1.5 相似三角形的性质 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质定理1，系统讲解对应高、角平分线、中线的比等于相似比。课堂导入通过复习相似三角形定义、相似比及判定方法，搭建旧知到新知的学习支架，衔接自然。 其亮点在于以探究活动培养推理意识与数学思维，如通过证明对应高的比、引导自主推导中线性质，结合例1、随堂诊断等实例提升应用能力。帮助学生用数学语言表达几何关系，助力教师高效开展教学。

湘教·九年级上册 相似三角形的性质定理1 复习导入 1.什么是相似三角形？相似比指的是什么？ 2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？ 3.相似三角形的判定方法有哪些？ 探究新知 思 考 如图1.5-1，已知△ABC∽△A'B'C'，AH，A'H'分别对应边BC，B'C'上的高，那么 吗？ A B C H A' B' C' H' 图 1.5-1 因为△ABC∽△A′B′C′， 所以∠B=∠B′. 又 ∠AHB=∠A′H′B′=90°， 所以△AHB∽∠A′H′B′. 类似地，可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 例1 如图1.5-2， AB∥PQ，AB=100，PQ=120.点P， A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40，求点C到直线PQ的距离. A B C D E P Q 解 因为 AB∥PQ，所以△CAB∽△CPQ. 如图1.5-2 过点C作CD⊥PQ，交PQ的延长线于点D. 设CD交AB的延长线于点E， 因此 CE⊥AB，DE=40. 图 1.5-2 例1 如图1.5-2， AB∥PQ，AB=100，PQ=120.点P， A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40，求点C到直线PQ的距离. 又 AB=100，PQ=120，DE=40， 因此CD = 240. 即点C到直线PQ的距离是240. 由“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”可得， 于是 A B C D E P Q 图 1.5-2 例2 如图1.5-3， 已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分 别为对应△ABC ，△A′B′C′的角平分线.求证： 证明 因为△ABC∽△A′B′C′， 所以∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′. 又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线， 于是∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′， 因此 △ABT∽△A′B′T′， A B C T A' B' C' T' 图 1.5-3 同样可以证明其余两组对应角平分线的比也等于相似比. 例2 如图1.5-3， 已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分 别为对应△ABC ，△A′B′C′的角平分线.求证： A B C T A' B' C' T' 图 1.5-3 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 议一议 已知△ABC∽△A′B′C′，若AD，A′D′分别为△ABC ，△A′B′C′的中线.则 成立吗？由此你能得出什么结论？ A B C D A' B' C' D' 图 1.5-4 如图1.5-4 由 △ABC∽△A′B′C′可得 ∠B=∠B′， 从而△ABD∽△A′B′D′. 所以 又 则 于是 议一议 已知△ABC∽△A′B′C′，若AD，A′D′分别为△ABC ，△A′B′C′的中线.则 成立吗？由此你能得出什么结论？ A B C D A' B' C' D' 图 1.5-4 类似地，我们可以得到另外两组对应边上的中线也等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 相似三角形的性质定理 1 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 随堂诊断 1.如图①，矩形EFGH内接于三角形ABC，且边FG落在BC上.若AD⊥BC，BC=6，AD=4，3EF=2EH，则EH的长为多少？ A B C D E F G H M 解: 如图①，设AD与EH交于点M，EH=x. 因为四边形EFGH是矩形， 所以 EH∥BC. 因为 AD⊥BC， 所以 AD⊥EH. 因为 3EF=2EH， 所以 所以 A B C D E F G H M 因为 EH∥BC. 所以△AEH∽△ABC. 所以 所以 解得 x =3，即EH = 3. 解：（1）因为 CD⊥AB， 所以∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°. 在△ADC和△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，所以△ADC∽△ACB， 同理可知，△CDB∽△ACB. 所以△ADC∽△CDB. 所以图中有三对相似三角形. 2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高. （1）则图中有几对相似三角形； （2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD； （3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD. （2）因为△ACD∽△CBD， 所以 ，即 所以 BD = 4 cm. 2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高. （1）则图中有几对相似三角形； （2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD； （3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD. 所以 ，即 （3）因为△CBD∽△ABC， 2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高. （1）则图中有几对相似三角形； （2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD； （3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD. 所以 BD = 9 cm. 练习 1.已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. 所以 DN = 3cm. 解: 因为△ABC∽△DEF， 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm， 所以 即 2.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC 的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且 AD=4， A′D′=3，BE=6，求B′E′的长. 因为 AD=4， A′D′=3， BE=6， 所以B′E′=4.5. 因为 △ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是 △ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是 △A′B′C′的高和中线， A B C D E A' B' C' D' E' 3.如图 ，梯形ABCD中，AB∥CD，点 F 在 BC 上， 连 DF 与 AB 的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作EF∥CD交AD于点 E，若 AB = 6 cm，EF = 4 cm，求 CD 的长. （1）证明：因为在梯形ABCD中，AB∥CD， 所以∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF， 所以△CDF∽△BGF． （2）由（1）知△CDF∽△BGF， 又因为F是BC的中点， 所以BF=FC， 所以△CDF≌△BGF， 所以DF=FG，CD=BG. 又因为EF∥CD，AB∥CD， 所以 EF∥AG，AB+CD=2EF． 所以 AB+BG=2EF． 所以BG = 2EF－AB=2×4－6=2， 所以CD = BG = 2 cm． 课堂小结 相似三角形的性质定理 1 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. $