第07讲 直线的方程（8大知识点+10大题型）讲义-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版）

第07讲 直线的方程 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的点斜式方程 3 知识点二：直线的斜截式方程 3 知识点三：直线的两点式方程 3 知识点四：直线的截距式方程 4 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 4 知识点六：直线方程的一般式 4 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 5 知识点八：直线方程的综合应用 5 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：点斜式方程求解 7 题型 2：斜截式方程求解 9 题型 3：两点式方程求解 11 题型 4：截距式方程求解 12 题型 5：中点坐标公式应用 14 题型 6：一般式方程转化 16 题型 7：直线方程综合应用 18 题型 8：动直线过定点判定 22 题型 9：直线围坐标轴三角形 23 题型 10：直线方程实际应用 27 04 过关测试 32 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 知识点八：直线方程的综合应用 1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 题型 1：点斜式方程求解 例1．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知点和直线，求： (1)过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)过点且与直线垂直的直线的点斜式方程； (3)判断（1）与（2）直线之间的关系. 【解析】（1）因为直线，则直线的斜率， 可知与直线平行的直线的斜率， 过点且与直线l平行的直线方程为； （2）由（1）可知：与直线l垂直的直线的斜率， 过点且与直线l垂直的直线方程为； （3）由，故两直线垂直. 例2．已知平面内两点． (1)求过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程． 【解析】（1）因为，所以． 因为直线与直线平行，所以． 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为． （2）由（1）知． 因为直线与直线垂直，所以， 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为． 例3．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率； (2)经过点，倾斜角为． 【解析】（1）由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为． （2）由题意知，直线的斜率， 故所求直线的点斜式方程为． 变式1．已知点和直线l： ，求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程. 【解析】（1）因为直线l：y＝，则直线l的斜率， 可知与直线l平行的直线的斜率， 过点且与直线l平行的直线方程为. （2）由（1）可知：与直线l平行的直线的斜率， 过点且与直线l垂直的直线方程为. 变式2．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 【解析】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. （4）过点的直线的斜率， 又因为直线过点， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为． 题型 2：斜截式方程求解 例4．（2026·高二·广东·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程. 【解析】（1）由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为. （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为， 化为斜截式方程为. 例5．（2026·高二·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【解析】（1）由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. （2）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 例6．（2026·高二·贵州遵义·期中）已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 【解析】（1），又，所以， 所以直线的方程为，即； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不满足条件； 当直线斜率为时，直线的方程为，不满足条件； 当斜率存在且不为时，设直线的方程为， 令，则，令，则， 因为直线在轴和轴上的截距互为相反数， 所以，所以或， 又因为直线过点，所以， 所以当时，；当时，； 所以直线的方程为或； （3）因为直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，所以直线的斜率一定存在且不为， 又直线过点，所以设直线的方程为， 令，则，令，则， 所以，解得， ， 当且仅当，即时，取得最小值， 所以直线的方程为，即. 变式3．写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）因为直线斜率为，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：. （3）因为直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，所以直线过点，， 根据两点可求直线斜率，所以直线的斜截式方程为. 变式4．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 题型 3：两点式方程求解 例7．过点和点的直线的两点式方程是什么？ 【解析】根据两点式可得过点 和点 的直线的两点式方程为. 例8．已知的三个顶点分别为、、． (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的两点式方程． 【解析】（1），所以，直线的方程为，即， ，所以，直线的方程为，即. （2）线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的两点式方程为． 例9．已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． 【答案】 【解析】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 变式5．（2026·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 变式6．已知点、，则直线AB的两点式方程是______． 【答案】 【解析】直线的两点式方程为： 将点、代入得：. 故答案为：. 题型 4：截距式方程求解 例10．（2026·高二·山东泰安·期中）已知直线的截距式方程为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可化为，故直线的斜率为. 故选：C. 例11．（2026·高二·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的截距式方程为. 故选：D. 例12．已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的方程为，则的面积为①． 因为直线过点，所以②． 联立①②，解得，， 故直线的方程为， 故选：A． 变式7．已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三顶点坐标为， 又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：， 则直线的两点式方程为：，故截距式方程为. 故选：A． 变式8．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【解析】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 变式9．（2026·高二·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 题型 5：中点坐标公式应用 例13．（2026·高二·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【解析】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 例14．（2026·高二·天津河东·阶段检测）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为_____________. 【答案】 【解析】设与的交点为，则与的交点为， 所以有，， 联立解得 ， 所以，整理得. 故答案为：. 例15．（2026·高二·江苏宿迁·开学考试）过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为__________． 【答案】 【解析】设中点为， 因为，所以在直线上， 由在直线上， 联立可得，解得，即中点为， 所以直线的斜率，所以的方程为，即． 故答案为：． 变式10．（2026·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】设直线与和，分别交于点和， 因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得， 所以和，则， 可得直线的方程为，即. 故答案为：. 变式11．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 __． 【答案】 【解析】由题意，设P（x，1），Q（7，y）， ∵线段PQ的中点坐标为（1，0）， ∴，解得x＝﹣5，y＝﹣1，∴P（﹣5，1）， ∴直线l的斜率， 故直线l的方程为y﹣0（x﹣1），即， 故答案为：． 题型 6：一般式方程转化 例16．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 【解析】（1）由点斜式，得， 化成一般式，得． （2）直线方程为，即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为． （4）由两点式，得， 化成一般式为． 例17．（2026·高二·陕西咸阳·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，试求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 【解析】（1）的中点为， 则中线所在直线的斜率为， 所以中线所在直线的方程为，即. （2）由， 则高所在直线的斜率为2， 所以高所在直线的方程为，即. 例18．（2026·高二·宁夏吴忠·期中）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过点和； (3)经过点，且与直线平行. （注意：直线方程化成一般式） 【解析】（1）因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； （2）因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； （3）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 变式12．（2026·高二·福建龙岩·期中）已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【解析】（1）直线的方程为，则，因此直线恒过定点. （2）如图1，若直线不经过第四象限，则. （3）由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 题型 7：直线方程综合应用 例19．（2026·高二·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【解析】（1）直线的方程为， 则直线过直线与的交点， 由，解得，所以直线过定点，其坐标为. （2）当直线的截距为时，其方程为，即； 当直线的截距不为时，设其方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. （3）当时，直线l的方程为，符合题意； 当时，， 则，即，解得或， 综上，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是. 例20．（2026·高二·辽宁沈阳·阶段检测）已知的三个顶点的坐标为、、. (1)求过点在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线方程； (2)求边的垂直平分线所在直线的一般式方程； (3)求边上的高所在直线的一般式方程. 【解析】（1）当所求直线过原点时，在轴上的截距和在轴上截距均为0，满足题意， 此时直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即； 当所求直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 则所求直线的方程为，即. 综上所述，所求直线的方程为或. （2）由， 则边的垂直平分线所在直线的斜率为， 而的中点为，即， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. （3）由， 则边上的高所在直线的斜率为3， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 例21．（2026·高二·天津武清·阶段检测）已知三角形的顶点坐标为是边上的中点. (1)求中线的直线方程； (2)求边的高所在直线方程. 【解析】（1）由中点坐标公式可得， 则， 则中线的方程为：， 即. （2）因为直线的斜率为， 设边的高所在直线的斜率为k，则有，∴. 所以边高所在直线方程为即. 变式13．（2026·高二·河南信阳·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 【解析】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故，又的顶点， 所以所在的直线方程为，即， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得，故点； （2）设点，则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上，所以， 故，解得，即点， 所以，可得， 化简得，故直线的方程为. 变式14．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线的一般式方程. 【解析】（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1， 直线方程为，即， 由，解得， 所以点的坐标是. （2）由点在直线上，设点， 于是边的中点在直线上， 因此，解得， 即得点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 变式15．（2026·高二·河南·阶段检测）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求的值. 【解析】（1）由边上的高所在的直线方程为，其斜率为， 则，即，又， 则，即； （2）设，由在上，即，即， 则中点坐标为，故有，即. 题型 8：动直线过定点判定 例22．（2026·高二·全国·期末）已知直线：.则直线经过定点______ 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 例23．（2026·高二·陕西商洛·阶段检测）已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 【答案】 【解析】直线的方程可变形为， 由题意可知，解得. 故直线恒过定点. 故答案为： 例24．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）当时，直线恒过的定点是_________. 【答案】 【解析】， 令，解得， 故直线恒过定点. 故答案为： 变式16．（2026·高二·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为___________． 【答案】 【解析】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 变式17．（2026·高二·河北沧州·阶段检测）已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为__________. 【答案】 【解析】直线，即， 联立，解得， 即点M的坐标为， 故答案为：. 变式18．（2026·高二·浙江·期中）直线经过的定点坐标为__________. 【答案】 【解析】，即， 则，解得，则其经过定点. 故答案为：. 题型 9：直线围坐标轴三角形 例25．（2026·高二·山东枣庄·阶段检测）已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【解析】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． （2）设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 例26．已知直线l：． （1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 【解析】（1）由方程可知：时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，． 直线不经过第二象限，，解得 当时，直线变为满足题意． 综上可得：k的取值范围是； （2）由直线l的方程可得，． 由题意可得，解得． 当且仅当时取等号． 的最小值为4，此时直线l的方程为． 例27．（2026·高二·四川遂宁·期末）已知函数与直线均过定点，且直线在轴上的截距依次为和. （1）若直线在轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程. 【解析】（1），定点， 直线在轴上的截距相等， 若时，则直线过原点，设为，代入得，故直线方程为，即， 若时，设直线为，代入解得，故直线方程为，即， 综上，直线的方程为或； （2）由题可得直线斜率存在，设为，可得， 则直线l的方程为， 令，得，令，可得， 则三角形面积， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 三角形面积的最小值为， 此时直线l的方程为，即 变式19．（2026·高二·上海黄浦·期末）已知圆． （1）求轴被圆所截得的线段的长； （2）过圆圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为，求的最小值． 【解析】（1）设圆与轴的交点为，， 将代入可得， 即，， 所以轴被圆所截得的线段的长为. （2）设，由于过，∴， 利用基本不等式，得，∴， 即的最小值为4， 此时，，即 变式20．（2026·高三·江苏无锡·开学考试）在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点. （1）当取得最小值时，求直线的方程； （2）求面积的最小值. 【解析】（1）设直线的倾斜角为（为锐角）， 由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3, ， 则， 所以当时，取得最小值， 此时直线的方程为； （2）矩形OFPE面积为3×2=6，， ， 当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为12. 变式21．（2026·高一·江苏苏州·期中）设直线的方程为. (1)求证:不论为何值，直线必过一定点; (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长; (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. 【解析】(1)由得， 则，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点； (2)由得， 当时，，当时，， 又由，得， ， 当且仅当，即时，取等号. ，， 的周长为； (3) 直线在两坐标轴上的截距均为整数， 即，均为整数， ，， 又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线的方程为，，，，,，. 题型 10：直线方程实际应用 例28．四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 【解析】如图，由截距式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即， 由两点式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即． 例29．（2026·高二·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【解析】（1）∵四边形为平行四边形，∴.∴. ∴直线的方程为，即. （2）∵，∴. ∴直线的方程为，即. 例30．（2026·高二·上海·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 【解析】（1）整理直线方程得 ， 由 可得 ，， 故直线恒过定点 . （2）由（1）知，如图，作轴于M，轴于N， 且直线与轴的正半轴分别交于两点，设直线倾斜角为，， 因为，所以，， ，，， ， 令 ， 由 得 ，，则 ， 在 上单调递增， 当 即 时，上式取最小值 ，此时直线方程为 化简得直线方程为 . 变式22．（2026·高二·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. (1)设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； (2)试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 【解析】（1）因为直线的斜率为，直角顶点的坐标是. 所以直线的方程为，即. 令，则，所以. 因为，所以直线的斜率为，那么直线的方程为. 令，则，所以. （2）由（1）知，， 所以直角三角形的面积为. 由图可知，所以根据基本不等式的性质得， 当且仅当，即时，等号成立，此时直角三角形的面积取最小值为， 此时点的坐标为. 变式23．（2026·高二·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 【解析】（1）易知在平行四边形中，，故， 已知点，由直线的点斜式方程可得直线：， 整理得，即直线BC的方程为. （2）设点关于轴的对称点为，由光的反射原理可知，从点射出的入射光线的延长线必经过，故入射光线所在的直线方程即直线. ，由直线的点斜式方程得直线：， 整理为，即入射光线所在直线的方程为. （3）设直线与轴的交点，与轴的交点， 故可设直线的截距式方程：，因为直线过点，故有. ， 三点共线，且与方向相反， . 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 变式24．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【解析】在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即. 在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 1．（2026·高二·新疆和田·期末）已知直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线斜率为，则与直线垂直的直线斜率为， 则过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：C. 2．（2026·高二·广西南宁·期末）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．-2 B．1 C．4 D．-2或1 【答案】B 【解析】因为直线与直线平行， 所以，即，所以，解得或. 当时，；，即与重合； 当时，；，即，与平行. 所以的值为. 故选：B. 3．（2026·高二·全国·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】A 【解析】A，直线方程变形为， 令，解得，即原直线必过定点，正确； B，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等， 此时直线l的方程为，不正确； C，当时，无意义，不正确； D，直线经过定点， 当直线经过M时，斜率为， 当直线经过N点时，斜率为， 由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，不正确. 故选：A 4．（2026·高二·北京海淀·阶段检测）经过点，且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求的直线方程为， 即. 故选：A 5．（2026·高二·广东广州·阶段检测）过，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】当过的直线方程斜率不存在时，直线方程为， 显然，此时在x轴上的截距为6，在y轴上截距不存在，不满足要求； 当过的直线方程斜率为0时，直线方程为， 显然，此时在x轴上截距不存在，在y轴上的截距为，不满足要求； 当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 令得，令得， 由题意得，化简得， 解得或， 故直线方程为或， 即或 故选：D 6．（2026·高三·山东·阶段检测）已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（    ） A．15° B．30° C．60° D．75° 【答案】D 【解析】因为直线， 所以直线的斜率为，故直线的倾斜角为； 因为与直线垂直， 所以设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，斜率为，故倾斜角为， 如图， 所以， 故选：D 7．（2026·高二·广东广州·阶段检测）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线， 令，解得，所以直线经过定点. 由，则，， 要使直线与连接两点的线段总有公共点， 则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：D. 8．（2026·高二·广东江门·阶段检测）若的顶点，，，则边上的高所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设边上的高所在直线为直线，斜率为， 因为，，则， 又直线为边上的高所在直线，所以，则，所以， 又边上的高所在直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：C 9．（多选题）（2026·高二·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【解析】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC 10．（多选题）（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 【答案】AB 【解析】由，得，解得或， 当或时，与都不重合，则A正确，C、D错误. 由，则，得，则B正确. 故选：AB 11．（多选题）（2026·高二·广东茂名·阶段检测）已知直线：，则下列结论正确的有（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线的倾斜角为 C．直线与直线垂直 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【解析】对于A，由得. 因为该方程对所有的恒成立，所以，所以直线恒过点，故A正确. 对于B，当时，直线的方程为，所以其斜率为，所以的倾斜角为，故B正确. 对于C，对于直线：与直线，当时，两条直线分别为和，满足垂直关系；当时，整理两条直线的方程得，，斜率之积为，满足垂直关系，所以C正确. 对于D，当时，直线的方程为，即，直线与坐标轴的交点为，因为，所以在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC. 12．（2026·高二·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 【答案】/ 【解析】设直线和的倾斜角分别为，两直线的夹角为， 则， 所以， 而，，，解得， 则直线和的夹角的余弦值为. 13．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，则面积的最小值________，此时的直线方程为________________. 【答案】 12 【解析】依题意设，，则直线的方程为， 直线过点，，， ， 当且仅当，即时，， 此时，则直线的方程为，即. 故答案为：；. 14．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求直线的方程为__________用斜截式表示 【答案】 【解析】设，则， 把的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入， 可得：，解得，故点， 又边上的高所在直线方程为，,， 则直线为，即． 联立，可得，故直线斜率为， 则直线的方程为：，即． 故答案为：． 15．（2026·高二·湖北孝感·阶段检测）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 【解析】（1）易知的中点为， ，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：， 则截距式方程为． （2）因为，， ，， ， 即的平分线所在直线的一个方向向量为， 故的平分线所在直线的斜率为， 所以的平分线所在直线的一般式方程：． 16．（2026·高二·山东烟台·阶段检测）已知的顶点，高CD所在直线方程为，角的平分线BE所在直线方程为．求： (1)点的坐标； (2)BC边所在直线方程． 【解析】（1）∵的顶点，高CD所在直线方程为， 角的平分线BE所在直线方程为， ∴直线AB的斜率， ∴直线AB的方程为：，即， 联立，得， ∴B点坐标为； （2）∵，，角的平分线BE所在直线方程为， ∴， ∴，解得或（舍）， ∴直线BC的方程为：，即． 17．（2026·高二·江苏镇江·期中）在中，已知点，边上的中线所在的直线方程是，的平分线所在的直线方程是，求直线和所在的直线方程. 【解析】设点，则，解得，点． 又点，所以直线方程为，倾斜角为 又平分线：，倾斜角为，直线的倾斜角为 直线的方程为 联立，解得，点． 直线的方程，即 18．（2026·高二·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点、、，求边上的高所在的直线方程. 【解析】（1）直线的斜率是， 因为所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率也是， 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，即； （2）由斜率公式可得，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 19．（2026·高二·天津河北·阶段检测）已知．求： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)边垂直平分线方程； (3)过点且在轴和轴的截距相等的直线方程． 【解析】（1）由于，则中点坐标为， 直线的斜率， 所以边上的中线所在的直线方程为，整理得； （2）由于，，所以中点，直线的斜率， 所以直线的垂直平分线的斜率， 所求的垂直平分线的方程为，整理得； （3）当直线在轴和轴的截距为0时，设其方程为， 又因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为，即； 当直线在轴和轴的截距不为0时，设其方程为， 又因为直线过点，所以，所以，即； 综上所述：过点且在轴和轴的截距相等的直线方程为或． 20．（2026·高二·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 【解析】（1）设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以 由题意可知，所以 又因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则 ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，， 的面积，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为 令，则，即点坐标为， 的面积，解得， 则直线的方程为 综上，直线的方程为或. 21．（2026·高二·福建福州·期中）已知直线经过点. (1)若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程； (2)若直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，求的最小值，其中. 【解析】（1）设直线与直线和分别相交于，两点， 设，因为点为线段的中点，则， 因为点在直线上， 则，解得，则， 所以直线的方程为：，即. （2）由题意可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为， 则，， ， 当且仅当，即时取等号. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 直线的方程 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的点斜式方程 3 知识点二：直线的斜截式方程 3 知识点三：直线的两点式方程 3 知识点四：直线的截距式方程 4 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 4 知识点六：直线方程的一般式 4 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 5 知识点八：直线方程的综合应用 5 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：点斜式方程求解 7 题型 2：斜截式方程求解 8 题型 3：两点式方程求解 9 题型 4：截距式方程求解 10 题型 5：中点坐标公式应用 10 题型 6：一般式方程转化 11 题型 7：直线方程综合应用 12 题型 8：动直线过定点判定 14 题型 9：直线围坐标轴三角形 14 题型 10：直线方程实际应用 16 04 过关测试 18 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 知识点八：直线方程的综合应用 1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 题型 1：点斜式方程求解 例1．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知点和直线，求： (1)过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)过点且与直线垂直的直线的点斜式方程； (3)判断（1）与（2）直线之间的关系. 例2．已知平面内两点． (1)求过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程． 例3．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率； (2)经过点，倾斜角为． 变式1．已知点和直线l： ，求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程. 变式2．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 题型 2：斜截式方程求解 例4．（2026·高二·广东·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程. 例5．（2026·高二·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 例6．（2026·高二·贵州遵义·期中）已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 变式3．写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 变式4．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 题型 3：两点式方程求解 例7．过点和点的直线的两点式方程是什么？ 例8．已知的三个顶点分别为、、． (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的两点式方程． 例9．已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． 变式5．（2026·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 变式6．已知点、，则直线AB的两点式方程是______． 题型 4：截距式方程求解 例10．（2026·高二·山东泰安·期中）已知直线的截距式方程为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 例11．（2026·高二·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 例12．已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 变式7．已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 变式8．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 变式9．（2026·高二·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 题型 5：中点坐标公式应用 例13．（2026·高二·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 例14．（2026·高二·天津河东·阶段检测）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为_____________. 例15．（2026·高二·江苏宿迁·开学考试）过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为__________． 变式10．（2026·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______． 变式11．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 __． 题型 6：一般式方程转化 例16．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 例17．（2026·高二·陕西咸阳·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，试求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 例18．（2026·高二·宁夏吴忠·期中）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过点和； (3)经过点，且与直线平行. （注意：直线方程化成一般式） 变式12．（2026·高二·福建龙岩·期中）已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 题型 7：直线方程综合应用 例19．（2026·高二·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 例20．（2026·高二·辽宁沈阳·阶段检测）已知的三个顶点的坐标为、、. (1)求过点在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线方程； (2)求边的垂直平分线所在直线的一般式方程； (3)求边上的高所在直线的一般式方程. 例21．（2026·高二·天津武清·阶段检测）已知三角形的顶点坐标为是边上的中点. (1)求中线的直线方程； (2)求边的高所在直线方程. 变式13．（2026·高二·河南信阳·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 变式14．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线的一般式方程. 变式15．（2026·高二·河南·阶段检测）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求的值. 题型 8：动直线过定点判定 例22．（2026·高二·全国·期末）已知直线：.则直线经过定点______ 例23．（2026·高二·陕西商洛·阶段检测）已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 例24．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）当时，直线恒过的定点是_________. 变式16．（2026·高二·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为___________． 变式17．（2026·高二·河北沧州·阶段检测）已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为__________. 变式18．（2026·高二·浙江·期中）直线经过的定点坐标为__________. 题型 9：直线围坐标轴三角形 例25．（2026·高二·山东枣庄·阶段检测）已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 例26．已知直线l：． （1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 例27．（2026·高二·四川遂宁·期末）已知函数与直线均过定点，且直线在轴上的截距依次为和. （1）若直线在轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程. 变式19．（2026·高二·上海黄浦·期末）已知圆． （1）求轴被圆所截得的线段的长； （2）过圆圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为，求的最小值． 变式20．（2026·高三·江苏无锡·开学考试）在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点. （1）当取得最小值时，求直线的方程； （2）求面积的最小值. 变式21．（2026·高一·江苏苏州·期中）设直线的方程为. (1)求证:不论为何值，直线必过一定点; (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长; (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. 题型 10：直线方程实际应用 例28．四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 例29．（2026·高二·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 例30．（2026·高二·上海·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 变式22．（2026·高二·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. (1)设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； (2)试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 变式23．（2026·高二·广东广州·期中）已知在平行四边形中，，，，． (1)求直线BC的方程； (2)若一条光线从点A射出，经x轴反射，反射光线经过点B，求入射光线所在直线的方程； (3)过点A的直线l与x轴正半轴交于点E，与y轴正半轴交于点F，求的最小值． 变式24．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 1．（2026·高二·新疆和田·期末）已知直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·广西南宁·期末）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．-2 B．1 C．4 D．-2或1 3．（2026·高二·全国·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 4．（2026·高二·北京海淀·阶段检测）经过点，且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·广东广州·阶段检测）过，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 6．（2026·高三·山东·阶段检测）已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（    ） A．15° B．30° C．60° D．75° 7．（2026·高二·广东广州·阶段检测）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·广东江门·阶段检测）若的顶点，，，则边上的高所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 10．（多选题）（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 11．（多选题）（2026·高二·广东茂名·阶段检测）已知直线：，则下列结论正确的有（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线的倾斜角为 C．直线与直线垂直 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 12．（2026·高二·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 13．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，则面积的最小值________，此时的直线方程为________________. 14．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求直线的方程为__________用斜截式表示 15．（2026·高二·湖北孝感·阶段检测）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 16．（2026·高二·山东烟台·阶段检测）已知的顶点，高CD所在直线方程为，角的平分线BE所在直线方程为．求： (1)点的坐标； (2)BC边所在直线方程． 17．（2026·高二·江苏镇江·期中）在中，已知点，边上的中线所在的直线方程是，的平分线所在的直线方程是，求直线和所在的直线方程. 18．（2026·高二·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点、、，求边上的高所在的直线方程. 19．（2026·高二·天津河北·阶段检测）已知．求： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)边垂直平分线方程； (3)过点且在轴和轴的截距相等的直线方程． 20．（2026·高二·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 21．（2026·高二·福建福州·期中）已知直线经过点. (1)若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程； (2)若直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，求的最小值，其中. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $