第13讲 直线的交点坐标与距离公式（思维导图+4知识点+6大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第13讲 直线的交点坐标与距离公式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 两条直线的交点问题 题型02 三条直线的交点问题 题型03 过两直线交点的直线方程 题型04 两点间的距离公式 题型05 点到直线的距离公式 题型06 平行线间的距离公式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.两条直线的交点坐标 2.两点间的距离公式 3.点到直线的距离公式 4.条平行直线间的距离公式 1. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,提升数学运算的核心素养. 2. 会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 3. 掌握两点间的距离公式及应用,提升数学运算的核心素养. 4. 会运用坐标法证明简单的平面几何问题,提升直观想象的核心素养. 5. 探索并掌握平面上点到直线的距离公式,提升直观想象的核心素养. 6. 掌握两条平行直线间的距离公式,强化数学运算的核心素养. 7. 会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离,提升数学运算的核心素养. 学习重点：会求两条直线的交点坐标，掌握几个距离公式 学习难点：理解直线中的对称问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两条直线的交点坐标 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． 即时即练 1．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【方法总结】 用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解. 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线重合. 知识点02 两点间的距离公式 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 特别地，原点与任一点的距离. 注：公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 即时即练 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 2．已知，，，是的中点，则________ ． 【方法总结】 1、求两点间的距离的基本思路 任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式为|AB|=.当两点确定的直线垂直于x轴或y轴时,A,B间的距离可直接用两点的纵坐标或横坐标之差的绝对值求出. 2、在解决求已知直线上一点使其到某定点的距离为定值的问题时,应当注意:设已知直线上的点的坐标时,不要设两个未知数,设横坐标为a,纵坐标用a表示(或设纵坐标为a,横坐标用a表示),由两点间的距离公式列出关于a的一元方程即可,避免了列二元方程组的麻烦;已知距离求点的坐标时,一般有两解,某些题目中只有一解. 3、利用两点间的距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时,利用两点间的距离公式求三边长,从边长间的关系入手,如果边长相等,则可能是等腰或等边三角形;如果满足勾股定理,则是直角三角形. 知识点03 点到直线的距离公式 1、平面上任意一点到直线：的距离. 即时即练 1．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 2．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【方法总结】 (1)使用点到直线的距离公式时,首先把直线方程化为一般式,再利用公式求解. (2)已知点到直线的距离求参数时,只需根据公式列方程求解参数即可. 知识点04 两条平行线间的距离 1、一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 注：在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 2、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． 即时即练 1．（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 2．（25-26高二下·上海·阶段检测）直线与直线间的距离为__________. 【方法总结】 求两条平行直线间的距离有两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. (2)直接利用两条平行直线间的距离公式d=(A2+B2≠0),但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等. 题型01 两条直线的交点问题 1．直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广西玉林·期中）若直线经过两直线和的交点，则___________. 5．直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【技巧归纳】 用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解. 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线重合. 题型02 三条直线的交点问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·浙江·期中）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的m的值共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．（多选题）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 4．若三条直线相交于一点，则m的值为________. 5．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 题型03 过两直线交点的直线方程 1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 5．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 题型04 两点间的距离公式 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 2．（25-26高二上·北京房山·期中）已知，，，，，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 4．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 5．（25-26高二上·福建福州·期中）已知、、三点，且，则的值为__________. 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点，是直线上的两点，若，则______ 【技巧归纳】 1、求两点间的距离的基本思路 任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式为|AB|=.当两点确定的直线垂直于x轴或y轴时,A,B间的距离可直接用两点的纵坐标或横坐标之差的绝对值求出. 2、在解决求已知直线上一点使其到某定点的距离为定值的问题时,应当注意:设已知直线上的点的坐标时,不要设两个未知数,设横坐标为a,纵坐标用a表示(或设纵坐标为a,横坐标用a表示),由两点间的距离公式列出关于a的一元方程即可,避免了列二元方程组的麻烦;已知距离求点的坐标时,一般有两解,某些题目中只有一解. 3、利用两点间的距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时,利用两点间的距离公式求三边长,从边长间的关系入手,如果边长相等,则可能是等腰或等边三角形;如果满足勾股定理,则是直角三角形. 题型05 点到直线的距离公式 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 4．（24-25高二上·四川南充·期中）中，，，则的面积（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25高二上·河南信阳·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则______. 6．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 7．平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为___________． 【技巧归纳】 (1)使用点到直线的距离公式时,首先把直线方程化为一般式,再利用公式求解. (2)已知点到直线的距离求参数时,只需根据公式列方程求解参数即可. 题型06 平行线间的距离公式 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 4．（25-26高二上·吉林·阶段检测）若直线与平行，则与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏泰州·期中）直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北保定·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，（    ） A． B． C． D．3 【技巧归纳】 求两条平行直线间的距离有两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. (2)直接利用两条平行直线间的距离公式d=(A2+B2≠0),但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等. 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·全国·专题练习）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 6．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 8．（25-26高二上·广东广州·期中）若直线与平行，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 10．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 11．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．（2025高二上·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 13．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）方程表示平面上交于一点的三条直线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 15．点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 16．（25-26高二上·安徽合肥·期中）经过直线：和：的交点，且与轴垂直的直线方程为________. 17．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 18．（25-26高二·全国·寒假作业）已知直线和垂直，交于点，则________，________，________. 19．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 20．在直角坐标平面内有一直角，，顶点的坐标为，所在直线方程为，则顶点的坐标为 _______. 21．（25-26高二上·北京西城·期中）某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为_____________. 22．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为________. 23．（25-26高二上·河南·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 直线的交点坐标与距离公式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 两条直线的交点问题 题型02 三条直线的交点问题 题型03 过两直线交点的直线方程 题型04 两点间的距离公式 题型05 点到直线的距离公式 题型06 平行线间的距离公式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.两条直线的交点坐标 2.两点间的距离公式 3.点到直线的距离公式 4.条平行直线间的距离公式 1. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,提升数学运算的核心素养. 2. 会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 3. 掌握两点间的距离公式及应用,提升数学运算的核心素养. 4. 会运用坐标法证明简单的平面几何问题,提升直观想象的核心素养. 5. 探索并掌握平面上点到直线的距离公式,提升直观想象的核心素养. 6. 掌握两条平行直线间的距离公式,强化数学运算的核心素养. 7. 会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离,提升数学运算的核心素养. 学习重点：会求两条直线的交点坐标，掌握几个距离公式 学习难点：理解直线中的对称问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两条直线的交点坐标 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． 即时即练 1．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用方程组求解交点即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为： 【方法总结】 用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解. 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线重合. 知识点02 两点间的距离公式 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 特别地，原点与任一点的距离. 注：公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 即时即练 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 2．已知，，，是的中点，则________ ． 【答案】5 【分析】先求得中点的坐标，再根据两点之间距离公式计算即可. 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 【方法总结】 1、求两点间的距离的基本思路 任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式为|AB|=.当两点确定的直线垂直于x轴或y轴时,A,B间的距离可直接用两点的纵坐标或横坐标之差的绝对值求出. 2、在解决求已知直线上一点使其到某定点的距离为定值的问题时,应当注意:设已知直线上的点的坐标时,不要设两个未知数,设横坐标为a,纵坐标用a表示(或设纵坐标为a,横坐标用a表示),由两点间的距离公式列出关于a的一元方程即可,避免了列二元方程组的麻烦;已知距离求点的坐标时,一般有两解,某些题目中只有一解. 3、利用两点间的距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时,利用两点间的距离公式求三边长,从边长间的关系入手,如果边长相等,则可能是等腰或等边三角形;如果满足勾股定理,则是直角三角形. 知识点03 点到直线的距离公式 1、平面上任意一点到直线：的距离. 即时即练 1．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 【答案】/ 【分析】由点到直线的距离公式求解即可． 【详解】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 2．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 【方法总结】 (1)使用点到直线的距离公式时,首先把直线方程化为一般式,再利用公式求解. (2)已知点到直线的距离求参数时,只需根据公式列方程求解参数即可. 知识点04 两条平行线间的距离 1、一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 注：在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 2、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． 即时即练 1．（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求出答案. 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 2．（25-26高二下·上海·阶段检测）直线与直线间的距离为__________. 【答案】 【分析】根据两平行直线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】直线可化为：，则. 【方法总结】 求两条平行直线间的距离有两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. (2)直接利用两条平行直线间的距离公式d=(A2+B2≠0),但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等. 题型01 两条直线的交点问题 1．直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两条直线的方程，求解方程组，可求得两条直线的交点坐标. 【详解】由，得. 所以直线与直线的交点坐标为. 故选：B. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 3．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 4．（24-25高二上·广西玉林·期中）若直线经过两直线和的交点，则___________. 【答案】 【分析】先求出两条已知直线的交点，再将求得的交点代入直线即可得解. 【详解】联立，解得， 将点代入到直线，得，故. 故答案为：. 5．直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【技巧归纳】 用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解. 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线重合. 题型02 三条直线的交点问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【详解】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江·期中）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的m的值共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】分三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交两种情况讨论即可求解. 【详解】因为三条直线，，将平面分为六个部分， 所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交， 当三条直线交于一点时，联立可得，此时，即， 当两条平行线与第三条直线相交时，可得或， 所以或 故选：C. 3．（多选题）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 4．若三条直线相交于一点，则m的值为________. 【答案】 【分析】先由求得交点坐标，代入即可求解. 【详解】由，解得 所以，点满足方程， 即. 所以. 故答案为： 5．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 题型03 过两直线交点的直线方程 1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解方程组得交点坐标，再由直线过原点即可求解. 【详解】由题，解得，则交点为， 又因直线过原点，所以直线斜率为，则直线方程为，即，故B正确. 故选：B. 2．过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解. 【详解】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】联立，可得，所以与的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为， 代入得，所以， 所以直线的方程为，满足题设. 故选：A 4．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 【答案】 【分析】先求出两直线的交点坐标，根据两直线垂直，斜率的关系，可求出所求直线的斜率，代入公式，即可得答案. 【详解】联立，解得，即交点坐标为， 直线变形为，斜率为， 所以所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得. 故答案为： 5．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 【答案】或 【分析】联立方程求出交点坐标，分截距是否为0讨论求解直线方程. 【详解】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 题型04 两点间的距离公式 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 2．（25-26高二上·北京房山·期中）已知，，，，，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，由题意列方程组即可求得. 【详解】设， 由题意可得， 解得或 . 所以点的坐标为或. 故选：C 3．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B 4．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． 5．（25-26高二上·福建福州·期中）已知、、三点，且，则的值为__________. 【答案】 【分析】应用两点间距离公式计算求参. 【详解】因为、、三点，且， 则 则. 故答案为：. 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点，是直线上的两点，若，则______ 【答案】 【分析】由两点间的距离公式可求解. 【详解】因为，是直线上的两点， 所以，． 根据两点间的距离公式，得 ， 解得. 故答案为： 【技巧归纳】 1、求两点间的距离的基本思路 任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式为|AB|=.当两点确定的直线垂直于x轴或y轴时,A,B间的距离可直接用两点的纵坐标或横坐标之差的绝对值求出. 2、在解决求已知直线上一点使其到某定点的距离为定值的问题时,应当注意:设已知直线上的点的坐标时,不要设两个未知数,设横坐标为a,纵坐标用a表示(或设纵坐标为a,横坐标用a表示),由两点间的距离公式列出关于a的一元方程即可,避免了列二元方程组的麻烦;已知距离求点的坐标时,一般有两解,某些题目中只有一解. 3、利用两点间的距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时,利用两点间的距离公式求三边长,从边长间的关系入手,如果边长相等,则可能是等腰或等边三角形;如果满足勾股定理,则是直角三角形. 题型05 点到直线的距离公式 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 4．（24-25高二上·四川南充·期中）中，，，则的面积（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】求直线的方程和，以及点到直线的距离，即可得面积. 【详解】由题意可知：， 可知直线，即， 可得点到直线的距离， 所以的面积. 故选：C. 5．（24-25高二上·河南信阳·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则______. 【答案】/ 【分析】利用距离公式可求的值. 【详解】由题设有，故，故. 故答案为： 6．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 7．平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】当与直线垂直时，点与动点P之间距离|AP|有最小值，通过计算点A到直线的距离即可求解. 【详解】已知直线方程为，点， 根据点到直线的距离公式，代入得到： 因此，点到直线的最短距离即|AP|的最小值为. 故答案为：. 【技巧归纳】 (1)使用点到直线的距离公式时,首先把直线方程化为一般式,再利用公式求解. (2)已知点到直线的距离求参数时,只需根据公式列方程求解参数即可. 题型06 平行线间的距离公式 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，直线平行， 则直线与间的距离为. 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 4．（25-26高二上·吉林·阶段检测）若直线与平行，则与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两条直线平行求得直线的方程，再由平行线的距离公式可得. 【详解】由两条直线与平行， 所以，即，解得. 所以直线，即. 再由两条平行直线的距离公式得：. 故选：D. 5．（25-26高二上·江苏泰州·期中）直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因两条直线平行，得的最小值就是两条平行线间的距离可得. 【详解】由直线：与：，，所以. 所以的最小值就是两条平行线间的距离，. 故选：C. 6．（25-26高二上·河北保定·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】求出两直线所过定点，再分析出，之间的距离最大时的垂直情况，最后利用直线垂直于斜率的关系即可得到答案. 【详解】整理得， 令，解得，则直线过定点， 整理得， 令，解得，则直线过定点， 则当直线与均垂直时，，之间的距离最大， 而直线的斜率, 则直线的斜率为1，显然，则，解得. 故选：D. 【技巧归纳】 求两条平行直线间的距离有两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. (2)直接利用两条平行直线间的距离公式d=(A2+B2≠0),但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等. 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线方程化为与方程形式相同的方程，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【详解】直线的方程可化为，， 故直线与间的距离. 故选：D. 3．（2025高二上·全国·专题练习）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点坐标求解. 【详解】由，得，∴交点坐标为．设与直线平行的直线方程为，把点的坐标代入，得，解得，∴所求直线方程为，故选：A． 4．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 5．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A 6．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 8．（25-26高二上·广东广州·期中）若直线与平行，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过平行求出的值，再利用平行线之间的距离公式即可求出. 【详解】直线与平行，，即，解得或， 当时，直线与，两直线重合，舍去； 当时，直线与，整理为，两直线平行， 根据两平行线的距离公式可得 . 故选：. 9．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 10．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用两点间距离公式及斜率坐标公式计算判断. 【详解】依题意，，，即， 又线段的中点为，线段的中点为，即线段与互相平分， 因此四边形是矩形，而直线的斜率，直线的斜率， 即，则，所以矩形是正方形. 故选：B 11．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 12．（2025高二上·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【详解】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 13．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）方程表示平面上交于一点的三条直线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充要条件的定义，结合两直线交点的求法、代入法进行求解即可. 【详解】，或， 由， 直线，和直线的交点为， 把代入中，得， 显然直线，直线，直线是三条不同的直线， 故选：A 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，边上的高必过点B，联立、得出交点B，设边上的高所在直线的斜率为，根据互相垂直直线斜率乘积为解出斜率，求出直线所在方程. 【详解】设边上的高所在直线的斜率为，则有， 联立、方程，得交点， 中边上的高过点，斜率为，所在直线的方程为， 即． 故选：A. 15．点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 16．（25-26高二上·安徽合肥·期中）经过直线：和：的交点，且与轴垂直的直线方程为________. 【答案】 【分析】联立两条直线求出交点，再找出过该交点且垂直于轴的直线即可. 【详解】联立，，解得，即直线的交点为，过该交点且与轴垂直的直线方程为. 17．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 18．（25-26高二·全国·寒假作业）已知直线和垂直，交于点，则________，________，________. 【答案】 10 【分析】根据两直线垂直列方程可求得，再结合两直线交于点，得到方程组即可求得，. 【详解】由直线和垂直， 则，解得， 则两直线方程为，即和， 由于两直线交于点，则，解得，. 故答案为：10；；. 19．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 20．在直角坐标平面内有一直角，，顶点的坐标为，所在直线方程为，则顶点的坐标为 _______. 【答案】. 【分析】根据垂直关系可设所在直线方程为，代入点可得，联立直线方程即可得顶点的坐标. 【详解】因为，即，且所在直线方程为， 可设所在直线方程为， 代入点可得，解得， 即所在直线方程为， 联立方程组，解得， 所以顶点的坐标为. 故答案为：. 21．（25-26高二上·北京西城·期中）某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为_____________. 【答案】 【分析】根据直线上两点确定公路所在直线的方程，从而可设的坐标，根据结合距离公式列方程求得点横坐标，从而得车站的坐标. 【详解】公路上的两点，， 则，所以直线， 则直线上一点， 由可得：，解得， 故车站的坐标为. 故答案为：. 22．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为________. 【答案】或 【分析】根据两点间的距离公式以及直线方程代入化简，解出k，得到斜截式，再化为一般式即可. 【详解】由两点间的距离公式得， 由于A，B在直线上，则，， 代入化简得 ， 所以 ，解得 ， 所以直线 的斜截式方程为： 或， 化成一般式为：或， 故答案为：或. 23．（25-26高二上·河南·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $