1.1.1 空间向量及其线性运算(第1课时)空间向量及其线性运算-2026-2027学年高二数学同步练（人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到探究拓展，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学抽象、空间观念与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量基本概念、运算与简单应用|概念辨析（如向量共线判断）、简单运算（如向量加减），夯实基础| |更上层楼|向量综合应用与性质判断|复杂图形向量表示（如平行六面体）、多选题（如相反向量判断），提升逻辑推理| |探究发现|实际情境与拓展证明|结合文化情境（光岳楼）、拓展推理（空间四边形类比），发展创新意识与数学表达|

课时作业(一) 1．下列说法中正确的是(　　) A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ 2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 3．已知H，I，J，K是空间中互不相同的四个点，则＋－＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 4．已知在空间四边形ABCD中，＝，则＋＋2＝(　　) A．2 B．2 C．2 D. 5.如图，在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且＝，记＝x＋y＋z，则(x，y，z)等于(　　) A. B. C. D. 6．【多选题】已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列选项中正确的有(　　) A.－＝ B.＝＋＋ C.＝ D.＋＋＋＝ 7.如图所示，已知空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示的关系式为________． 8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中，模为的向量有________个． 9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)＋； (2)＋＋； (3)－－. 10.如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，＝x＋y＋z，求x，y，z的值． 11．已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则等于(　　) A．－＋＋ B．－＋＋ C.＋＋ D.－＋ 13．【多选题】已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是(　　) A.＋与＋ B.－与－ C.－与－ D.＋＋＋与＋＋＋ 14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简－－＝________. (2)用，，表示，则＝________． 15.光岳楼，亦称余木楼、鼓楼、东昌楼，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上底面边长与下底面边长之比约为，则＋＋＝________． 16．如图1，在平面四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分AB，DC所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋. (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD(如图2)类似的命题，并加以证明； (2)如图3，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用(1)的结论表示. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(一) 1．下列说法中正确的是(　　) A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ 答案　C 解析　向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； ＝的充要条件是||＝||，且，同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 满足＋＝的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误． 2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　D 解析　对于A，与的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误； 对于B，与的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误； 对于C，与的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误； 对于D，与的方向相同，大小相等，是相等向量，所以D正确． 3．已知H，I，J，K是空间中互不相同的四个点，则＋－＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 答案　B 解析　连接HJ，KJ，＋－＝＋＋＝＋＝. 4．已知在空间四边形ABCD中，＝，则＋＋2＝(　　) A．2 B．2 C．2 D. 答案　A 解析　因为＝，故G为CD的中点，如图，连接BG，AG，由平行四边形法则可得＋＝2，所以2＋(＋)＝2(＋)＝2.故选A. 5.如图，在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且＝，记＝x＋y＋z，则(x，y，z)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　连接OE，OF(图略)，因为＝，E，F分别是AB，BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×(＋)＋×(＋)＝＋＋，故(x，y，z)＝. 6．【多选题】已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列选项中正确的有(　　) A.－＝ B.＝＋＋ C.＝ D.＋＋＋＝ 答案　ABC 解析　在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，连接AC，可得－＝＋＝，故A正确；＋＋＝＋＋＝，故B正确；C显然正确；＋＋＋＝＋＝，故D不正确． 7.如图所示，已知空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示的关系式为________． 答案　＝a＋b＋c 解析　＝＋＝＋ ＝＋(＋＋) ＝＋ ＝＋ ＝＋＋ ＝a＋b＋c. 8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中，模为的向量有________个． 答案　8 解析　连接A1D，AD1，BC1，B1C，由图可知A1D＝AD1＝B1C＝BC1＝，所以模为的向量有，，，，，，，. 9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)＋； (2)＋＋； (3)－－. 解析　(1)连接CA1，＋＝，如图中向量. (2)连接AM.因为M是BB1的中点，所以＝.又＝，所以＋＋＝＋＝，如图中向量. (3)－－＝－＝，如图中向量. 10.如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，＝x＋y＋z，求x，y，z的值． 解析　连接BD，则＝＋＝＋＋＝－＋＋， 又＝x＋y＋z， 所以x＝1，y＝－1，z＝1. 11．已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 答案　A 12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则等于(　　) A．－＋＋ B．－＋＋ C.＋＋ D.－＋ 答案　C 解析　因为BM＝2MC′， 所以＝， 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中， ＝＋＝＋＝＋(＋)＝(－)＋(＋) ＝＋＋. 13．【多选题】已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是(　　) A.＋与＋ B.－与－ C.－与－ D.＋＋＋与＋＋＋ 答案　ACD 解析　如图，根据图形可以看出A、D中的两向量互为相反向量；－＝，－＝，＝，所以B中的两向量不是相反向量；－＝，－＝，和互为相反向量，所以C中的两向量互为相反向量． 14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简－－＝________. (2)用，，表示，则＝________． 答案　(1)　(2)＋＋ 15.光岳楼，亦称余木楼、鼓楼、东昌楼，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上底面边长与下底面边长之比约为，则＋＋＝________． 答案　 解析　如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，连接AH，则＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. 16．如图1，在平面四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分AB，DC所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋. (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD(如图2)类似的命题，并加以证明； (2)如图3，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用(1)的结论表示. 解析　(1)在空间四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋.证明如下：＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＋＝＋. (2)由(1)的结论可得＝＋＝＋. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $