1.6相似三角形的应用课件2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，核心内容为运用相似三角形判定与性质解决不可直接测量的距离、高度等实际问题。课堂导入通过“测校园大树高度”情景问题，引导学生思考构造相似直角三角形，连接已学的相似判定与性质，搭建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于以数学建模为主线，通过“情景问题—探究新知—课堂练习”环节，将实际问题抽象为X型、A型等几何模型，培养学生几何直观与逻辑推理能力。如测池塘宽用X型模型，射击偏差用A型模型，规范“审题—画图—找相似—列比例”步骤，小结系统梳理知识，助力学生提升应用意识，教师可高效开展教学。

1.6相似三角形的应用 第一章 图形的相似 初中数学 1 学习目标 经历实际问题抽象为几何模型的过程,提升数学建模、图形分析、逻辑推理与运算求解能力。 02 能够运用相似三角形判定与性质解决不可直接测量的距离、高度、长度等实际问题,掌握建模解题步骤。 01 能规范完成“审题—画图—找相似—列比例—求解—作答”全过程,养成严谨解题习惯。 03 感受相似知识在生活、工程、军事等领域的广泛应用,增强数学应用意识与学习兴趣。 04 2 情景问题 校园里有一棵大树,不能爬树、不能砍树,怎样用简单工具测出它的高度？ 问题：1.你能想到用什么几何知识解决？ 2.要构造出哪两种相似图形？ 3.需要测量哪些可测长度？ 3 情景问题 1.利用相似三角形对应边成比例求解。 2.构造人与影子、树与影子形成的两个相似直角三角形。 3.测量人的身高、人影长、树影长,再列比例计算。 问题：1.你能想到用什么几何知识解决？ 2.要构造出哪两种相似图形？ 3.需要测量哪些可测长度？ 4 探究新知 探究一：利用相似测量物体的宽度 思考:如图两点分别位于一个池塘的两端,小张想测量出两点的距离,但由于受条件限制无法直接测量,请帮他想出一个可行的测量办法. 5 探究新知 探究一：利用相似测量物体的宽度 分析:可以这样做: 如图,在池塘外取一点,使它可以直接看到两点,连接并延长,在的延长线上取一点,在的延长线上取一点,使(最好使为正整数),测量出的长度后,就可以由相似三角形的有关知识求出两点的距离. 6 探究新知 探究一：利用相似测量物体的宽度 做一做:如图,如果,且测得的长为,则两点的距离为多少？ 解:因为, 所以, 于是. 因为, 所以. 7 探究新知 方法总结： 1.解题模型:X型(对顶三角形)相似模型,利用对顶角相等+两边成比例判定相似。 2.解题步骤:找点连线→延长线段构造相似→证明相似→列比例式→计算长度。 3.关键依据:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;相似三角形对应边成比例。 4.应用场景:测量河宽、池塘宽、建筑物间距等不可直接测量的距离。 8 探究新知 探究二：利用相似测量物体的高度 解:因为,所以, 于是. 因为, 所以. 答:李明射击到的点B′偏离靶心B的长度为. 例:在用步枪瞄准靶心时,要使眼睛()、准星()、靶心()在同一条直线上.在射击时,李明由于有轻微的抖动,致使准星偏离到,如图所示.已知,求李明射击到的点偏离靶心的长度(′近似地认为). 9 探究新知 方法总结： 1.解题模型:A型相似模型,由平行得两角相等,判定三角形相似。 2.解题步骤:找平行→判相似→写比例→代数值→求结果。 3.核心技巧:同一时刻、同一地点,物高与影长成比例;瞄准问题利用小三角形相似推偏差。 4.应用场景:测量旗杆高、楼高、树高、射击偏差等实际高度问题。 10 相似三角形测高：标杆测量法 探究新知 思考： 还有没有其他利用相似三角形的方法来测量物体的高呢？ 1.相似三角形测高：标杆测量法 2.相似三角形测高：镜子反射法 11 课堂练习 1.如图,测量小玻璃管口径的量具(单位:cm),的长为,被分为等份.如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(),那么小玻璃管口径的长是( ) A. B. C. D. 2.如图,用一个卡钳(AD=BC,==)测量某个零件的内孔直径AB,量得CD长度为6cm,则AB等于　　cm. A 18 12 课堂练习 3.在上完相似三角形的应用一课后,小方设计了一个试验来测量学校教学楼的高度.如图,在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆,小方调整自己的位置,使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线.测得人与直杆的距离DB为2米,人眼高度CD为1.6米,则教学楼的高度MN为( ) A.12米 B.12.4米 C.13.6米 D.15.2米 4.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高CD是　　　米. C 13 课堂练习 5.某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时,让一名同学直立在点F处,手拿一块直角三角板,保持斜边与地面平行,延长交于点,如图,沿着射线的方向观察,刚好看到旗杆的顶端点,已知该同学的身高为,点到旗杆底端的距离为,,,求旗杆的高度. 解:由题意得:, , 四边形是矩形, , 14 课堂练习 , , , , ,, , . 答:旗杆的高度为. 15 课堂练习 6.如图,小明利用小孔成像原理制作了一个成像装置,他在距离纸筒处准备了一支蜡烛,其中纸筒长为,蜡烛长为,则这支蜡烛所成像的高度为( ) A. B. C. D. 7.如图,不等臂跷跷板的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为;当的一端碰到地面时,另一端到地面的高度为,则跷跷板的支撑点到地面的高度是( ) A. B. C. D. B A 16 课堂练习 8.如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸岸边每隔有一棵树,小华站在离南岸的点处看北岸,在两棵树之间的空隙中,恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾(假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内),已知龙舟的长为,若龙舟行驶在河的中心,且龙舟与河岸平行,则河宽为　　. 17 课堂练习 9.如图,为了测量山峰的高度,在处和处竖立标杆和,标杆的高度都是,两杆相隔,并且都在同一平面内,从标杆退后到处,可看到山峰和标杆顶点在同一直线上,从标杆退后到处可看到山峰和标杆顶点在同一直线上,求山峰的高度. 解:, , , , 18 课堂练习 , , , , , . 答:山峰的高度为. 19 课堂小结 知识点： 1.利用相似三角形可测量无法直接度量的距离、宽度、高度。 2.常见测量模型:X型模型(测宽)、A型模型(测高)。 3.解题核心流程:实际问题→几何模型→证明相似→列比例式→计算作答。 4.判定依据:两角分别相等、两边成比例且夹角相等。 5.计算依据:相似三角形对应边成比例。 6.常用思想:数学建模思想、转化思想、方程思想。 7.规范要求:统一单位、找准对应边、完整书写推理过程。 知识梳理 20 课后提升 1.某地质勘探人员为了估算河的宽度,在河对岸选定一个目标点O,再在他所在的这一侧的岸边选取点A,B,使得AB⊥AO,再选取一点D,使DB⊥AB,然后找到DO和AB的交点C,如图所示,测得AC=16m,BC=8m,DB=7m,则可计算出河宽OA为(　　) A.16m　　　　B.15m　　　　C.14m　　　　D.13m 2.如图,小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为(　　) A.10m　　　　B.9m　　　　C.8m　　　　D.7m 基础作业： C B 21 课后提升 基础作业： 3.甲、乙、丙三根竹竿直立于地面上,在同一时刻,测得它们的影长分别为1.5米,2.5米和4米,其中乙竹竿比甲竹竿长2米,则丙竹竿的长为　　　　米. 4.小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图如图所示.在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4米,BP=2.1米,PD=12米,那么该古城墙CD的高度是　　　　米. 8 8 22 课后提升 5.如图所示的是步枪在瞄准时的示意图,从眼睛O到准星E的距离OE为80cm,步枪上的准星宽度AB为0.2cm,目标的正面宽度CD为50cm,则眼睛到目标的距离OF为　　　　m. 6.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O、C、D、F、G五点在同一直线上,A、B、O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG. 已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB. 能力提升： 200 23 课后提升 提升作业： 解：,, ,, ,即, 米. 同理得, ,即,米, 米. 答:旗杆的高是米. 24 课后提升 拓展作业： 7.学习了相似三角形的相关知识后,小明和他的同学想利用“标杆”测量大楼的高度.如图,小明站立在地面点F处,他的同学在点B处竖立标杆AB,使得小明的头顶点E、标杆顶点A、大楼顶点C在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上).已知小明的身高EF=1.5米,标杆AB=2.5米,BD=23米,FB=2米. (1)求大楼的高度CD为多少米(CD垂直于地面BD); (2)小明站在原来的位置,他的同学通过移动标杆, 可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD=11.5米, 那么相对于第一次测量,标杆AB应该向大楼方向移动多少米? 25 课后提升 拓展作业： 解：(1)如图,过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,则四边形EFBJ、四边形EFDH都是矩形. ∴EF=BJ=DH=1.5米,BF=EJ=2米,DB=JH=23米. ∵AB=2.5米,∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(米), ∵AJ∥CH,∴△EAJ∽△ECH, ∴=,∴=,∴CH=12.5米, ∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14(米). 答:大楼的高度CD为14米. 26 课后提升 拓展作业： (2)如图,过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R.设BF=x米, ,, , , ,(米), ∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米. 27 课后提升 拓展作业： 8.希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法:如图,A,B是两侧山脚的入口,从B出发任作线段BC,过C作CD⊥BC,然后依次作垂线段DE,EF,FG,GH,直到接近A点,作AJ⊥GH于点J.每条线段可测量,长度如图所示.分别在BC,AJ上任选点M,N,作MQ⊥BC,NP⊥AJ,使得==k,此时点P,A,B,Q共线.挖隧道时始终能看见P,Q处的标志即可. (1)CD-EF-GJ=　　　　km; (2)k=　　　　. 1.8 28 课后提升 拓展作业： (1)1.8　(2) 解：(1)(). (2)如图,连接,过点A作,交的延长线于点Z. 由矩形的性质得,, 点共线,, 又,,. 29 $