-3)2 （3）x2-4 x+ =(x - )2 （4） x2+8 x+ =(x+ )2 36 9 4 2 16 4 探索新知 怎样解方程 x2＋6x＋4＝0？ 探究 使左边配成 x2＋2bx＋b2 的形式 两边加 9 x2＋6x＋4＝0 移项 x2＋6x＝－4 x2＋6x＋9＝－4＋9 左边写成完全平方形式 (x＋3)2＝5 降次 x＋3＝± x＋3＝，或 x＋3＝－ 解一次方程 x1＝－3＋，x2＝－3－ 探索新知 使左边配成 x2＋2bx＋b2 的形式 两边加 9 x2＋6x＝－4 x2＋6x＋9＝－4＋9 思考：为什么在方程 x2＋6x＝－4 的两边加 9？加其他数行吗？ 不行， 因为只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式. 3 典例分析 例2 解下列方程： (1) x2−8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3)3x2−6x+4=0. 分析：(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. 解：移项，得 x2−8x=−1， 配方，得 x2−8x+42=−1+42， (x−4)2=15， 由此可得 x−4=±， x1=4+，x2=4−. 3 典例分析 例2 解下列方程： (1) x2−8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3)3x2−6x+4=0. 分析：（2）方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2. 解：移项，得 2x2−3x=−1， 二次项系数化为1，得 x2− x=− ， 配方，得 x2− x+()2=− +()2， (x− )2=. 由此可得 x− =±， x1=1，x2=. 【探究2】解二次项系数为1的一元二次方程 探究与应用 2.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤. 【概括新知】 一、移项，常数项移到等号右边； 二、配方，写成（x+n)2=p(p≥0)； 三、直接开平方； 四、解一次方程. 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 1.配方法的定义 【探究3】解二次项系数不为1的一元二次方程 【思考交流】 你能总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤吗? 探究与应用 观察方程3x2+8x-3=0,它与上面我们所解的方程有什么不同?你有什么想法? 移项，二次项系数化为1，配方，开方，降次求解. 练习: 一元二次方程2x2-4x+1=0可配方成　 　后求解.  二次项系数不是1，而是3 方程两边同时除以3，就化成了二次项系数为1的形式 助力教学 (authorId_373264932) - 让学生探讨总结用配方法解一元二次方程的一般步骤,一方面培养学生归纳总结问题的能力及逻辑思维和语言表达能力;另一方面学生能熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤,掌握每一步的原理,可以增强学生对这个知识点的驾驭能力. 探索新知 配方法 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 基本思路：把方程化为 (x＋n)2＝p 的形式，将一元二次方程降次，转化成两个一元一次方程求解． 配方方法：在方程两边加上一次项系数一半的平方. 注意是在二次项系数为 1 的前提下进行的. 探索新知 1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； 2.二次项系数化为 1，方程左、右两边同时除以二次项系数； 3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.降次，利用平方根的意义降次； 5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 探索新知 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x＋n)2＝p 的形式. (1) 当 p＞0 时，方程有两个不相等的实数根 x1＝，x2＝； (2) 当 p＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－n； (3) 当 p＜0 时，因为对任意实数 x，都有 (x＋n)2≥0，所以方程无实数根. 3 典例分析 归纳总结 配方法的基本步骤： 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2=p的形式. (1)当p>0时，方程有两个不相等的实数根x1=−n+，x2=−n−； (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=−n； (3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)²≥0，所以方程无实数根. 将方程二次项系数化成 1 移项 配方 化为(x+n)2=p (n，p 是常数，p≥0) 的形式 用直接开平方法求得方程的解 【理解应用】 探究与应用 例3 解下列方程． (1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；(3)3x2－6x＋4＝0. 分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法． (2) 方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1，为此，方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程两边都除以3后再配方 解： 移项，得x2－8x＝－1 　　 　配方，得x2－8x＋42＝－1＋42， 　　　　　　　(x－4)2＝15. 　　　 由此可得 　　　　　 　　 　　　　 【理解应用】 探究与应用 (2)2x2＋1＝3x； 解：移项，得 2x2－3x＝－1. 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得　　　　　　　　　　 【理解应用】 探究与应用 解 移项，得 3x2－6x＝－4 二次项系数化为1，得 配方，得 ∵实数的平方不会是负数，∴ x取任何实数时， (x－1)2 都是非负数， 上式都不成立， 即原方程无实数根．　　　　 x2－2x＝ . x2－2x ＋ 12 ＝ ＋ 12. (x－1)2＝ . (3)3x2－6x＋4＝0. 当堂检测 B 当堂检测 C 4 巩固练习 3. 阅读下列关于解方程：x2−2x−9=0的解题过程，解决下列问题． 解： x2−2x=9 ① x2−2x+1=9② (x−1)2=9 ③ x−1=3或x−1=−3④ ∴x1=4，x2=−2⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． ② 4 巩固练习 解： x2−2x=9， 配方得 x2−2x+1=9+1， 即 (x−1)2=10， 开方得 x−1=或x−1=−， x1=1+，x2=1−． 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 例4　用配方法求解下列问题. (1)求2x2-7x+2的最小值; (2)求-3x2+5x+1的最大值. 解： 解： 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 例5　已知:x2+4x+y2-6y+13=0，求 的值. 解： 本节课学习了哪些知识点呢？ 配方法 概念 步骤 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法 一移常数项； 二配方； 三写成 (x+n)2=p (p≥0); 四直接开平方法解方程. 【小结】 课堂小结与检测 配方法解一元二次方程 完全平方公式 方法 添加一次项系数一半的平方 (1) a2+2ab+b2=( a+b )2； (2) a2-2ab+b2=( a-b )2. 步骤 一、移项； 二、系数化为1； 三、配方，写成（x+n)2=p(p≥0)； 四、降次 五、解一次方程. 1.用配方法解方程时，配方后正确的是( ) A. B. C. D. 解析：， 移项，得， 方程两边同时加4，得，即. 故选：B. 2.用配方法解方程时，原方程应变形为( ) A. B. C. D. 解析：，， ，，，即. 故选：C. $